黃 強(qiáng) 李青鋒

重慶理工大學(xué)，重慶，400054

0 引言

誤差防止和誤差補(bǔ)償是提高機(jī)械加工精度的兩條途徑，其有效實(shí)施均以掌握誤差源的作用規(guī)律為基礎(chǔ)［1］。誤差建模與分析是目前實(shí)現(xiàn)這一目的的主要技術(shù)手段。早在20世紀(jì)60年代初，Mcclure［2］就開始了機(jī)床熱效應(yīng)的建模和實(shí)驗(yàn)研究；1992年，Chen等［3］建立了適用于非剛體條件的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)模型，用于分析機(jī)床幾何誤差、熱誤差及其綜合效應(yīng)；Lin等［4］在1993年提出了一種直接空間誤差分析方法，用于評(píng)價(jià)多軸機(jī)床工件的位置和方向誤差。目前，以多體系統(tǒng)理論結(jié)合齊次坐標(biāo)變換原理的機(jī)床誤差建模與分析方法已得到廣泛應(yīng)用。應(yīng)用誤差建模與分析技術(shù)，我國的天津大學(xué)、上海交通大學(xué)、華中科技大學(xué)、浙江大學(xué)和重慶大學(xué)等院校在機(jī)床精度控制方面取得了一系列進(jìn)展［5－7］。不同種類和型號(hào)的機(jī)床具有不同的空間結(jié)構(gòu)、尺寸及相對(duì)運(yùn)動(dòng)方式，所以目前的機(jī)床誤差建模與分析通常只針對(duì)特定的目標(biāo)機(jī)床。針對(duì)這一問題，本文提出了一種采用數(shù)字化編程方式來提高機(jī)床誤差模型通用性的方法。

1 機(jī)床誤差分析與建模

零件的加工精度取決于工藝系統(tǒng)的精度，具體體現(xiàn)為刀具與工件的相對(duì)位置精度、姿勢精度（以下合稱為位姿精度）和運(yùn)動(dòng)精度，其中，機(jī)床精度占有很大的比重。機(jī)床最終執(zhí)行部件的輸出精度是各個(gè)部件精度的綜合作用結(jié)果。機(jī)床誤差建模與分析的目的，就是為了掌握各個(gè)部件誤差與機(jī)床輸出誤差之間的規(guī)律，為機(jī)床設(shè)計(jì)與制造中的誤差防止與補(bǔ)償提供可靠的依據(jù)。機(jī)床誤差分析工作一般包括下列內(nèi)容：

（1）單元誤差的敏感性分析。機(jī)床各個(gè)部件的誤差對(duì)機(jī)床最終輸出誤差都有影響，但其影響程度（敏感性）則各不相同。通過分析掌握機(jī)床輸出誤差對(duì)各個(gè)單元誤差的敏感性，可以在合理成本下對(duì)機(jī)床輸出誤差進(jìn)行高效控制。敏感性分析方法為分析各個(gè)單元誤差對(duì)機(jī)床輸出誤差的作用權(quán)重提供了方便。

（2）單元誤差的作用規(guī)律分析。研究單元誤差的作用規(guī)律是為分析和掌握各個(gè)單元誤差對(duì)機(jī)床輸出誤差的映射（插值）規(guī)律，為精度控制與調(diào)整提供定量依據(jù)。機(jī)床精度控制的主要手段為公差設(shè)計(jì)，因此，單元誤差分析也可延伸為單項(xiàng)公差的控制效果預(yù)測。

（3）各個(gè)單元誤差的累積效應(yīng)分析。掌握各個(gè)單元誤差在機(jī)床輸出誤差上的累積效應(yīng)，可以為機(jī)床精度分配、檢驗(yàn)及調(diào)整提供直接的指導(dǎo)。

要完成上述定量分析工作，必須依托一個(gè)數(shù)字化的機(jī)床誤差模型，該模型應(yīng)能準(zhǔn)確反映機(jī)床各個(gè)部件的誤差與機(jī)床輸出誤差之間的關(guān)系。目前，機(jī)床誤差建模與分析往往只針對(duì)一種特定的目標(biāo)機(jī)床，因此，尋求一種具有較好通用性的數(shù)字化機(jī)床誤差建模與分析方法，對(duì)提高機(jī)床誤差的分析效率和準(zhǔn)確性是十分必要的。

2 機(jī)床拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的共性

不同種類和型號(hào)的機(jī)床具有不同的空間結(jié)構(gòu)、幾何尺寸及運(yùn)動(dòng)方式。一個(gè)通用的機(jī)床誤差模型，首先是一個(gè)面向任意拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的機(jī)床模型。該模型應(yīng)具備如下特征：①機(jī)床可以具有多個(gè)運(yùn)動(dòng)軸；②相鄰部件之間可以是固聯(lián)也可以存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)；③各部件的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方式不受限制，可以是移動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)、平面運(yùn)動(dòng)和空間運(yùn)動(dòng)。

金屬切削機(jī)床均需要通過刀具和工件之間的相對(duì)切削運(yùn)動(dòng)來實(shí)現(xiàn)工件的加工，因此，除并聯(lián)機(jī)床外，切削機(jī)床在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)上應(yīng)存在共性。圖1為一臺(tái)臥式車床的結(jié)構(gòu)示意圖，其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖2所示。機(jī)床以基礎(chǔ)支承件床身7為基點(diǎn)，各個(gè)相關(guān)部件分成兩支，一支從床身7到工件10，另一支為床身7至刀具1。所以，不同結(jié)構(gòu)的機(jī)床具有相同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征：任意一臺(tái)金屬切削機(jī)床的部件鏈均由一系列相鄰的部件串接而成。部件鏈分成兩個(gè)部分——工件鏈和刀具鏈，連接點(diǎn)為床身。部件鏈中的各相鄰部件之間的關(guān)系可以是固聯(lián)、移動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)。

圖1 機(jī)床結(jié)構(gòu)示意圖

圖2 機(jī)床拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)示意圖

3 部件鏈關(guān)系的數(shù)學(xué)描述

機(jī)床部件鏈由一系列相鄰的部件串接而成，部件鏈起始兩端部件的相對(duì)位姿、運(yùn)動(dòng)及其誤差關(guān)系是各個(gè)相鄰的部件的相對(duì)位姿、運(yùn)動(dòng)方式及其誤差關(guān)系的綜合作用結(jié)果。在機(jī)床的各個(gè)部件上分別設(shè)置各自的局部坐標(biāo)系，則各個(gè)部件坐標(biāo)系在6個(gè)自由度上的變動(dòng)可準(zhǔn)確地表征機(jī)床各部件的相對(duì)位姿、運(yùn)動(dòng)方式及其誤差關(guān)系。

3.1 兩個(gè)相鄰部件

在機(jī)床中選取兩個(gè)相鄰的部件i和j進(jìn)行無誤差狀態(tài)和有誤差狀態(tài)分析。

（1）無誤差狀態(tài)分析。該狀態(tài)下，部件j相對(duì)于部件i的位姿和運(yùn)動(dòng)關(guān)系可用兩個(gè)部件坐標(biāo)系的齊次坐標(biāo)變換矩陣表示為［8］

式中，T ijp為兩部件的位姿變換矩陣，T ijs為運(yùn)動(dòng)變換矩陣；x ijp、yijp、zijp分別為坐標(biāo)系j相對(duì)于坐標(biāo)系i在x、y、z方向上的相對(duì)位置；xijs、yijs、zijs分別為坐標(biāo)系j相對(duì)于坐標(biāo)系i沿x、y、z軸的相對(duì)直線運(yùn)動(dòng)量；α、β、γ分別為2個(gè)坐標(biāo)系的x、y、z軸之間的夾角或角位移。

在上述三式中，當(dāng)兩部件間沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，T ijs為單位矩陣。

（2）有誤差狀態(tài)分析。該狀態(tài)下，部件j與部件i之間至少存在相對(duì)位姿誤差，其總誤差矩陣的原始形式與式（2）和式（3）相似（將x ijp、y ijp、zijp、αijp、βijp、γijp分別置換為誤差參量Δx ijp、Δy ijp、Δzijp、Δαijp、Δβijp、Δγijp）。由于 Δαijp、Δβijp、Δγijp均為微小量，故在忽略高階誤差項(xiàng)后兩個(gè)部件之間總的位姿誤差矩陣可表示為

如果兩個(gè)部件之間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)，則其運(yùn)動(dòng)誤差矩陣ΔT ijs可用與式（4）相同的形式表示（下標(biāo)換為ijs）。因此，部件j相對(duì)于部件i的關(guān)系可完整地表示為

式中，T ij為部件j相對(duì)于部件i的特征變換矩陣［8］。

3.2 完整部件鏈

切削加工誤差可直觀地描述為刀具與工件偏離理想的相對(duì)位姿和相對(duì)運(yùn)動(dòng)的誤差，因此，為分析機(jī)床各個(gè)部件誤差對(duì)加工精度的作用效應(yīng)以及累計(jì)效應(yīng)，部件鏈一般應(yīng)表示為：刀具—部件1—中間部件2—…—中間部件n—工件。其總特征變換矩陣應(yīng)為部件鏈中各相鄰部件間特征變換矩陣的順序連乘，即

式（6）中的“刀具－工件”鏈總特征變換矩陣完整地描述了刀具與工件之間的相對(duì)位姿、運(yùn)動(dòng)方式和誤差來源及相互關(guān)系。

4 數(shù)字化機(jī)床誤差模型的建立

上述分析結(jié)果顯示：盡管不同種類和型號(hào)的金屬切削機(jī)床具有不同的空間結(jié)構(gòu)、幾何尺寸以及運(yùn)動(dòng)方式，但刀具與工件之間的相對(duì)位姿、運(yùn)動(dòng)方式及其誤差關(guān)系均可用式（6）的特征變換矩陣表征，而該特征變換矩陣又取決于部件鏈中各個(gè)相鄰部件之間的相對(duì)位姿、運(yùn)動(dòng)方式及其誤差矩陣，如式（5）中的T ijp、T ijs、ΔT ijp、ΔT ijs統(tǒng)一具有固定格式的4×4形式，這就給建立通用的機(jī)床誤差模型提供了條件，即設(shè)計(jì)一個(gè)交互式的計(jì)算機(jī)軟件，就可以實(shí)現(xiàn)不同機(jī)床的數(shù)字化誤差建模與分析。

數(shù)字化機(jī)床誤差建模與分析的基本原理及結(jié)構(gòu)如圖3所示，其中建模工作包括下面3個(gè)部分：

圖3 數(shù)字化機(jī)床誤差建模與分析的基本原理及結(jié)構(gòu)

（1）建模準(zhǔn)備。針對(duì)一臺(tái)目標(biāo)機(jī)床，首先需要人工分析其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，理清該機(jī)床從刀具到工件的部件順序，并按“刀具－工件”鏈順序?qū)C(jī)床部件進(jìn)行編號(hào)和建立部件坐標(biāo)系；然后根據(jù)目標(biāo)機(jī)床的設(shè)計(jì)資料確定“刀具－工件”鏈上各個(gè)相鄰部件間的相對(duì)位置、姿勢和運(yùn)動(dòng)參數(shù)，即先確定兩個(gè)局部坐標(biāo)系在x、y、z軸方向上的相對(duì)位置x ijp、y ijp、zijp以及這兩個(gè)局部坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)軸的夾角αijp、βijp和γijp；再確定局部坐標(biāo)系j相對(duì)于坐標(biāo)系i的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，亦即在x、y、z軸方向上的相對(duì)直線運(yùn)動(dòng)x ijs、y ijs、zijs以及繞著這三個(gè)坐標(biāo)軸做相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的αijs、βijs和γijs。

（2）機(jī)床部件相對(duì)位姿和運(yùn)動(dòng)參數(shù)輸入。將上述機(jī)床參數(shù)從軟件的輸入界面逐一輸入。計(jì)算機(jī)首先將這些參數(shù)轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)的4×4矩陣并儲(chǔ)存，然后按照式（2）和式（3）計(jì)算并儲(chǔ)存各個(gè)相鄰部件間的相對(duì)位姿關(guān)系矩陣T ijp和運(yùn)動(dòng)矩陣T ijs。根據(jù)通用化需求，程序的原始設(shè)置為兩個(gè)相鄰部件間同時(shí)存在六自由度的相對(duì)位姿關(guān)系和六自由度的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系。輸入實(shí)際的關(guān)系值后，其余關(guān)系參數(shù)自動(dòng)置零。

（3）誤差矩陣設(shè)置及其初始化。在實(shí)際狀況下，兩個(gè)相鄰部件的相對(duì)位姿和運(yùn)動(dòng)均存在誤差，所以程序預(yù)置兩個(gè)相鄰部件的相對(duì)位姿和運(yùn)動(dòng)均存在式（4）所示的六自由度誤差ΔT ijp和ΔT ijs。由于誤差參量是被分析參量，故兩個(gè)誤差矩陣中的相關(guān)誤差項(xiàng)均初始化為零，即此時(shí)ΔT ijp和ΔT ijs均為單位矩陣。

完成上述三項(xiàng)工作后，目標(biāo)機(jī)床的部件層誤差模型自動(dòng)在計(jì)算機(jī)中建立并儲(chǔ)存在對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)庫中。目標(biāo)機(jī)床各相鄰部件之間的關(guān)系如式（5）所示，刀具與工件的關(guān)系如式（6）所示。完成建模后即可進(jìn)行相應(yīng)的分析工作。

5 建模及分析方法示例

下面以圖1機(jī)床為對(duì)象，以部件為誤差單元，采用示例方式介紹機(jī)床誤差建模及分析的基本方法，包括機(jī)床建模、單元誤差的敏感性分析及作用規(guī)律的分析。本文所用原型軟件采用MATLAB編程，并使用其建模和進(jìn)行模塊分析。

5.1 機(jī)床誤差建模

在圖2的“刀具－工件”鏈?zhǔn)疽鈭D中，部件的連接順序?yàn)椋旱毒摺都堋⊥邪濉⊥邪鍖?dǎo)軌—中托板—z向?qū)к墶采怼鬏S箱—主軸—工件。對(duì)各個(gè)部件進(jìn)行編號(hào)并建立各自的局部坐標(biāo)系后，確定各個(gè)相鄰部件的局部坐標(biāo)系關(guān)系如表1所示。

表1 各個(gè)相鄰部件局部坐標(biāo)系的相對(duì)坐標(biāo)系

將表1參數(shù)通過軟件界面輸入，檢查確認(rèn)后，由計(jì)算機(jī)建立目標(biāo)機(jī)床的誤差模型。各個(gè)相鄰部件間的誤差矩陣在參數(shù)輸入確認(rèn)后自動(dòng)初始化。

5.2 單元誤差的敏感性分析

各個(gè)部件單元誤差沿部件鏈傳遞到最終執(zhí)行部件，其方向和大小都可能發(fā)生變化。根據(jù)加工誤差敏感方向的概念，那些傳遞到加工誤差敏感方向上被放大的單元誤差可稱之為敏感誤差。該項(xiàng)分析工作的目的，是識(shí)別各個(gè)單元誤差的敏感性。

該項(xiàng)分析為靜態(tài)分析，各個(gè)相鄰部件之間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系矩陣T ijs及運(yùn)動(dòng)誤差矩陣和ΔT ijs保持初始化值，即相關(guān)誤差項(xiàng)均為零；然后依次分別設(shè)置各個(gè)部件的位姿誤差矩陣中的Δx ijp、Δy ijp、Δzijp、Δαijp、Δβijp、Δγijp為單位誤差。本次示例分析中單位誤差的取值為：轉(zhuǎn)角誤差取1/100°，線位移誤差取1/100mm。在計(jì)算一個(gè)誤差項(xiàng)時(shí)，其他誤差項(xiàng)為零。最后由計(jì)算機(jī)分別計(jì)算這些單元誤差均為單位誤差時(shí)對(duì)機(jī)床輸出誤差的影響。對(duì)機(jī)床輸出誤差的影響用刀尖點(diǎn)在三個(gè)坐標(biāo)方向上偏離理想位置的量Δx、Δy、Δz進(jìn)行評(píng)定。

圖4所示為中托板5的誤差敏感性分析結(jié)果。其詳細(xì)數(shù)值如表2所示?？傮w而言，中托板的3個(gè)線誤差將分別等值反映在最終輸出誤差的一個(gè)特定方向上，而3個(gè)角誤差將分別產(chǎn)生兩個(gè)方向的輸出誤差。由于車床只有x方向?yàn)榧庸ふ`差敏感方向，所以圖4中的Δx輸出是主要關(guān)心對(duì)象（圖4中陰影填充的柱狀線）。分析結(jié)果顯示：中托板單元的Δx65和Δγ65是需要重點(diǎn)控制的誤差項(xiàng)。

圖4 中托板單元誤差的敏感性分析

表2 中托板單元誤差為單位誤差時(shí)的輸出誤差

5.3 單元誤差的作用規(guī)律分析

研究單元誤差的作用規(guī)律是為分析和掌握各個(gè)單元誤差與機(jī)床輸出誤差之間的映射（插值）規(guī)律。分析方法是讓各個(gè)單元的誤差項(xiàng)Δx ijp、Δy ijp、Δzijp、Δαijp、Δβijp、Δγijp分別在給定范圍內(nèi)變化時(shí)，觀察其在最終輸出端的變化規(guī)律，尤其是在加工誤差敏感方向x上的變化規(guī)律。例如，中托板的敏感性分析結(jié)果表明其Δx65和Δγ65是敏感誤差源，現(xiàn)將 Δx65取值范圍規(guī)定為 ［－0.01，0.01］mm，誤差變化步長取0.002mm；Δγ65取值范圍規(guī)定為［－0.01°，0.01°］，誤差變化步長取0.002°，則可計(jì)算得到這兩個(gè)誤差項(xiàng)在輸出誤差x向上的作用規(guī)律。這一分析結(jié)果十分有利于對(duì)機(jī)床的輸出誤差進(jìn)行目標(biāo)控制：在機(jī)床輸出誤差超差時(shí)，可以根據(jù)超差大小通過插值方式獲得具體的單元誤差控制量。

6 結(jié)論

（1）不同種類和型號(hào)的金屬切削機(jī)床具有不同的空間結(jié)構(gòu)、幾何尺寸及運(yùn)動(dòng)方式，但其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)具有串行的“刀具－工件”鏈特征。刀具與工件之間的相對(duì)位姿、運(yùn)動(dòng)及其誤差關(guān)系由部件鏈中各個(gè)相鄰部件之間的特征矩陣表征，而這些特征矩陣具有統(tǒng)一的數(shù)學(xué)表達(dá)形式。因此，設(shè)計(jì)一個(gè)交互式的計(jì)算機(jī)軟件，就可以實(shí)現(xiàn)不同機(jī)床的數(shù)字化誤差建模與分析。

（2）基于機(jī)床的數(shù)字化誤差模型，可以對(duì)機(jī)床的單元誤差進(jìn)行敏感性分析、作用規(guī)律分析以及各個(gè)誤差單元的積累效應(yīng)分析，為機(jī)床的公差設(shè)計(jì)、裝配調(diào)整以及誤差補(bǔ)償提供可靠的數(shù)值依據(jù)。

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