基于三叉樹(shù)模型的美式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題研究

韓 旭

（西南財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)理金融學(xué)（經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)學(xué)院），四川 成都 61130）

一、前言

美式期權(quán)是指“在期權(quán)的到期日之前的任何時(shí)刻，期權(quán)的持有者均可執(zhí)行的期權(quán)”。當(dāng)今金融衍生品市場(chǎng)發(fā)展非常迅速，金融衍生品種類(lèi)繁多，并且美式期權(quán)由于其本身的優(yōu)勢(shì)，交易非常常見(jiàn)。其交易有助于投資者進(jìn)行套期保值規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，有助于適應(yīng)投資者多樣性的投資動(dòng)機(jī)，有助于投資者開(kāi)拓投資渠道，獲得較高收益。對(duì)于美式期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題，我們尚不能得到美式期權(quán)價(jià)格的解析解，其困難的根源是美式期權(quán)允許在到期前的任何時(shí)刻被執(zhí)行。解決美式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題當(dāng)今主流主要有PDE，蒙特卡洛模擬和叉樹(shù)方法進(jìn)行求解。本文通過(guò)對(duì)三叉樹(shù)模型的推導(dǎo)及具體算例來(lái)應(yīng)用解決基于三叉樹(shù)模型的美式期權(quán)定價(jià)的問(wèn)題。

二、三叉樹(shù)模型介紹

r是利率，σ是資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率， dW代表了一個(gè)維納過(guò)程?？紤]一個(gè)[0，T]時(shí)刻的期權(quán)，它的收益為：

K 是執(zhí)行價(jià)格。為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們假設(shè)P 是一個(gè)鞅測(cè)度?？紤]一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)為 /2tΔ 的CRR 二叉樹(shù)模型，在風(fēng)險(xiǎn)中性的情況下，概率p，bu 和bd 定 義如下：

結(jié)合CRR 二叉樹(shù)模型的兩步，下面我們進(jìn)行三叉樹(shù)模型的第一步，令Δt =T /N 。記 Vn( S )為標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)為S，時(shí)間為n Δt時(shí)的期權(quán)價(jià)格，下面我們得到一個(gè)歐式期權(quán)的三叉樹(shù)模型：

從遞推式（3）和最后條件（8），我們可以倒推期權(quán)價(jià)格。對(duì)于美式期權(quán)，我們把（3）式換成：

三、具體案例應(yīng)用

下面以美國(guó)納斯達(dá)克某上市公司為例來(lái)應(yīng)用三叉樹(shù)模型為美式期權(quán)定價(jià)的問(wèn)題。2010 年12 月8 日股票為9.19 美元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率為0.022251，其看漲期權(quán)存續(xù)期為0.512328 年，波動(dòng)率的標(biāo)準(zhǔn)差為0.436522，不發(fā)放紅利，該標(biāo)的股票行權(quán)價(jià)格為12.16美元，該期權(quán)12 月8 日的收盤(pán)價(jià)為1.554 美元。

調(diào)用相關(guān)計(jì)算程序結(jié)果為：

由以上結(jié)果可知，3.0533 為該期權(quán)的價(jià)格，但12 月28 日的實(shí)際收盤(pán)價(jià)為1.544 美元，該期權(quán)被低估了，建議買(mǎi)入，因?yàn)樵撈跈?quán)是無(wú)紅利類(lèi)型，提前執(zhí)行沒(méi)有意義，因此建議到期日再執(zhí)行。

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[2]姜禮尚. 期權(quán)定價(jià)的數(shù)學(xué)模型及方法（第二版）[M].高等教育出版社，2008.

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