尹文亭， 徐昌榮

（江西理工大學(xué)建筑與測繪工程學(xué)院，江西贛州341000 ）

0 引 言

橢球面上點(diǎn)的大地經(jīng)度L、大地緯度B，兩點(diǎn)間大地線長度S 及其正、反大地方位角A12、A21，通稱為大地元素. 如果知道某些大地元素推求另一些大地元素[1-2]，這樣的計算叫大地主題解算. 大地主題解算被應(yīng)用于空間技術(shù)、航空、航海、國防等很多方面， 但在實(shí)際使用時會遇到各種各樣的問題，為了使這些問題得以解決，長期以來，國內(nèi)外眾多學(xué)者一直關(guān)注該問題并提出多種解算方法[3]，大致歸納為五類[4]：①以大地線在大地坐標(biāo)系中的微分方程為基礎(chǔ)，如史賴伯公式——該公式已被廣泛采用，被公認(rèn)為解算短距離( 小于120 km) 大地主題的最好方法[5]，高斯平均引數(shù)法[1-2]等；②以白塞爾大地投影為基礎(chǔ)，如陳俊勇公式[6]、張志新公式[7]，以及史國友研究的貝塞爾大地主題正解[8]和反解[9]的改進(jìn)算法等； ③利用地圖投影理論解算大地問題，如博林公式、巴烏曼公式、許厚澤公式[10]等；④對大地線微分方程進(jìn)行數(shù)值積分的解法[11]，如高斯法、龍格-庫塔法、牛頓法、嵌套系數(shù)法和切比雪夫法[1,2]等；⑤依據(jù)大地線以外其他線為基礎(chǔ)，如弦線、法截線[1-2]等. 有關(guān)大地主題解算方法雖然比較完善，但這些方法仍然存在一些缺陷，比如說奇異問題和繁瑣公式的計算，特別是應(yīng)用范圍受到一定的限制[13].

電腦的廣泛應(yīng)用，為改進(jìn)大地主題的解算方法提供了新的條件. 在電算中進(jìn)行迭代， 簡而易行.如今嵌套系數(shù)法[14-15]大地主題解算被認(rèn)為能解決任意距離的大地主題解算問題，嵌套式的解算模型更宜編制電算程序， 但是在應(yīng)用嵌套系數(shù)法進(jìn)行C#程序設(shè)計解算大地主題計算時發(fā)現(xiàn)，當(dāng)大地線的起終點(diǎn)在同一緯度時， 某些情況反解不能解算出結(jié)果. 由于嵌套系數(shù)法大地主題解算計算公式的復(fù)雜性和問題的隱秘性，使得它很難發(fā)現(xiàn).

針對上面的問題，文中提出了用倍角公式變換的方法對反解公式進(jìn)行改進(jìn)，改進(jìn)后方法不但可以解決嵌套系數(shù)法反解的問題，而且滿足精度要求.

1 嵌套系數(shù)法大地主題解算的基本原理

2 嵌套系數(shù)法大地主題的反解公式及問題

如果已知兩點(diǎn)的大地坐標(biāo)（L1,B1）和（L2,B2），計算兩點(diǎn)間的大地線長S 及其正、反方位角A12、A21，這類問題叫做大地主題反解. 嵌套系數(shù)法的大地主題反解公式[2]如下：

（1） tanu1=(1-α)tan B1, tanu2=(1-α)tan B2

（2） △ω=L2-L1+d△ω 首次取d△ω

（4） cosun=cosu1cosu2sin△ω/sin△σ

（5） cos2σm=cos△σ-2sinu1sinu2/sin2un

（8） △s=K1b(△σ-d△σ)

（10）檢驗(yàn)差：H=cosu1sinA1-cosu2sinA2

當(dāng)B1≠B2時， 公式有1≥cos2σm≥-1， 此時sin≥2σm和2σm可以求出，cos4σm和cos6σm也可以解出；但是當(dāng)B1=B2時， 一些情況下cos2σm＜-1， 這樣就導(dǎo)致sin2σm和2σm解算不出來，從而導(dǎo)致cos4σm和cos6σm都不能解算，最終導(dǎo)致這時的反解計算不能解算出結(jié)果.

3 嵌套系數(shù)法反解公式的改進(jìn)算法

鑒于嵌套系數(shù)法大地主題反解出現(xiàn)的問題，再次對公式進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，分析發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)該問題的主要原因是計算中公式迭代導(dǎo)致cos2σm＜-1 而無法求解cos4σm和cos6σm的值.為了解決這個問題，通過不斷地探索最后發(fā)現(xiàn)可以不求公式中的sin2σm和2σm，轉(zhuǎn)而通過用倍角公式變換對原公式進(jìn)行改化來求cos4σm和cos6σm，具體如下：

4 算例和結(jié)果分析

為了驗(yàn)證改進(jìn)后方法是否真正解決了嵌套系數(shù)法反解中存在的問題，現(xiàn)以VS2010[16]為開發(fā)環(huán)境，用原嵌套系數(shù)法和改進(jìn)后方法編制一套大地主題解算程序，在編寫程序中參考文獻(xiàn)[17]中注意的問題，驗(yàn)證時加入了高斯平均引數(shù)法和白塞爾法進(jìn)行對比. 反解計算的前四個例子選用克拉索夫斯基橢球， 橢球參數(shù)為：a =6378245.0 m，b =6356863.0188 m； 最后一個算例選用1975 年國際橢球， 橢球參數(shù)為：a =6378140.0 m，b =6356755.288158 m.例1 結(jié)果見表1， 例2～例5 的起算數(shù)據(jù)見表2，結(jié)果見表3.

例1（B1=40°02′35.6784″，L1=130°10′12.2627″，B2=40°02′35.6784″，L2=128°59′53.8816″）

表1 例1 大地主題反解算例驗(yàn)證結(jié)果

表2 例2～例5 起算數(shù)據(jù)

表3 例2～例5 大地主題反解算例驗(yàn)證結(jié)果

以上所有例子都是大地線的起終點(diǎn)位于同一緯度時的情況，上面例子中大地線長度計算包括了從短距離到長距離， 以及大地線在赤道的情況，由于高斯平均引數(shù)法不適于計算大地線長度大于200 公里的主題解算問題，所以將例1 和其他例子分開驗(yàn)證，表2 中例5 采用的是文獻(xiàn)[14]數(shù)據(jù).

通過對上面例子數(shù)據(jù)的分析發(fā)現(xiàn)，當(dāng)原嵌套系數(shù)法不能解算出大地線起終點(diǎn)在同一緯度的反解情況時，改進(jìn)后方法能夠解算出結(jié)果，和其他兩種方法比較，結(jié)果滿足要求. 因此改進(jìn)后方法解決了原嵌套系數(shù)法反解中出現(xiàn)的問題，適用于任意距離的大地主題反解計算.

5 結(jié)束語

本文通過對嵌套系數(shù)法大地主題反解的研究，分析了嵌套系數(shù)法反解中當(dāng)大地線起終點(diǎn)在同一緯度時出現(xiàn)的問題，并針對該問題提出了一種改進(jìn)的算法，通過算例的證明，得出改進(jìn)后的方法解決了該問題，結(jié)果是正確而且可靠的，同時對于大地線在赤道時的情況解算和判斷更加簡單. 嵌套系數(shù)法的改進(jìn)使得有關(guān)大地主題方面的解算更加的完善，這將為洲際聯(lián)測、導(dǎo)彈火箭和衛(wèi)星發(fā)射等方面發(fā)揮重要的作用.

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