鄭艷霞

（中國(guó)青年政治學(xué)院 經(jīng)濟(jì)系，北京 100089）

和經(jīng)典數(shù)學(xué)分支相比，概率是一門“年輕”的學(xué)科，這門學(xué)科到目前還有許多不完善的地方，但就它已得到的成果，已經(jīng)給人類活動(dòng)的諸多領(lǐng)域帶來了一場(chǎng)革命.這場(chǎng)革命也改變了人們的思維方法，如果我們運(yùn)用概率的知識(shí)來重新分析和認(rèn)識(shí)自己生活和工作中的問題，不但能對(duì)以往的經(jīng)驗(yàn)找到數(shù)學(xué)的理論依據(jù)，而且會(huì)得到與以往思維模式不同的答案，而理性的思維方式會(huì)讓我們變得更聰明，更有智慧.

1 只要功夫深，鐵杵磨成針——概率告訴我們持之以恒的力量

某人英語基礎(chǔ)薄弱，目前只有高中生的英語水平，工作需要他5年之后必須去英國(guó)，并且需要運(yùn)用英語開展工作.可是他現(xiàn)在的工作十分繁忙，無法抽出大量的時(shí)間來集中學(xué)習(xí)英語，于是他制定了一份特殊的學(xué)習(xí)計(jì)劃——每天抽出30分鐘時(shí)間來學(xué)習(xí)英語.我們幫他分析一下，他5年后能夠運(yùn)用英語工作的可能性有多大？

按照北京語言大學(xué)出國(guó)留學(xué)人員英語培訓(xùn)的科目資料顯示：英語聽說讀寫全能業(yè)余班培訓(xùn)初級(jí)班共需要120小時(shí)，中級(jí)班120小時(shí)，高級(jí)班120小時(shí).按照該人需要達(dá)到中級(jí)班培訓(xùn)合格的水平計(jì)算，每天30分鐘的時(shí)間學(xué)習(xí)英語知識(shí)對(duì)于實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的可能性非常小，僅僅為p=0.002083左右.設(shè)Ai={第i天學(xué)習(xí)成功}且Ai相互獨(dú)立,i=1,…,n.再設(shè)A={五年后能夠運(yùn)用英語工作}，5年有 1825天，當(dāng) n=1825時(shí)，P(A)

若該人想要達(dá)到高級(jí)班培訓(xùn)合格的水平，p=0.0014，P(A)=1-(1-p)n=92.24%.

由計(jì)算結(jié)果可以看出，只要此人每天堅(jiān)持花30分鐘時(shí)間努力學(xué)習(xí)英語，這個(gè)人5年后能夠運(yùn)用英語工作的可能性為97.84%，這幾乎說只要他每天堅(jiān)持努力，5年后能運(yùn)用英語工作是自然而然的事情；就是自如運(yùn)用英語進(jìn)行工作也有九成以上的把握.因此人要是想增加一件事情成功的把握，一個(gè)方面是增加事情本身成功的勝算，也就是增大p值.如果本身事情成功的勝算不大甚至于很小，只要堅(jiān)持不懈的努力，也就是增大n的取值依然可以增大成功的可能性，而且長(zhǎng)時(shí)間堅(jiān)持不懈的努力，會(huì)把一件希望渺茫的事情變成必然.這也是對(duì)“只要功夫深，鐵杵磨成針”的最好詮釋.

2 三個(gè)臭皮匠，頂一個(gè)諸葛亮——概率告訴我們團(tuán)隊(duì)合作的力量

常言道：“三個(gè)臭皮匠，頂一個(gè)諸葛亮”.這是對(duì)人多辦法多，集體力量大的一種贊譽(yù)，這也可以由概率的計(jì)算得到證實(shí).假設(shè)三個(gè)臭皮匠能獨(dú)立解決某問題的概率分別為0.45，0.55，0.60,問三人合力能解決該問題的可能性是多少？

將三人編號(hào)為1,2,3,記Ai={第i個(gè)人能解決該問題}，i=1,2,3.解決上述問題關(guān)鍵是求P(A1∪A2∪A3).已知P(A1)=0.45，P(A2)=0.55，P(A3)=0.60，且 A1，A2，A3相互獨(dú)立，因此

看！三個(gè)并不聰明的臭皮匠，能以90%以上的概率解決問題，聰明的諸葛亮也不過如此嘛.可見團(tuán)隊(duì)合作是非常重要的.由此可見，在一個(gè)團(tuán)隊(duì)中，只要能夠集思廣益，把大家的優(yōu)勢(shì)都發(fā)揮出來，力量比擁有幾個(gè)“智者”大得多.

3 未雨綢繆——概率指導(dǎo)我們科學(xué)看待體檢，防病治病

一項(xiàng)血液化驗(yàn)有95%的把握將患者某種癌癥鑒別出來.但是，這項(xiàng)化驗(yàn)用于檢測(cè)健康人也會(huì)有5%的人呈現(xiàn)陽性（即把健康人誤診為患癌癥的概率為5%）.如果該種癌癥的患者實(shí)際占人口的0.5%，而某人化驗(yàn)結(jié)果是陽性，問此人患該種癌癥的概率是多少？如果某人化驗(yàn)結(jié)果是陽性，該怎么辦？

我們首先分析如果某人的體檢結(jié)果呈陽性，他患有癌癥的風(fēng)險(xiǎn)有多大.假設(shè)A={化驗(yàn)結(jié)果為陽性}，B={此人患該種癌癥}，B={此人健康}，由貝葉斯公式有

計(jì)算結(jié)果表明，若該人進(jìn)行試驗(yàn)且結(jié)果為陽性，則此人確實(shí)患癌癥的概率為P(B1|A)=0.087.也就是說即使檢查的結(jié)果呈陽性也不必過早下結(jié)論該人患有癌癥，這種可能性只有8.7%，即平均每1000人中大約只有87人確患有該種癌癥.但是這種試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥是有很大意義的.如果不做試驗(yàn)抽查一人，他是患者的概率P(B1)=0.005；若作試驗(yàn)且是陽性結(jié)果，則他是患者的概率為P(B1|A)=0.087，患癌癥的風(fēng)險(xiǎn)提高十七倍多，起到了很好的警示作用.

如果某人體檢結(jié)果顯示為陽性，在保持樂觀精神的同時(shí)提高對(duì)該種癌癥監(jiān)測(cè)力度是必要的.下面用貝葉斯公式計(jì)算監(jiān)測(cè)的用處.設(shè) Ai={第 i次化驗(yàn)結(jié)果為陽性，i=1，2，3}，B={此人患該種癌癥}，B={此人健康}，由貝葉斯公式有

這說明體檢結(jié)果呈現(xiàn)陽性，隔一段時(shí)間再去監(jiān)測(cè)，如果監(jiān)測(cè)結(jié)果仍然是呈陽性的，此時(shí)患癌癥的風(fēng)險(xiǎn)已經(jīng)過半，必須提高警惕了，應(yīng)該在積極就醫(yī)的情況下保持良好心態(tài)并繼續(xù)進(jìn)行監(jiān)測(cè).

再過一段時(shí)間再去監(jiān)測(cè)，假如結(jié)果仍然呈陽性，幾乎可以肯定該人是患了癌癥，因?yàn)?/p>

運(yùn)用概率的知識(shí)讓我們能夠更加客觀的看待醫(yī)學(xué)檢查，既不是悲觀失望，被檢查結(jié)果嚇倒，同時(shí)又采取科學(xué)的態(tài)度進(jìn)一步監(jiān)測(cè)，用正確的方法指導(dǎo)就醫(yī).

4 抓住真兇——概率給我們一雙“慧眼”，認(rèn)清嫌疑犯

1981年3月30日，美國(guó)大學(xué)退學(xué)學(xué)生Hinckley企圖對(duì)里根總統(tǒng)行刺，他打傷了里根總統(tǒng)、里根總統(tǒng)的新聞秘書以及兩個(gè)保安人員.1982年，Hinckley因?yàn)榉赣兄\殺總統(tǒng)的罪名而被起訴，審判他時(shí)，Hinckley以精神病為理由為自己作無罪的辯護(hù).Hinckley的辯護(hù)律師拿出Hinckley的CAT掃描作為證據(jù)爭(zhēng)辯說，因?yàn)镠inckley的掃描展示了腦萎縮，因而他患有精神病的可能性更大些.作證的醫(yī)師是Daniel R.Weinberger告訴法院當(dāng)被診斷為精神分裂癥的人進(jìn)行CAT掃描(計(jì)算機(jī)輔助層析掃描)時(shí)，掃描結(jié)果有30%的案例顯示為腦萎縮，而只有2%的正常人掃描顯示腦萎縮.最后在辯護(hù)人的有力辯護(hù)下，Hinckley被判無罪.那么辯護(hù)律師提供的關(guān)于腦萎縮證據(jù)足以說明Hinckley患有精神病嗎？

從表面上看，Hinckley辯護(hù)律師的辯護(hù)似乎很有說服力，能夠證實(shí)Hinckley是精神病患者.下面我們用概率的方法驗(yàn)證一下辯護(hù)律師的結(jié)論.通過收集醫(yī)學(xué)資料可以知道，在美國(guó)精神分裂癥的發(fā)病率大約為1.5%.設(shè)事件A={腦萎縮}，B={患有精神病}，由貝葉斯公式有

計(jì)算結(jié)果表明，在Hinckley的CAT掃描結(jié)果是腦萎縮的前提下，他患有精神病的可能性只有18.6%，顯然辯護(hù)律師僅僅用CAT掃描結(jié)果是腦萎縮來證明Hinckley患有精神病，證據(jù)的說服力很弱，如果想證明Hinckley確實(shí)患有精神病，還應(yīng)該提供其他更有力的證據(jù)才行.

由此可見，我們通常得到的一些結(jié)論在表面上看似乎很有道理，但是運(yùn)用概率知識(shí)進(jìn)行分析和計(jì)算，就會(huì)發(fā)現(xiàn)其實(shí)有些結(jié)果與我們的直覺是不一樣的.甚至可以得出截然相反的答案來.

5 “3σ原則”助力高考作文閱卷——概率讓感性的工作增加客觀公正的籌碼

“3σ原則”指的是，若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為μ和σ2的正態(tài)分布，則P(|X-μ|<3σ)=0.9974.也就是說，如果隨機(jī)變量是服從參數(shù)為μ和σ2的正態(tài)分布，則隨機(jī)變量的1000個(gè)取值平均有997個(gè)以上分布在以μ為中心以3σ為半徑的區(qū)間內(nèi).也就是說，隨機(jī)變量取值非常大或者非常小都是很少的.

“3σ原則”在工業(yè)上普遍使用，現(xiàn)在其他行業(yè)也開始使用該原則，比如現(xiàn)在高考語文的作文評(píng)分中就使用了該原則.大家都知道，語文作文的評(píng)分很難，有的老師覺得這篇作文結(jié)構(gòu)緊湊，文字優(yōu)美就給出高分，甚至給出滿分，而同樣一篇作文假如換另外一位老師判卷，可能就是另外的分?jǐn)?shù)，中間的分?jǐn)?shù)差異可能很大，這就給考生的成績(jī)帶來不小的變化，而高考成績(jī)是決定人命運(yùn)的大事，因此如何建立相對(duì)公平的給分體系，是教育專家們考慮的一個(gè)重要問題.由概率知識(shí)可知高考語文作文成績(jī)服從正態(tài)分布，于是引入概率統(tǒng)計(jì)中的“3σ原則”，來干預(yù)高考的語文作文閱卷工作.大致的作法是：請(qǐng)一批包括大學(xué)教授在內(nèi)的最有聲望的作文老師團(tuán)隊(duì)來判分，發(fā)現(xiàn)他們的分?jǐn)?shù)判的比較準(zhǔn)確、穩(wěn)定，分?jǐn)?shù)相差不多，因此用他們的分?jǐn)?shù)作為統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)來確定當(dāng)年的作文分?jǐn)?shù)的期望μ和方差σ2，給出當(dāng)年高考作文的平均值及分?jǐn)?shù)的波動(dòng)的上下限來.在高考語文作文閱卷過程中，不斷檢查每位閱卷教師所給出的作文分?jǐn)?shù)，如果閱卷老師給出的分?jǐn)?shù)在允許的范圍之內(nèi)就通過，認(rèn)為閱卷老師給出的是合理的分?jǐn)?shù)，否則馬上警告這一小組要小心，如果再出現(xiàn)一個(gè)奇異分?jǐn)?shù)，就將該組試卷全部重判，甚至請(qǐng)專家組介入判卷過程，只有經(jīng)過多人重復(fù)確定的奇異分?jǐn)?shù)才會(huì)有效，以此保證給出的作文分?jǐn)?shù)更加合理.“3σ原則”在高考語文作文判卷中的使用，對(duì)于極高或者極低分?jǐn)?shù)的作文成績(jī)起到警戒作用，對(duì)于高考語文作文判卷這項(xiàng)主觀性很強(qiáng)的工作增加理性的衡量，對(duì)于判分的公平性起到了很好的作用.

6 免費(fèi)抽獎(jiǎng)問題——概率讓我們認(rèn)清商家的促銷活動(dòng)

某電子產(chǎn)品公司推出了一個(gè)非常有吸引力的抽獎(jiǎng)活動(dòng)：“本公司為了答謝廣大用戶長(zhǎng)期以來的支持與厚愛，特別推出免費(fèi)抽獎(jiǎng)活動(dòng).抽獎(jiǎng)方式為：箱子里有20張卡片，10張上標(biāo)有數(shù)字10，另外的10個(gè)上標(biāo)有數(shù)字5.從箱子里摸出10張卡片，把各卡片上的數(shù)字相加，按數(shù)字之和設(shè)置獎(jiǎng)項(xiàng)如下：

?

“抽獎(jiǎng)結(jié)果共有 11個(gè)，即 50、55、60、65、70、75、80、85、90、95、100分.其中有10個(gè)分?jǐn)?shù)可免費(fèi)得到獎(jiǎng)品，中獎(jiǎng)率超過90%”.

這樣的宣傳從直覺上非常有誘惑力，但是如果我們仔細(xì)觀察，就會(huì)發(fā)現(xiàn)實(shí)際上情況與我們想象的有很大的差異，顧客參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)即便中獎(jiǎng)也幾乎都是非常小的獎(jiǎng)項(xiàng)，能夠中六等獎(jiǎng)以上的獎(jiǎng)項(xiàng)非常稀少，大部分中獎(jiǎng)的顧客都是DVD盤盒，或者可以購買5折U盤.下面我們運(yùn)用概率知識(shí)，詳細(xì)解讀商家的抽獎(jiǎng)活動(dòng).

分析可知，這是一個(gè)超幾何分布，設(shè)Ai={抽出10張卡片中含有數(shù)字 10的個(gè)數(shù)}，i=0，1，2，……，10，則 P(Ai)=.經(jīng)過計(jì)算可以得到中各種獎(jiǎng)的概率如下

?

再進(jìn)一步調(diào)查各種獎(jiǎng)項(xiàng)的成本，得到下面的信息：

?

計(jì)算商家的平均收益為：

由此可見，這場(chǎng)看似熱鬧的抽獎(jiǎng)活動(dòng)，其實(shí)是商家促銷的一種手段.實(shí)際上商家在擴(kuò)大自己的知名度、免費(fèi)進(jìn)行了廣告宣傳的同時(shí)還是穩(wěn)賺不賠的.而商家宣傳的中獎(jiǎng)率超過90%的概率只是迷惑顧客的方法.這11種情況出現(xiàn)的概率大小差別非常大，而通常我們會(huì)認(rèn)為各種情況出現(xiàn)的可能性是均等的，商家借此概念的混淆來迷惑顧客.

由于隨機(jī)現(xiàn)象在現(xiàn)實(shí)世界中大量存在,概率越來越顯示出它巨大的威力.其實(shí)，我們?nèi)粘Ｉ钪械教幎加懈怕实挠白?，小到每天的天氣預(yù)報(bào)，大到航空母艦的制造，都離不開概率統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)和實(shí)際的生活中，有許多問題尤其是決策問題可以直接或間接地利用概率結(jié)論來解決，或者可以應(yīng)用概率給出有價(jià)值的參考意見.

〔1〕鄭艷霞，鄧艷娟.高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教程[M].北京：清華大學(xué)出版社，2010.

〔2〕中央電視臺(tái)《百家講壇》欄目組.相識(shí)數(shù)學(xué)[M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2006.

〔3〕林志興.概率與直覺[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理,2006(2)：240-243.