劉慧敏，鄧 敏，樊子德，徐 震

中南大學(xué) 地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，湖南 長沙 410083

1 引 言

地圖是空間信息的載體，而圖形要素是地圖傳遞空間信息的主要形式。地圖設(shè)計與制作的目的在于傳遞空間信息，通過對空間信息的獲取、感知、加工、分析和綜合，可以揭示區(qū)域空間分布、變化的規(guī)律。文獻(xiàn)［1］指出：“信息是用來消除隨機(jī)不確定性的東西”。文獻(xiàn)［2］把信息的概念引入地圖制圖學(xué)，此后地圖的信息傳輸功能受到制圖學(xué)界廣泛關(guān)注，開創(chuàng)了現(xiàn)代地圖學(xué)的新領(lǐng)域——地圖信息傳輸理論，并將地圖信息傳輸理論與制圖綜合理論、地圖感知論、地圖模型論、地圖符號學(xué)并列為現(xiàn)代地圖學(xué)理論的基本內(nèi)容［3］。

鑒于地圖傳輸空間信息的屬性，地圖設(shè)計、制圖綜合的一個重要問題是地圖載負(fù)的信息量容量（即信息量度量問題），同時該問題也是地圖質(zhì)量評價的一個重要方面。為了合理地計算地圖信息量，則需要科學(xué)地界定地圖信息的來源、內(nèi)容構(gòu)成以及地圖信息量的度量方法，這亦是地圖信息論需要解決的主要問題。鑒于此，本文以點狀地圖為例，基于點狀地圖信息本質(zhì)，從點要素分布特征的視角分析點狀地圖空間信息內(nèi)容的構(gòu)成，并結(jié)合人的認(rèn)知特點確定地圖信息量度量模型，最終建立點狀地圖空間信息量的度量方法。

2 現(xiàn)有的地圖信息量度量方法、存在的主要問題及本文的研究策略

2.1 現(xiàn)有的地圖信息量度量方法

文獻(xiàn)［4］將信息論引入制圖領(lǐng)域，提出地圖的符號信息熵概念和計算模型。文獻(xiàn)［5］從地圖實體多樣性和差異性角度提出度量地圖信息的拓?fù)湫畔㈧?。文獻(xiàn)［6］分析認(rèn)為地圖信息源由多樣性的地圖實體及其差異性的特征集合描述，提出了基于Voronoi鄰接階數(shù)的拓?fù)湫畔㈧?、基于Voronoi鄰接距離差異的度量信息熵和基于點數(shù)的位置信息熵的度量方法，并將信息量度量用于評價制圖質(zhì)量。文獻(xiàn)［7］將地圖信息內(nèi)容分為幾何信息、拓?fù)湫畔⒑蛯ｎ}信息，借助Voronoi空間劃分，采用Shannon信息熵模型建立了點狀地圖基于Voronoi區(qū)域面積的幾何信息度量、基于Voronoi鄰接度的拓?fù)湫畔⒍攘亢蛯ｎ}信息度量方法。文獻(xiàn)［8］提出了基于統(tǒng)計數(shù)量的點要素信息度量方法，并對這幾種度量方法進(jìn)行了評價研究，并探討了基于Voronoi區(qū)域的點要素信息量的規(guī)范化問題。文獻(xiàn)［9］發(fā)展了一種地圖信息量計算的柵格方法，并建立了地圖數(shù)據(jù)量與信息量之間的非線性關(guān)系。隨后文獻(xiàn)［10］驗證了該方法得到的信息量與人所認(rèn)知的信息量有一定的線性關(guān)系。最近，文獻(xiàn)［11］從元素層次、鄰域?qū)哟魏驼w層次對地圖上等高線信息進(jìn)行描述，結(jié)合等高線表達(dá)地形的差異性和多樣性特征建立了相應(yīng)的信息度量方法。

總的說來，現(xiàn)有工作主要是從不同角度分析地圖信息類型和內(nèi)容構(gòu)成，并采用Shannon信息熵理論，分別針對地圖的幾何信息、拓?fù)湫畔ⅰｎ}信息提出了相應(yīng)的度量方法。

2.2 存在的主要問題分析

縱觀現(xiàn)有的地圖信息量度量方法，大都套用建立在通信領(lǐng)域信息論基礎(chǔ)上的Shannon信息熵模型，并以某個特征上個體與總體的比值代替Shannon熵模型中的概率。這種機(jī)械套用的方式用于地圖空間信息量度量時，存在的最大問題是忽略了地圖空間信息主要產(chǎn)生于點要素空間分布的多樣性和差異性。如圖1所示，相同圖幅范圍的兩幅地圖具有相同點要素數(shù)目，其中圖1（a）點要素分布均勻，點要素間相對空間位置關(guān)系差異性較小，而圖1（b）不均勻，點要素間相對空間位置關(guān)系差異性較大，因而圖1（a）點要素空間分布比圖1（b）更復(fù)雜多樣化，相應(yīng)的，圖1（a）包含的點要素分布空間信息量較小。而根據(jù)現(xiàn)有度量方法（如文獻(xiàn)［7］的方法），“均勻平衡狀態(tài)”下信息量最大，即圖1（a）空間分布特征產(chǎn)生的幾何信息量比圖1（b）大。表明，簡單的以個體與總體的比值作為概率；不考慮個體之間特征差異性的方法，將導(dǎo)致度量結(jié)果有悖于空間認(rèn)知和信息產(chǎn)生的本質(zhì)（特征的多樣性和差異性）。

圖1 不同空間分布的點狀地圖Fig.1 Two point－shaped maps with different spatial distributions

此外，在地圖信息內(nèi)容的劃分方面，現(xiàn)有研究普遍將點狀地圖的信息內(nèi)容分為幾何信息、拓?fù)湫畔ⅰｎ}信息。這種劃分方式考慮了要素個體分布特征，卻忽略了地圖上大量潛在的由要素組合形成的聚群結(jié)構(gòu)特征。事實上，聚群結(jié)構(gòu)是地圖表達(dá)和空間分析的一類重要集合對象［12－14］，通過聚群結(jié)構(gòu)分析可以提取客觀世界中存在的空間相關(guān)規(guī)律，輔助決策支持。同時，點的聚群分布空間結(jié)構(gòu)信息通常是進(jìn)行點要素合并或典型化等操作的依據(jù)［15］。由此可見，聚群結(jié)構(gòu)信息是點狀地圖信息內(nèi)容的重要組成部分。

2.3 本文研究策略

地圖信息產(chǎn)生的根源是地圖上要素及其分布的多樣性與差異性。因此，在地圖信息量計算模型的選取與確定中，既要滿足信息量的非負(fù)性、可加性、反轉(zhuǎn)對稱性，同時又要能夠恰當(dāng)?shù)孛枋鲆丶捌浞植继卣鞯亩鄻有院筒町愋?。?jù)文獻(xiàn)［16］，本文選擇基于特征的信息量計算模型作為地圖信息量度量模型，表達(dá)為

式中，wi為特征w上第i個標(biāo)準(zhǔn)化的定量描述指標(biāo)值；Iw為特征w的多樣性或差異性產(chǎn)生的信息量。

如圖2所示，3組點狀地圖中圖（a）與（d）之間的差異主要體現(xiàn)在點要素幾何分布方面，與點要素間的分布密度直接相關(guān)，稱這類空間差異產(chǎn)生的信息為幾何分布信息；圖（b）與（e）之間的空間差異主要體現(xiàn)在點要素拓?fù)溧徑雨P(guān)系方面，與點要素的拓?fù)溧徑雨P(guān)系相關(guān)，稱這類差異產(chǎn)生的信息為拓?fù)溧徑有畔?；圖（c）與（f）之間的差異主要體現(xiàn)在點要素的聚群結(jié)構(gòu)分布方面，包括點群結(jié)構(gòu)的數(shù)量、點群結(jié)構(gòu)中點要素數(shù)量及其分布特征存在的差異，稱這類空間差異產(chǎn)生的信息為聚群結(jié)構(gòu)信息。

結(jié)合點狀地圖的空間特征及信息內(nèi)容構(gòu)成，本文分別從點要素分布的幾何分布特征、拓?fù)溧徑犹卣骱途廴航Y(jié)構(gòu)特征出發(fā)，分別提取這些特征的定量描述指標(biāo)，并采用基于特征的信息量模型來度量點狀地圖的幾何分布信息量、拓?fù)溧徑有畔⒘亢途廴航Y(jié)構(gòu)信息量，具體研究策略如圖3所示。

圖2 點狀地圖包含的空間信息內(nèi)容Fig.2 Potential spatial information content contained in point－shaped maps

圖3 點狀地圖信息量度量的策略Fig.3 A strategy for measuring the information content of a point－shaped map

3 點狀地圖空間信息的內(nèi)容構(gòu)成分析

文獻(xiàn)［4］從制圖學(xué)角度首次將信息概念引入地圖學(xué)并提出符號類型信息熵，明確了地圖信息產(chǎn)生于地圖要素的多樣性。文獻(xiàn)［5］指出地圖信息產(chǎn)生于空間差異性。從地圖信息的內(nèi)涵可知，能夠從地圖上獲得豐富的信息，是由于感知到地圖要素及其分布特征的多樣性和差異性。點要素不具備形狀和大小特征，若不考慮專題屬性，點狀地圖的信息主要產(chǎn)生于點要素空間分布的多樣性與差異性，這主要表現(xiàn)在幾何分布密度、拓?fù)溧徑雍途廴航Y(jié)構(gòu)等方面。下面分別從幾何分布特征、拓?fù)溧徑犹卣骱途廴航Y(jié)構(gòu)特征等方面來描述點狀地圖的空間分布特征。

在點狀地圖的幾何分布特征方面，點要素分布密度的差異性反映分布的均勻性程度。點要素的分布密度與相鄰點要素間的距離和方向關(guān)系共同決定，數(shù)值上與對應(yīng)Voronoi區(qū)域面積成反比。Voronoi區(qū)域面積越大，要素分布越稀疏，總體上要素數(shù)量越少，對應(yīng)信息量也越少。Voronoi區(qū)域面積差異越大，點位分布越不均勻，分布形式越豐富，因而信息量越大。由此可見，由點要素幾何分布特征產(chǎn)生的幾何信息量與點要素Voronoi區(qū)域面積及其差異性的大小分別成負(fù)相關(guān)和正相關(guān)的關(guān)系。在點狀地圖的拓?fù)溧徑犹卣鞣矫妫琕oronoi圖對應(yīng)的拓?fù)湎噜徥侵饕泥徑雨P(guān)系，一般用拓?fù)溧徑佣缺硎尽Ｍ負(fù)溧徑佣确从骋刂g的連通性，鄰接度的差異反映空間連通關(guān)系的差異，差異越大則拓?fù)湫畔⒘吭酱?。在點要素分布的局部結(jié)構(gòu)特征方面，聚群結(jié)構(gòu)是空間分布分析的重要對象。目前國內(nèi)外學(xué)者對于聚群的描述進(jìn)行了大量研究，概括點群描述參數(shù)包含點數(shù)、Voronoi面積及鄰接度、點間距離、分布范圍、分布密度、分布形狀和分布軸線［12－15］。從空間認(rèn)知角度，點群中的點數(shù)反映點群規(guī)模；幾何分布范圍反映點群的聚集性程度；分布密度與點數(shù)及分布范圍相關(guān)，但同時也反映松散耦合性，具有獨立特征性質(zhì)。如圖4，點群①與②的分布范圍、①與③的點數(shù)分別接近，但由于分布密度存在差異而使點群結(jié)構(gòu)不同，①的分布密度大，顯然其耦合性程度高。②與③中的點數(shù)、分布范圍雖有較大差異，但其分布密度非常接近，群內(nèi)松散耦合性程度基本相等。而③與④的點數(shù)和密度接近，但③呈圓盤狀分布而④呈帶狀分布，致使③的分布面積比④的大，從而點群存在差異，視覺上點群③與④具有不同的結(jié)構(gòu)。據(jù)此，本文選擇點要素數(shù)量、分布密度、分布面積指標(biāo)描述聚群結(jié)構(gòu)特征。

圖4 點群結(jié)構(gòu)特征Fig.4 The characteristics of point clusters

4 點狀地圖空間信息量的度量方法

4.1 幾何分布信息量的度量

如前所述，幾何分布信息由點要素分布密度及其差異性產(chǎn)生，信息量的大小與總體密度大小和局部密度間的差異大小成正相關(guān)關(guān)系。局部密度分布可由Voronoi圖間接表達(dá)，大小與各點要素的Voronoi區(qū)域面積成反比。Voronoi區(qū)域面積在物理意義上表達(dá)的是點要素的輻射范圍，這不僅與周圍點要素分布相關(guān)，同時也受點要素自身輻射能力的限制。如圖5所示，地圖表達(dá)的點要素及其分布完全相同，圖幅范圍不同，所對應(yīng)的Voronoi圖不盡相同，這主要產(chǎn)生于邊界處。因此，本文通過設(shè)置閾值對邊界進(jìn)行收縮處理構(gòu)建Voronoi圖，其中閾值可取Delaunay三角網(wǎng)內(nèi)部邊長的平均值。該改進(jìn)方法構(gòu)建的Voronoi圖只與要素及其空間位置分布相關(guān)。

圖5 不同圖幅范圍地圖對應(yīng)不同的Voronoi圖Fig.5 Different map sheets with different Voronoi diagrams

改進(jìn)后的Voronoi圖建立后，考慮到點要素對應(yīng)Voronoi區(qū)域面積與局部分布密度成反比的關(guān)系，取Voronoi區(qū)域面積作為這個層次特征的描述指標(biāo)，建立相應(yīng)的信息量模型，得到點狀地圖的幾何分布信息量IG為

4.2 拓?fù)溧徑有畔⒘康亩攘?/h3>

點要素間的拓?fù)潢P(guān)系只有兩種：相離和相重，若不考慮專題屬性，則相重的關(guān)系通常沒有含義，亦即點狀地圖的拓?fù)潢P(guān)系都為相離。進(jìn)而，可以借助點要素的Voronoi區(qū)域間的關(guān)系將相離關(guān)系進(jìn)一步區(qū)分為一階鄰接、二階鄰接和n階鄰接［17］。這里，鄰接程度選擇點要素所對應(yīng)Voronoi區(qū)域的一階拓?fù)溧徑佣茸鳛辄c要素拓?fù)湫畔⒍攘康拿枋鲋笜?biāo)，并對其進(jìn)行規(guī)范化處理后代入基于特征的信息量模型，可得由拓?fù)溧徑犹卣鳟a(chǎn)生的點狀地圖拓?fù)溧徑有畔⒘縄T，表達(dá)為

4.3 聚群結(jié)構(gòu)信息量的度量

點狀地圖上的群體現(xiàn)象相關(guān)的知識通過點群結(jié)構(gòu)表達(dá)。例如，通過分析病例的聚群結(jié)構(gòu)特征可以了解地域、環(huán)境、氣候特征與疾病的相關(guān)性；提取城市群結(jié)構(gòu)可以研究城市生長規(guī)律等。研究點群首先需要提取聚群結(jié)構(gòu)，這通常是通過聚類來實現(xiàn)的。目前，很多學(xué)者對空間聚類方法開展了研究［18－20］。考慮到點群結(jié)構(gòu)內(nèi)部耦合性強而點群間點要素呈現(xiàn)松散的特點，本文采用基于Delaunay三角網(wǎng)的距離密度約束聚類方法提取點群結(jié)構(gòu)［21］。如圖6所示，點狀地圖（a）構(gòu)建Delaunay三角網(wǎng)得到圖（b），并聚類得到點群結(jié)構(gòu)的分布圖（c），視覺上該結(jié)果較好地顧及群內(nèi)和群間的點要素距離約束，使得群內(nèi)凝聚程度高而群間凝聚度低。

圖6 點要素聚類過程Fig.6 Clustering of a set of points

5 試驗與結(jié)果分析

為了驗證本文所提出的空間信息量度量方法的合理性，下面分別用兩組點狀地圖進(jìn)行試驗。

第1組試驗截取相同地圖范圍大小和相同要素數(shù)量而分布均勻程度不一的一組數(shù)據(jù)，如圖7所示（多邊形為點要素的改進(jìn)Voronoi區(qū)域）。分別采用本文方法和文獻(xiàn)［7］方法計算其信息量，結(jié)果列于表1。從圖中可以看出，均勻分布相對簡單，而非均勻分布的整體復(fù)雜度大，要素的空間分布特征較多元化。這一方面反映在各要素Voronoi區(qū)域面積的差異上，在均勻分布情況下，各要素Voronoi區(qū)域面積差異較小，而在非均勻分布情況下，各要素Voronoi區(qū)域面積差異較大。分析幾何分布信息量的計算表達(dá)式（2）可知，Voronoi區(qū)域面積差異越大，計算得到的幾何分布信息量越大。另一方面，均勻分布的點狀地圖，各點要素間的拓?fù)溧徑犹卣鹘咏?，而非均勻分布的點要素間的拓?fù)溧徑犹卣鞑町愐噍^大。圖7（b）中各要素的一階鄰接度的差異明顯要比圖7（a）大。由式（3）可知，一階拓?fù)溧徑佣炔町愒酱?，計算得到的拓?fù)溧徑有畔⒘吭酱蟆４送?，從空間認(rèn)知角度，容易判斷圖7（b）由于點要素間空間距離、拓?fù)溧徑拥忍卣鞯牟町愋愿?，因而更為?fù)雜多樣化，導(dǎo)致包含的信息量更多。從表1中可以看出，本文方法的計算結(jié)果與空間認(rèn)知結(jié)果相一致。同時也發(fā)現(xiàn)，文獻(xiàn)［7］方法計算得到的信息量結(jié)果出現(xiàn)了相反的趨勢，即與空間認(rèn)知結(jié)果不一致。因此，本文方法較文獻(xiàn)［7］方法更具有合理性。

圖7 不同空間分布的點狀地圖Fig.7 Two point－shaped maps with different spatial distributions

表1 不同空間分布的點狀地圖空間信息量計算結(jié)果Tab.1 The results of spatial information content of pointshaped maps with different distributions bit

第2組試驗的數(shù)據(jù)源自某疾控部門提供的新生兒低體重病例分布，根據(jù)一定范圍大小區(qū)域內(nèi)病例數(shù)量差異選取了具有代表性的3個區(qū)域地圖數(shù)據(jù)，分別如圖8（a）、（b）、（c）所示。

試驗中，首先對原始地圖點要素構(gòu)建約束Voronoi圖獲得各點要素對應(yīng)的Voronoi區(qū)域，分別如圖8（d）、（e）、（f）所示。計算各點要素對應(yīng)Voronoi區(qū)域面積，分別利用Voronoi區(qū)域面積和Voronoi一階鄰接度作為特征描述指標(biāo)，計算地圖的幾何分布信息量和拓?fù)溧徑有畔⒘?。然后根?jù)點要素Voronoi鄰接關(guān)系建立Delaunay三角網(wǎng)；進(jìn)而，對三角網(wǎng)的邊依次施加整體到局部的統(tǒng)計距離約束，打斷三角網(wǎng)中的不一致邊（長邊或鏈結(jié)構(gòu)），獲得一系列子圖；最后，搜索通過三角網(wǎng)邊連接的子圖，每個子圖形成一個空間簇，即空間聚群結(jié)構(gòu)。圖8（g）、（h）、（i）所示為聚群后的結(jié)果，其中未被聚入任一空間簇的點為離群點。對每個聚群結(jié)構(gòu)分別統(tǒng)計其點要素數(shù)目、分布面積、分布密度等特征描述指標(biāo)，即可計算得到點狀地圖聚群結(jié)構(gòu)信息量。同時，根據(jù)文獻(xiàn)［7］方法，利用點要素的Voronoi區(qū)域面積和Voronoi鄰接度計算獲得點狀地圖的幾何信息量、拓?fù)湫畔⒘?，計算結(jié)果列于表2。

圖8 分布不等的3組試驗數(shù)據(jù)及對應(yīng)Voronoi圖、聚群結(jié)果Fig.8 Three groups of experimental data with different spatial distributions

表2 圖8中3幅地圖所包含的點要素及聚群數(shù)量及地圖信息量Tab.2 Numbers of points and clusters in the three maps of figure 8and their information content bit

分析表2中3幅地圖的幾何分布信息量、拓?fù)溧徑有畔⒘?、聚群結(jié)構(gòu)信息量的計算結(jié)果，可以得到如下結(jié)論。

（1）隨著點要素的增加，3個層次的空間信息量都在逐步增加。隨著點要素增多，要素分布也越復(fù)雜，不論是從幾何分布特征或是拓?fù)溧徑雨P(guān)系特征來看，要素分布的多樣性都在逐步增加，點要素Voronoi區(qū)域面積、拓?fù)溧徑佣鹊牟町愋栽龃?，因而包含的幾何分布信息量、拓?fù)溧徑有畔⒘吭截S富，而形成的各種聚群結(jié)構(gòu)數(shù)亦可能隨之增加，聚群結(jié)構(gòu)之間包含點要素數(shù)目、分布面積、分布密度的多樣性或差異性增加，由此聚群結(jié)構(gòu)信息量也逐漸增加。

（2）隨著點要素的增加，幾何分布信息量、拓?fù)溧徑有畔⒘侩S點要素數(shù)目增長的速度逐漸變小，這主要有兩方面的原因：其一，隨著點要素基數(shù)的增大，地圖信息載負(fù)漸趨飽和，因而信息量的增長速度越來越緩慢；其二，地圖信息量大小取決于分布多樣性程度，不考慮點要素專題屬性時，隨著點要素基數(shù)的增大，要素分布的復(fù)雜性程度漸趨平穩(wěn)，信息量的增長速度將不及點數(shù)目的增長速度。

（3）對于同一幅地圖，聚群結(jié)構(gòu)信息量最?。划?dāng)點要素數(shù)目較少時，幾何分布信息量較拓?fù)溧徑有畔⒘扛?，而?dāng)點要素數(shù)目偏多時，拓?fù)浞植夹畔⒘繉⒊^幾何分布信息量。這主要是由于隨著點要素的增加，其Voronoi圖的拓?fù)溧徑咏Y(jié)構(gòu)關(guān)系越來越復(fù)雜，對應(yīng)的拓?fù)溧徑佣炔町愐嘣龃?，因而拓?fù)溧徑有畔⒘吭鲩L速度更快。這同時反映了在空間數(shù)據(jù)管理中拓?fù)潢P(guān)系維護(hù)較幾何關(guān)系維護(hù)更復(fù)雜。

（4）隨著聚群結(jié)構(gòu)信息量增長，點要素增長速度越來越快。本試驗中，聚群結(jié)構(gòu)是新生兒低體重病例數(shù)據(jù)空間簇的分布模式，聚群結(jié)構(gòu)信息量豐富，意味著病例分布模式多樣化，反映該區(qū)域?qū)е滦律鷥旱腕w重發(fā)生的條件更成熟，因而病例發(fā)生率偏高。由此，可以通過聚群結(jié)構(gòu)的分布模式，結(jié)合地理生態(tài)環(huán)境等進(jìn)一步分析疾病誘發(fā)因素，采取有效措施進(jìn)行控制。

對比本文方法與文獻(xiàn)［7］方法的計算結(jié)果，本文方法計算結(jié)果更符合人的視覺感知。文獻(xiàn)［7］方法得到區(qū)域1的幾何信息量和拓?fù)湫畔⒘糠謩e為5.7bit和6.8bit，而區(qū)域3的信息量僅有9.2bit和11.4bit，尚且不到區(qū)域1的信息量的2倍，憑目視分析這是不合理的。而本文方法計算結(jié)果具有更為合理的相對大小趨勢。

6 結(jié) 論

本文深入分析了地圖信息的來源和本質(zhì)特征，剖析點狀地圖空間信息構(gòu)成，并將點狀地圖的空間特征區(qū)分為幾何分布特征、拓?fù)溧徑犹卣骱途廴航Y(jié)構(gòu)特征，相應(yīng)的，將點狀地圖的空間信息區(qū)分為幾何分布信息、拓?fù)溧徑有畔⒑途廴航Y(jié)構(gòu)信息。在此基礎(chǔ)上，以基于特征的信息量度量模型為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，通過選取特征度量指標(biāo)，建立了一套點狀地圖空間信息量的度量方法。最后，分別以兩組地圖數(shù)據(jù)為例，并與比較公認(rèn)的文獻(xiàn)［7］方法對比，試驗分析驗證了本文所提出的地圖信息量度量方法的合理性和優(yōu)越性。今后的研究將進(jìn)一步納入點目標(biāo)的語義特征來綜合考慮地圖信息量的度量方法，并嘗試運用地圖信息度量方法與地圖綜合、地圖信息傳輸?shù)葢?yīng)用相結(jié)合，建立基于地圖信息量的地圖綜合評價方法和漸進(jìn)式傳輸方法。

［1］ SHANNON C E.A Mathematical Theory of Communication［J］.The Bell System Technical Journal，1948，27：379－423，623－656.

［2］ KOLáCNY′Cartographic Information：a Fundamental Concept and Term in Modern Cartography ［J］.The Cartographic Journal，1969，6（1）：47－49.

［3］ ZHU Guorui，WANG Jianhua.Research of Some Questions on Modern Cartographic Analysis ［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，1995，24（1）：77－79.（祝國瑞，王建華.現(xiàn)代地圖分析有關(guān)問題的探討［J］.測繪學(xué)報，1995，24（1）：77－79.）

［4］ SUKHOV V I.Information Capacity of a Map：Entropy［J］.Geodesy and Aero Photography，1967，10（4）：212－215.

［5］ NEUMANN J.The Topological Information Content of a Map：an Attempt at a Rehabilitation of Information Theory in Cartography［J］.Cartography，1994，31（1）：26－34.

［6］ BJOKE J T.Framework for Entropy－based Map Evaluation［J］.Cartography and Geographic Information Systems，1996，23（2）：78－95.

［7］ LI Z L，HUANG P Z.Quantitative Measures for Spatial Information of Maps ［J］.International Journal of Geographical Information Science，2002，16（7）：699－709.

［8］ HARRIE L，STIGMAR H.An Evaluation of Measures for Quantifying Map Information ［J］.ISPRS Journal of Photogrammetry and Remote Sensing，2010，65（3）：266－274.

［9］ WU H Y，ZHU H J，LIU Y.A Raster－based Map Information Measurement for Qos［C］∥Proceedings of ISPRS.［S.l.］：ISPRS，2004：365－370.

［10］ CHENG Changxiu，LU Feng，NIU Fangqu.Verification of Raster－based Map Information Measurement［J］.Geo－Information Science，2006，8（1）：127－130.（程昌秀，陸鋒，牛方曲.柵格地圖信息量計算方法的驗證分析［J］.地球信息科學(xué)，2006，8（1）：127－130.）

［11］ LIU Huimin，F(xiàn)AN Zide，DENG Min，et al.A Hierarchical Approach to Measuring the Information Content of the Contours in a Map［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2012，41（5）：777－783.（劉慧敏，樊子德，鄧敏，等.地圖上等高線信息度量的層次方法研究［J］.測繪學(xué)報，2012，41（5）：777－783.）

［12］ AI Tinghua，LIU Yaolin.A Method of Point Cluster Simplification with Spatial Distribution Properties Preserved［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2002，31（2）：175－181.（艾廷華，劉耀林.保持空間分布特征的群點化簡方法［J］.測繪學(xué)報，2002，31（2）：175－181.）

［13］ JIANG Hao，CHU Yandong，YAN Haowen，et al.Study on Computation of Similarity Relationships of Multi－scale Point Objects ［J］.Geography and Geo－Information Science，2009，25（6）：1－4.（江浩，褚衍東，閆浩文，等.多尺度地理空間點群目標(biāo)相似關(guān)系的計算研究［J］.地理與地理信息科學(xué)，2009，25（6）：1－4.）

［14］ MAO Zhengyuan.The Study of Extracting Structure Information of a Clustered Spatial Point Pattern［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2007，36（2）：181－186.（毛政元.集聚型空間點模式結(jié)構(gòu)信息提取研究［J］.測繪學(xué)報，2007，36（2）：181－186.）

［15］ YAN Haowen，WANG Jiayao.A Generic Algorithm for Point Cluster Generalization Based on Voronoi Diagrams［J］.Journal of Image and Graphics，2005，10（5）：603－606.（閆浩文，王家耀.基于Voronoi圖的點群目標(biāo)普適綜合算法 ［J］.中國圖象圖形學(xué)報，2005，10（5）：603－606.）

［16］ WHELAN B M，MCBRATNEY A B.Prediction Uncertainty and Implications for Digital Map Resolution［C］∥Proceedings of the Fourth International Conference on Precision Agriculture.Madison： ［s.n.］， 1998：1185－1196.

［17］ CHEN J，ZHAO R L，LI Z L.Voronoi－based K－order Neighbor Relations for Spatial Analysis ［J］.ISPRS Journal of Photogrammetry and Remote Sensing，2004，59（1）：60－72.

［18］ YAN H W，WEIBEL.An Algorithm for Point Cluster Generalization Based on the Voronoi Diagram ［J］.Computers and Geosciences，2008，34（8）：939－954.

［19］ PEI T，JASRA A，HAND D J，et al.DECODE：A New Method for Discovering Clusters of Different Densities in Spatial Data［J］.Data Mining and Knowledge Discovery，2009，18（3）：337－369.

［20］ DENG Min，LIU Qiliang，LI Guangqiang，et al.Spatial Clustering Analysis and Applications ［M］.Beijing：Science Press，2011.（鄧敏，劉啟亮，李光強，等.空間聚類分析及應(yīng)用［M］.北京：科學(xué)出版社，2011.）

［21］ DENG M，LIU Q L，CHENG T，et al.An Adaptive Spatial Clustering Algorithm Based on Delaunay Triangulation［J］.Computers，Environment and Urban Systems，2009，35（4）：320－332.