蔣水秀 單 巖

1.杭州科技職業(yè)技術(shù)學(xué)院，杭州，311402 2.浙江大學(xué)，杭州，310027

0 引言

自由曲線擬合是計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)（CAGD）的一項(xiàng)重要技術(shù)［1－3］，是自由曲面逆向建模的基礎(chǔ)和前提，在逆向工程設(shè)計(jì)領(lǐng)域（如汽車設(shè)計(jì)）有廣泛的應(yīng)用。自由曲線的擬合效果可從兩方面評(píng)估：一是擬合精度［4－8］，即點(diǎn)群與曲線最大偏差；二是擬合曲線的光順性［9－10］，即要求曲線連續(xù)且沒有非設(shè)計(jì)意圖的波動(dòng)。

在現(xiàn)有的曲線擬合研究及相關(guān)CAD軟件中，對(duì)擬合精度的控制已經(jīng)比較成熟，然而對(duì)擬合曲線的光順性控制則缺乏有效的手段。

影響曲線光順性的關(guān)鍵因素有兩個(gè)：一是曲線的階數(shù)，即控制頂點(diǎn)數(shù)量；二是控制頂點(diǎn)的分布狀態(tài)。現(xiàn)有的自動(dòng)擬合方法往往只能通過(guò)減少控制頂點(diǎn)數(shù)量（同時(shí)也犧牲了擬合精度）來(lái)改善光順性，而對(duì)優(yōu)化控制頂點(diǎn)的分布則缺乏有效手段。

曲線控制頂點(diǎn)的分布不僅影響曲線的光順性，還對(duì)曲線的編輯、拼接等后續(xù)操作的方便性有重要的影響。因此，在曲線擬合中，如不能對(duì)曲線的控制頂點(diǎn)分布進(jìn)行有效的干預(yù)，則會(huì)使曲線擬合功能的實(shí)用性大打折扣。

本文針對(duì)這一現(xiàn)狀，提出并實(shí)現(xiàn)了一種新的自由曲線交互擬合方法。該方法首先通過(guò)人工交互手段，逐步增加擬合曲線控制頂點(diǎn)數(shù)，并調(diào)整和優(yōu)化其分布狀態(tài)。然后，通過(guò)對(duì)自由曲線控制頂點(diǎn)位置的全自動(dòng)迭代調(diào)整，使曲線逼近點(diǎn)群，保證了擬合效率及精度。

1 交互擬合流程

如圖1所示，｛p j｝（j＝1，2，…，n）是用來(lái)擬合曲線的n個(gè)有序空間點(diǎn)，稱為型值點(diǎn)或擬合點(diǎn)，其交互擬合流程如下：

圖1 初始擬合曲線

（1）創(chuàng)建初始擬合曲線。根據(jù)｛p j｝擬合二階樣條曲線R2（t），其兩端控制頂點(diǎn)分別為Q1和Q2，中間控制頂點(diǎn)為Q3。

（2）交互增加控制頂點(diǎn)。根據(jù)擬合偏差情況，在合理位置交互添加第m個(gè)控制頂點(diǎn)Q m（m＞3），此時(shí)控制頂點(diǎn)數(shù)增加到m個(gè)，由這些控制頂點(diǎn)生成m－1次樣條曲線Rm－1（t），如圖2所示。

圖2 增加控制頂點(diǎn)（m＝5）

（3）迭代調(diào)整控制頂點(diǎn)（詳見本文第2節(jié)）。根據(jù)型值點(diǎn)集相對(duì)于當(dāng)前擬合曲線的偏離程度，對(duì)所有中間控制頂點(diǎn)Qi（i＝3，4，…，m）的位置進(jìn)行迭代調(diào)整，直到曲線Rm－1（t）達(dá)到與｛p j｝的最佳逼近，如圖3所示。

圖3 控制頂點(diǎn)調(diào)整（m＝5）

（4）擬合收斂判斷。如果調(diào)整后的Rm－1（t）與｛p j｝的偏離程度滿足精度控制要求，則得到最終結(jié)果，如圖4所示。否則轉(zhuǎn)向步驟2。

圖4 完成交互擬合（m＝6）

2 控制頂點(diǎn)的迭代調(diào)整

2.1 參考點(diǎn)組

控制頂點(diǎn)的調(diào)整是根據(jù)型值點(diǎn)相對(duì)于當(dāng)前特征曲線的偏離程度來(lái)計(jì)算的。｛p j｝內(nèi)的某型值點(diǎn)的偏離對(duì)各個(gè)控制頂點(diǎn)位置調(diào)整的影響程度是完全不同的，我們規(guī)定每個(gè)型值點(diǎn)只作為與其距離最近的控制頂點(diǎn)位置調(diào)整的計(jì)算依據(jù)。

基于這一規(guī)定，我們可以為某中間控制頂點(diǎn)Qi（i＝3，4，…，m）分配一組型值點(diǎn)作為其位置調(diào)整計(jì)算的參考點(diǎn)組｛p j｝（k1≤j≤k2，1≤k1≤k2≤n），如圖5所示。

2.2 控制頂點(diǎn)調(diào)整的位移計(jì)算

某控制頂點(diǎn)Qi的單次調(diào)整方向?yàn)槠湓谇€上最近點(diǎn)處的法線方向，調(diào)整位移量ξi計(jì)算如下：

圖5 控制頂點(diǎn)調(diào)整的參考點(diǎn)組

式中，d j為型值點(diǎn)p j到擬合曲線的偏差；ηj為型值點(diǎn)p j對(duì)控制頂點(diǎn)位置調(diào)整的影響因子；Dj為型值點(diǎn)p j到控制頂點(diǎn)Qi的距離。

其中，l＞1，用于強(qiáng)化距離Dj對(duì)ηj的計(jì)算結(jié)果的影響，l越大，則與Qi距離較近的型值點(diǎn)的影響因子越大，在程序中取l＝2。

2.3 迭代計(jì)算流程

中間控制頂點(diǎn)的位置調(diào)整是一個(gè)反復(fù)迭代過(guò)程，其算法基本流程如下：（1）為每個(gè)中間控制頂點(diǎn)Qi分配參考點(diǎn)組。（2）按式（1）依次計(jì)算并調(diào)整各個(gè)控制頂點(diǎn)的位置。

（3）計(jì)算擬合偏差（最大偏差及平均偏差）的減?。ǜ纳疲┲凳欠裥∮谝?guī)定的閾值，若是，則停止調(diào)整；否則返回步驟1繼續(xù)調(diào)整。

2.4 算法的可行性條件

在為控制頂點(diǎn)分配對(duì)應(yīng)的調(diào)整點(diǎn)組時(shí)，以某型值點(diǎn)到各控制頂點(diǎn)的空間距離為判定標(biāo)準(zhǔn)，將該型值點(diǎn)放入與其最近的控制頂點(diǎn)的參考點(diǎn)組，作為該控制點(diǎn)的調(diào)整依據(jù)。

但在圖6所示的曲線急劇彎曲情況下，這一分組判別將會(huì)失效。不僅如此，對(duì)控制頂點(diǎn)位置移動(dòng)矢量方向的計(jì)算也會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。所以，我們要求所擬合的目標(biāo)曲線的曲率變化足夠小。幸運(yùn)的是，在工程實(shí)際項(xiàng)目中，曲線一般都比較“平緩”，圖6所示的情況極少發(fā)生。

圖6 異常的情況

3 應(yīng)用實(shí)例

我們?cè)赨G NX軟件平臺(tái)上采用GRIP二次開發(fā)工具實(shí)現(xiàn)了本文提出的自由曲線交互擬合程序。

本文對(duì)圖7所示的一組三坐標(biāo)測(cè)量點(diǎn)進(jìn)行了擬合比對(duì)實(shí)驗(yàn)，擬合精度設(shè)定為0.1mm。圖7a所示為采用CAD軟件進(jìn)行擬合得到的5階自由曲線。由圖可見，其最大擬合偏差為0.084mm，同時(shí)，擬合曲線的中間兩個(gè)控制頂點(diǎn)波動(dòng)較大，曲線兩端曲率梳曲線出現(xiàn)了“翹起”的現(xiàn)象。

圖7b所示則為采用交互擬合技術(shù)得到的5階擬合曲線，各控制頂點(diǎn)分布均勻，波動(dòng)小，曲率梳整體變化平緩、一致，同時(shí)，其最大擬合偏差僅有0.05mm，相比圖7a明顯得到改善。

圖7 擬合對(duì)比實(shí)驗(yàn)

采用交互擬合技術(shù)生成的邊界曲線可用于構(gòu)造高光順的曲面。圖8為某汽車內(nèi)飾頂部主體曲面逆向建模的結(jié)果，其U、V兩個(gè)參數(shù)方向的曲率均表現(xiàn)出令人滿意的結(jié)果。

4 結(jié)語(yǔ)

圖8 應(yīng)用實(shí)例

本文提出的自由曲線交互式擬合技術(shù)較好地解決了現(xiàn)有CAD軟件擬合功能無(wú)法保證控制頂點(diǎn)分布質(zhì)量的問(wèn)題，從而確保了擬合曲線的光順度。同時(shí)，通過(guò)全自動(dòng)調(diào)整控制頂點(diǎn)位置，保證了擬合的效率和精度。實(shí)際應(yīng)用效果證明，該方法可較好地滿足自由曲線擬合在質(zhì)量、效率方面的綜合要求，有較高的工程實(shí)用價(jià)值，在汽車零部件逆向設(shè)計(jì)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用前景。

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