劉堂晏，湯天知，杜環(huán)虹，章海寧，王紅濤

1 海洋地質(zhì)國家重點實驗室（同濟大學(xué)），上海 200092

2 中國石油集團測井有限公司技術(shù)中心，西安 710077

3 油氣藏地質(zhì)與開發(fā)工程國家重點實驗室 （西南石油大學(xué)），成都 610500

4 北京航空航天大學(xué)儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，北京 100191

1 引 言

經(jīng)典Archie公式是測井資料解釋從定性解釋到定量解釋的標志，并奠定了計算機處理測井資料的基礎(chǔ)，在相對簡單的儲層中，Archie公式完美地描述了巖石物性、電性與含油性之間的關(guān)系［1］.但是，隨著石油勘探面臨的儲層日益復(fù)雜化，例如，孔隙結(jié)構(gòu)的復(fù)雜化，泥質(zhì)的含量增加等因素，都導(dǎo)致經(jīng)典Archie公式的應(yīng)用效果受到限制.為了擴展Archie公式在復(fù)雜地層中的應(yīng)用，Waxman－Smits等使用泥質(zhì)的附加導(dǎo)電性，提出了 Waxman－Smits模型［2］.另一方面，經(jīng)典 Archie公式包含a、b、m、n等4個參數(shù)，按照Archie本人的定義，這些參數(shù)分別描述地層巖性、孔隙中的膠結(jié)、含油巖石的潤濕性和飽和度對巖石導(dǎo)電性的影響［1］.然而，自從1942年Archie公式發(fā)表70年以來，為了明確這些參數(shù)的物理含義和確定方法，很多學(xué)者（例如，Aguilera，李寧等），對此進行了長期的探索，提出了各種參數(shù)含義的解釋方法和確定方法［3－7］.當巖石孔隙中飽含油、氣、水等多相流體時，孔隙中的流體構(gòu)成多相流體系統(tǒng)，Glover提出了多相流系統(tǒng)Archie公式的一般形式［8］.其核心思想是，不同相流體之間，以加權(quán)幾何平均值的形式，構(gòu)成流體相的導(dǎo)電能力，按照Glover多相流體導(dǎo)電模型，經(jīng)典Archie公式可以看成是單相流體的導(dǎo)電模型.值得注意的是，Kennedy和 Glover等都提出，φ－Sw，m－n 具有導(dǎo)電意義上的對應(yīng)關(guān)系［5，8］.最近的研究表明，巖石的導(dǎo)電性質(zhì)，還與巖石孔隙結(jié)構(gòu)及形態(tài)有關(guān).Aguilera針對裂縫和孔洞，以及它們的組合形式，分別給出了m（膠結(jié)指數(shù)）理論表達式.Shang將孔隙分成洞形孔和裂縫孔，根據(jù)等效巖石組分模型（Equivalent Rock Element Model），推導(dǎo)出全新的飽和度計算方程［4，9］.作為 Waxman－Smits模型的深入研究，Olivar在討論泥質(zhì)顆粒的導(dǎo)電特征的時候，考慮了泥質(zhì)顆粒的排列方式和均勻程度，提出了修正的 Waxman－Smits模型［10］.本次研究，基于球管模型研究了巖石孔隙結(jié)構(gòu)與巖石導(dǎo)電特性之間的關(guān)系，并將研究與實驗數(shù)據(jù)進行了對比分析.根據(jù)球管模型的數(shù)值模擬結(jié)果，說明了實驗數(shù)據(jù)發(fā)散與巖石導(dǎo)電機制之間的關(guān)系.

2 孔隙結(jié)構(gòu)與巖石導(dǎo)電特性的關(guān)系

巖石中存在孔隙，且孔隙被具有一定礦化度的地層水飽和，這是巖石具有導(dǎo)電性的前提.就是說，被地層水飽和的孔隙形成了巖石的導(dǎo)電路徑.真實巖石的孔隙結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜，為了簡單起見，我們首先使用簡單的孔隙結(jié)構(gòu)，說明巖石孔隙結(jié)構(gòu)與巖石導(dǎo)電性之間的關(guān)系.

不失一般性，本文研究使用單位體積巖石模型研究巖石孔隙結(jié)構(gòu)與導(dǎo)電性質(zhì)之間的關(guān)系.經(jīng)典物理學(xué)告訴我們，電阻定律是研究材料導(dǎo)電特性的基本定律之一.把多孔巖石看成一種導(dǎo)電材料，在對巖石內(nèi)部的孔隙進行簡化歸并以后，形成具有均勻直線管狀導(dǎo)電孔隙的單位體積巖石模型（圖1）.在圖1的導(dǎo)電模型中，因為是單位體積模型，所以，巖石的長度和截面積都是1.假設(shè)巖石模型的孔隙度為φ，則導(dǎo)電截面上的導(dǎo)電面積為φ.根據(jù)電阻定律，可以寫出圖1中巖石模型的電阻表達式為

其中，R0是巖石飽含鹽水的電阻，單位Ω；Rw為鹽水（地層水）的電阻率，Ωm；φ為單位巖石模型的孔隙度，小數(shù).

因為是單位體積巖石，R0在數(shù)值上等于巖石的電阻率.對比方程（1）和經(jīng)典Archie第一公式，可以看到，方程（1）就是m＝1，a＝1時的Archie公式.所以，從這個意義上說，阿爾奇公式是特殊導(dǎo)電孔隙下的巖石電阻定律.仔細分析阿爾奇公式第一定律和第二定律，可以發(fā)現(xiàn)，R0與Sw之間的關(guān)系，類似于Rw與φ之間的關(guān)系，即Rw構(gòu)成φ中的導(dǎo)電能力，R0也構(gòu)成了Sw中的導(dǎo)電能力［4－5］.而且，還可以證明，當巖石含油以后，只要含油部分只是減小了導(dǎo)電截面積，而沒有改變巖石的導(dǎo)電路徑和分布，這個時候，膠結(jié)指數(shù)（m）與飽和度指數(shù)（n）在數(shù)值上也是相等的，它們的本質(zhì)都是反映巖石導(dǎo)電路徑的曲折程度對巖石導(dǎo)電能力的影響.

圖1 單位巖石的電阻模型Fig.1 Resistance model in unit rock sample

假設(shè)圖1中單位巖石模型的孔隙中含有一層平直狀態(tài)的“油帶”，由于含水體積減少，含水飽和度為Sw.這樣假設(shè)的目的，是巖石含油不改變巖石導(dǎo)電路徑的形態(tài)和分布，只是減小了巖石導(dǎo)電的截面積.此時，巖石的電阻率為Rt，單位巖石模型的導(dǎo)電截面積變?yōu)棣誗w.再一次使用電阻定律，可以得到含油巖石的電阻：

其中，Rt是巖石含油后的電阻，對于單位體積巖石，Rt在數(shù)據(jù)上等于巖石的電阻率，Ωm；Sw是巖石的含水飽和度，小數(shù).

將方程（2）與經(jīng)典Archie第二公式對比，可以看到，方程（2）就是b＝1，n＝1的Archie第二公式.這就是說，巖石含油后，只要導(dǎo)電路徑的形態(tài)沒有變化，Archie公式的中的a，b，m，n具有相同的含義和數(shù)值，都是表示巖石導(dǎo)電路徑的形態(tài)對巖石導(dǎo)電能力的影響.也就是說，Archie公式是電阻定律在巖石導(dǎo)電情況下的應(yīng)用特例.

3 含球管模型的巖石導(dǎo)電方程

多個學(xué)者研究結(jié)果和實驗分析數(shù)據(jù)已經(jīng)證明［11－13，5，8］，巖石的導(dǎo)電性質(zhì)與孔隙結(jié)構(gòu)有關(guān).就是說，在孔隙度相同的情況下，不同孔隙結(jié)構(gòu)的巖石，可能具有不同的電阻率.在Archie公式中，使用膠結(jié)指數(shù)m描述孔隙結(jié)構(gòu)的曲折性對巖石導(dǎo)電性的影響［1，3］.但是，真實巖石的孔隙結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜，除了實驗分析外，幾乎不能使用解析方法研究巖石的導(dǎo)電性與孔隙結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系.作為真實巖石孔隙結(jié)構(gòu)的一種抽象方法，本次研究應(yīng)用球管模型研究巖石孔隙結(jié)構(gòu)與導(dǎo)電性之間的關(guān)系［14］.不失一般性，假設(shè)截面積為1的單位體積圓柱形巖石樣品，其長度也為1（圖2）.

圖2 單位體積圓柱巖石的球 管導(dǎo)電模型 （rS 0＜）Fig.2 The Conductive Model with spherical and cylindrical pore in unit cylindrical sample （（r S0 ＜）

根據(jù)截面積的公式，圓柱體樣品截面的半徑為

其中，rS0為單位巖石樣品的截面半徑，無量綱.

將孔隙結(jié)構(gòu)的變化，歸結(jié)為管半徑與球半徑比值的變化（Cd值的變化，方程（4））［14］.因為是單位體積的巖石模型，所以，球管模型的體積就是巖石模型的孔隙度.在Cd值的變化過程中，球半徑在小于和大于巖石樣品的半徑（rS0）時，即rs可能有不同的取值區(qū)間，球管模型相應(yīng)地可能呈現(xiàn)不同的形式（圖3）.根據(jù)圖3中球管模型的不同退化形態(tài)，計算不同退化形態(tài)球管模型的體積，也就是巖石模型的孔隙體積，得到方程（4），

圖3 rs的取值區(qū)間和球管模型的退化圖形Fig.3 The Sphere－Cylinder Model may take different degradations when the rstakes different values

其中，V1，V2，V3，V4是球管模型在不同退化形態(tài)下的體積（圖2，圖3），無量綱；V5，V6為中間變量，無量綱；rs為球管模型的球形孔半徑，無量綱；rc為球管模型的管形孔半徑，無量綱.

在單位體積的圓柱巖石樣品中，球管模型的體積就是圓柱巖石樣品的孔隙度，即

方程（5）是關(guān)于rs的高次無理方程，沒有解析解.但是，可以把方程（5）改寫為方程（6）中的迭代格式.數(shù)值計算結(jié)果表明，這個迭代格式是收斂的.

當電流按照圖2，圖3中紅色箭頭方向流動時，在圖2，圖3的每一個電阻微元上，應(yīng)用電阻定律，得到rs在不同數(shù)值區(qū)間時巖石模型飽含鹽水的電阻率R0（方程（7））.

根據(jù)Archie定義的地層因素F［1］，可以很容易根據(jù)方程（7）寫出地層因素的表達式.在圖2，圖3的模型中，把孔隙結(jié)構(gòu)的變化，歸結(jié)為Cd值的變化［14］.Cd分別取為0.25，0.35和0.95，可以計算Cd變化時單位巖石模型的地層因素與孔隙度關(guān)系（圖4）.

圖4 地層因素數(shù)值模擬與實驗分析數(shù)據(jù)Fig.4 Comparison of lab data and number simulation for formation factor

圖4的模擬結(jié)果說明3個問題.首先，在孔隙度相同的情況下，不同的Cd值，對應(yīng)了不同的地層因素，即巖石具有不同的地層電阻率.前面已經(jīng)說過，Cd值的變化，反映了孔隙結(jié)構(gòu)的變化，所以，本次研究，使用解析的方法證明，孔隙結(jié)構(gòu)的變化將會引起巖石電阻率的變化；其次，Cd值變小時，孔隙度與地層因素的雙對數(shù)坐標上呈現(xiàn)一種曲線變化的關(guān)系（圖4中，Cd＝0.25對應(yīng)的紅線）.Cd變小，意味著巖石的導(dǎo)電喉道變小，也即巖石的導(dǎo)電路徑趨于復(fù)雜化.球管模型導(dǎo)電方程的計算結(jié)果說明，在復(fù)雜孔隙結(jié)構(gòu)中，巖石的地層因素與孔隙度之間的關(guān)系是曲線關(guān)系，就是說，在復(fù)雜孔隙結(jié)構(gòu)的巖石中，巖石的膠結(jié)指數(shù)（m）與孔隙度有關(guān)（圖4中的紅線）；第三，在Cd較大的時候，巖石的孔隙結(jié)構(gòu)趨于簡單，這個時候，地層因素與孔隙度之間的關(guān)系接近于線性，這個特點與經(jīng)典Archie公式的結(jié)論一致，所以說，經(jīng)典Archie公式描述了簡單孔隙結(jié)構(gòu)中的巖石導(dǎo)電規(guī)律.將實測的巖電分析數(shù)據(jù)與數(shù)值模擬結(jié)果對比，可以看到，實測巖電數(shù)據(jù)與數(shù)值分析的結(jié)果一致.特別是對于實測數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的發(fā)散現(xiàn)象，不能一概歸結(jié)為測量誤差引起的.球管模型導(dǎo)電方程的數(shù)值模擬結(jié)果說明，巖石孔隙結(jié)構(gòu)變化，也可能導(dǎo)致實驗數(shù)據(jù)的發(fā)散（圖4）.

對比方程（7）與Archie第一公式的推導(dǎo)過程，可以看出，前者是基于球管模型的介質(zhì)模型，根據(jù)電阻定律進行理論推導(dǎo)得到的，其公式的形式和計算結(jié)果不依賴于實驗分析數(shù)據(jù)，屬于正演模型公式；另一方面，Archie第一公式是基于實驗分析數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)擬合公式，公式的形式和計算結(jié)果與特定的實驗數(shù)據(jù)有關(guān)，屬于反演模型公式.實際上，對圖4中的數(shù)據(jù)進行優(yōu)化擬合，采用Archie第一公式形式，也可以得到球管模型對應(yīng)的Archie第一公式的形式（圖5）.以Cd＝0.25的模擬數(shù)據(jù)（表1），得到球管模型對應(yīng)的Archie第一公式即為方程（8）.在數(shù)據(jù)擬合過程中，適當減少了邊界點的權(quán)重，主要考慮中間數(shù)據(jù)對擬合結(jié)果的影響.在方程（8）中，膠結(jié)指數(shù)（m）等于1.401，就是說，對于Cd＝0.25的球管模型，其曲折的導(dǎo)電路徑增加了膠結(jié)指數(shù).換句話說，方程（7）中對應(yīng)Cd＝0.25和參數(shù)a＝1.528，m＝1.401的Archie第一公式（方程（8））在最優(yōu)化擬合的意義上描述了同一種球管模型的導(dǎo)電特征.

表1 Cd＝0.25數(shù)值模結(jié)果Table 1 Number simulations for Cd＝0.25

圖5 數(shù)值擬合與Archie公式擬合結(jié)果的對比Fig.5 Comparison of number simulations and Archie′s Fitting

4 油水飽和球管模型的巖石導(dǎo)電方程

當油氣進入巖石以后，假設(shè)除了導(dǎo)電體積的差異之外，油氣在球管模型中的形態(tài)與孔隙結(jié)構(gòu)完全一致（圖6，方程（9））.

圖6 含油氣球管模型的示意圖Fig.6 Oil－bearing sphere－cylinder model

其中rco，rso分別是位于管形孔中油柱的半徑和位于球形孔中油珠的半徑（圖6），無量綱.Cdo的數(shù)值描述完整油珠的形態(tài).

以方程（7）中的的第一種情況為例，研究球管模型飽和油氣以后的巖電關(guān)系，其他情況完全可以類推.與研究地層因素的方法類似，在圖6模型的每一個電阻微元應(yīng)用電阻定律，可以寫出含油氣球管模型的電阻定律（方程（10））.設(shè)油珠的半徑為rso，含油氣巖石的電阻可以寫成（方程（10）），

根據(jù)Archie關(guān)于電阻增大系數(shù)的定義［1，15］，可以寫出電阻增大系數(shù)I.

同樣地，方程（11）與方程（7）的性質(zhì)類似，都是基于球管模型根據(jù)電阻定律推導(dǎo)出來的，方程（11）的形式和計算結(jié)果與特定的實驗數(shù)據(jù)無關(guān).

油珠、油柱體積與含油飽和度的關(guān)系按照飽和度的定義寫出（方程（12）），

其中，V0為球管孔隙中的含油體積，無量綱.

方程（12）是關(guān)于rso的一元三次方程，可以使用迭代格式確定rso（方程13）.計算結(jié)果表明，這個迭代格式是收斂的.

把rso的迭代格式（方程（13））代入到方程（11）中，很顯然，此時的電阻增大系數(shù)I是關(guān)于Cd和Cdo的函數(shù).當Cdo和Cd各自獨立變化時，I將反映油柱和孔隙在不同配置情況下的巖石導(dǎo)電特征.對方程（11）進行數(shù)值模擬，得到含油球管模型I－Sw的數(shù)值模擬結(jié)果（見圖7）.圖7的數(shù)值模擬結(jié)果說明，首先，對于單一的球管模型飽含油氣后，認為Cdo＝Cd是油珠在球管模型中的均勻充填方式.當Cdo和Cd之間取不同的數(shù)值組合，其本質(zhì)是反映了孔隙與油珠之間不同的組合.在孔隙和油珠不同的配置關(guān)系下，本次研究的數(shù)值模擬結(jié)果表明，巖石電阻率可以出現(xiàn)增大（Cdo＜Cd）和降低的趨勢（Cdo＞Cd）.就是說，即使不考慮巖石導(dǎo)電礦物的因素，油珠和孔隙空間的不同配置關(guān)系，也會形成低電阻油層；其次，數(shù)值模擬結(jié)果說明，由于巖石中油珠的非均勻充填，可以看到，I與Sw關(guān)系在Sw小于1的時候，呈現(xiàn)一種發(fā)散的趨勢，實驗數(shù)據(jù)證實了這個趨勢（圖7）.很顯然，這種數(shù)據(jù)發(fā)散的趨勢與孔隙結(jié)構(gòu)有關(guān)，同時，也與孔隙含油后導(dǎo)致更復(fù)雜的導(dǎo)電路徑有關(guān).也就是說，本次研究的數(shù)值模擬結(jié)果證實，不能簡單地把實驗數(shù)據(jù)的發(fā)散看成是測量誤差的結(jié)果，這種數(shù)據(jù)發(fā)散現(xiàn)象，可能同時包含了孔隙結(jié)構(gòu)復(fù)雜化和導(dǎo)電路徑復(fù)雜化的因素.

將圖4和圖7的數(shù)值模擬結(jié)果對比，可以看到在巖石孔隙飽含水時，巖石的電阻率只與孔隙結(jié)構(gòu)有關(guān).當Cd＝0.25，0.35，0.95時，Cd值對應(yīng)的F－φ之間關(guān)系從曲線關(guān)系趨于直線關(guān)系.即當Cd逐漸增大時，F(xiàn)－φ之間的關(guān)系趨向于線性.較小的Cd值反映一種比較復(fù)雜的孔隙結(jié)構(gòu)，所以，本次研究的數(shù)值模擬結(jié)果證明對于復(fù)雜的孔隙結(jié)構(gòu)，F(xiàn)－φ之間的關(guān)系趨于非線性變化.在巖石孔隙中飽含油氣以后，油氣形態(tài)與孔隙結(jié)構(gòu)之間組合關(guān)系的變化，使巖石中的導(dǎo)電路徑趨于進一步復(fù)雜化（圖7）.當Cdo大于、等于或小于Cd的時候，I－Sw之間的關(guān)系呈現(xiàn)不同的曲線變化方式.特別是在Cd0大于Cd的時候，巖石電阻率有降低的趨勢，這就是低電阻油層的一種特征.所以，即使不考慮地層水礦化度、巖石骨架礦物導(dǎo)電等因素導(dǎo)致的低電阻，油珠形態(tài)與孔隙形態(tài)之間不同組合方式也可能導(dǎo)致低電阻油層.在Cdo小于Cd的時候，巖石電阻率也有急劇增加的現(xiàn)象.在這種情況下，油珠比較均勻地充填在巖石孔隙中，導(dǎo)致巖石的電阻率急劇增加（圖7）.所以，電測井中出現(xiàn)電阻率急劇增加，也可能與油珠形態(tài)與孔隙形態(tài)之間的不同組合方式有關(guān)（圖7，圖8），也與良好的巖石物性有關(guān)［16］.

例如，假設(shè)在Sw＝0.2（油層）的情況下，當Cd＝Cdo＝0.35；Cdo＝0.45，Cd＝0.65；Cdo＝0.65，Cd＝0.45的時候，根據(jù)方程（11）計算的I值分別為5.815，42.367和3.153.就是說，在同樣的含油飽和度情況下，油珠形態(tài)與孔隙結(jié)構(gòu)之間不同的組合形式，同樣可以導(dǎo)致巖石電阻率增大和降低.實際測井解釋與巖心實驗數(shù)據(jù)已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了這個現(xiàn)象［13，16］，本次研究使用解析方程的數(shù)值模擬證實了其中的導(dǎo)電機制問題.

圖8是Luo20井的實際測井曲線，在2號解釋層中，上半部分電阻率高，約為20Ωm，而下半部分電阻率降低，只有10Ωm.在巖性和孔隙結(jié)構(gòu)背景基本一致情況下，這種電阻率的變化完全可以歸結(jié)為油珠形態(tài)和孔隙結(jié)構(gòu)之間組合方式的變化.另一方面，在具有復(fù)雜孔隙結(jié)構(gòu)的儲層中，油氣在孔隙中的不均勻充填可能導(dǎo)致高含油飽和度的儲層顯示為低電阻率（圖7），也就是所謂的低電阻率油層［16］，所以，本次研究的數(shù)值模擬結(jié)果證實，復(fù)雜孔隙結(jié)構(gòu)是低電阻率油層的成因之一.

圖7 含油球管模型I－Sw的數(shù)值模擬與實驗數(shù)據(jù)分析Fig.7 Comparison of lab data and number simulation for I－Swrelations in oil－bearing sphere－cylinder model

圖8 孔隙結(jié)構(gòu)差異引起電阻率的變化Fig.8 Resistivity changes due to the different pore structure

5 結(jié) 論

本次研究基于球管模型研究了完全含水巖石和含油巖石的巖電關(guān)系，并將數(shù)值模擬結(jié)果與實驗測量、實際測井數(shù)據(jù)進行了對比分析.本次研究的結(jié)論可以歸納為：

（1）Archie公式是電阻定律在巖石導(dǎo)電條件下的應(yīng)用特例；

（2）不同的孔隙結(jié)構(gòu)可以導(dǎo)致曲線形式和發(fā)散形式的巖電關(guān)系.實驗測量中的發(fā)散巖電數(shù)據(jù)，不完全是誤差引起的，可能與巖石的孔隙結(jié)構(gòu)有關(guān)；含油巖石，可以導(dǎo)致巖電關(guān)系的進一步發(fā)散，其原因是油珠在孔隙中的分布導(dǎo)致了更復(fù)雜的導(dǎo)電路徑；

（3）實際測井數(shù)據(jù)和球管模型的數(shù)值模擬均證實，在良好孔隙結(jié)構(gòu)的儲層中，油氣在孔隙中的均勻充填導(dǎo)致了巖石的高電阻率.另一方面，本次研究的數(shù)值模擬結(jié)果證明，復(fù)雜孔隙結(jié)構(gòu)是導(dǎo)致低電阻油層的原因之一.

本次研究著重于孔隙結(jié)構(gòu)與巖石導(dǎo)電性之間機制研究，怎樣將本文的研究結(jié)論用于實際地層的評價，例如，在孔隙結(jié)構(gòu)背景已知的條件下，特別是在具有復(fù)雜孔隙結(jié)構(gòu)背景的地層中，如何突出含油層與含水層在電阻率數(shù)值上的差異，需要做更深入的研究工作.另外，球管模型是一種相對規(guī)則的孔隙模型，對于孔隙性碎屑巖具有比較好的實用性.但是，對于不規(guī)則孔隙儲層或裂縫儲層，其實用性需要更多的實際資料佐證.

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