鄭淑娟　翟立安

這是一次五區(qū)聯(lián)合的數(shù)學(xué)青年教師教學(xué)比賽，課題是八年級(jí)第二學(xué)期的《平面向量》第一課時(shí)，是一節(jié)概念教學(xué)課，數(shù)學(xué)組的老師們聽到這個(gè)課題都不禁感嘆道：這課難上??！這是二期課改新加入的教學(xué)內(nèi)容，筆者是第一次教這節(jié)內(nèi)容，真是巨大挑戰(zhàn)！

一、兩次教案修改，追求真實(shí)教學(xué)

1 第一次教案修改后的教學(xué)片段

上課一開始，師生間現(xiàn)場(chǎng)問路：（1）你們班主任的辦公室在哪里？（2）你們學(xué)校的物理實(shí)驗(yàn)室在哪里？

學(xué)生輕松愉快的用語(yǔ)言表達(dá)夾帶著點(diǎn)手勢(shì)，熱情、細(xì)心地為筆者指路。如筆者所想，課堂氣氛一下子被調(diào)動(dòng)起來(lái)了。

筆者及時(shí)總結(jié)：這位同學(xué)的描述很準(zhǔn)確，由此可見，準(zhǔn)確地描述一次位置移動(dòng)不僅要指出移動(dòng)的距離大小，還要指出移動(dòng)的方向。

學(xué)生們安靜地思考著，若有所悟。

緊接著，筆者給出一個(gè)游戲：如圖1，中國(guó)象棋的半個(gè)棋盤上有一只“馬”，它位于點(diǎn)A處，它能否走若干步從點(diǎn)A走到點(diǎn)B？（馬的走法是：馬走日。）

學(xué)生們又興奮起來(lái)了，紛紛用手比劃著，筆者請(qǐng)一位學(xué)生回答：點(diǎn)A先走到向右2格向上1格的位置，再走到向左2格向上1格的位置，最后走到向左1格向下2格的位置。

正如筆者所料，學(xué)生會(huì)用語(yǔ)言來(lái)表達(dá)而且語(yǔ)言表述比較復(fù)雜，這時(shí)，筆者就有話可說(shuō)了：這樣表達(dá)是不是比較復(fù)雜啊，我們有沒有更簡(jiǎn)潔、明了的方式來(lái)表達(dá)呢？筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生們突然悶了，再追問：比如圖形語(yǔ)言，學(xué)生們才慢慢反應(yīng)過(guò)來(lái)，可以畫走法示意圖。筆者再請(qǐng)學(xué)生上黑板畫，學(xué)生畫“有箭頭”的線段來(lái)表示A的移動(dòng)。

最后，筆者指著示意圖總結(jié)：這個(gè)圖形叫做有向線段，它可以簡(jiǎn)潔、明了地表示既有大小又有方向的量，這就是我們今天學(xué)習(xí)的課題。

反思：（1）活動(dòng)沒有真實(shí)感，現(xiàn)場(chǎng)指路辦公室和實(shí)驗(yàn)室都過(guò)于復(fù)雜，且學(xué)生由于空間限制只能想象卻看不見，真實(shí)感不強(qiáng)，（2）沒有真實(shí)共鳴，從過(guò)于生活化且口語(yǔ)化的指路總結(jié)出“準(zhǔn)確地描述一次位置移動(dòng)的兩個(gè)要素”，其中思維跨度很大，難怪很多學(xué)生都在思考，這個(gè)活動(dòng)效果不如老師的口令活動(dòng)來(lái)得好。（3）沒有真實(shí)思考，象棋游戲中，學(xué)生很難想到用圖示表示走法，因?yàn)檫@不是他們的經(jīng)驗(yàn)，在老師的幾次引導(dǎo)下，直至老師說(shuō)出圖形語(yǔ)言，有些學(xué)生才想到用圖示法，雖然象棋走法示意圖比老師的指路示意圖要來(lái)得簡(jiǎn)單，但卻脫離學(xué)生經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生無(wú)從思考，（4）沒有真實(shí)需求，該導(dǎo)入設(shè)計(jì)思路：有些場(chǎng)景中，語(yǔ)言表達(dá)較復(fù)雜且不明確，比較之下，圖形語(yǔ)言顯得簡(jiǎn)潔而明了，學(xué)生能自然而然地感受到學(xué)習(xí)有向線段的必要性，但是，實(shí)際效果反倒是后者顯得刻意而陌生，是學(xué)生能真實(shí)感受到學(xué)習(xí)它的必要性呢？還是只有老師才覺得學(xué)生有學(xué)習(xí)它的必要性呢？

2 第二次教案修改后的教學(xué)片段

上課一開始，老師先來(lái)一段開場(chǎng)白：同學(xué)們，老師下周將要去靜安區(qū)的市西中學(xué)開課，你能大致描述靜安區(qū)相對(duì)于楊浦區(qū)的位置嗎？

學(xué)生見老師有求于他們，都抓耳撓腮地努力思考著：不是很清楚，有地圖嗎？

我預(yù)計(jì)到學(xué)生并不清楚靜安區(qū)在哪里，所以準(zhǔn)備好了地圖，而且有了地圖也更加直觀、更加真實(shí)。

我展示出地圖，并告訴學(xué)生兩個(gè)區(qū)分別在哪里，并在地圖上標(biāo)出。

學(xué)生回答：西南方向。

這正是個(gè)契機(jī)，可以復(fù)習(xí)一下方位角的概念，在本節(jié)課中方位角是一個(gè)重要的刻畫方向的工具。

老師：在生活語(yǔ)言中，西南方向是指一個(gè)大致范圍，在數(shù)學(xué)語(yǔ)言中呢？

學(xué)生回答：南偏西45度方向。

老師：你能較準(zhǔn)確地描述市西中學(xué)相對(duì)于同濟(jì)初級(jí)中學(xué)的位置嗎？在地圖上，把兩個(gè)學(xué)校抽象為點(diǎn)，點(diǎn)A表示同濟(jì)初級(jí)中學(xué)，點(diǎn)B表示市西中學(xué)。

學(xué)生們陷入思考，過(guò)了一會(huì)，有的說(shuō)要先畫條線段，有的說(shuō)要先測(cè)量出角度。

老師：你為什么要畫線段，為了得到什么？

學(xué)生：我要得到兩個(gè)學(xué)校之間的距離。

老師：你怎樣測(cè)量呢？

這個(gè)契機(jī)可以用來(lái)復(fù)習(xí)比例尺，它是本節(jié)課一個(gè)重要的刻畫距離的工具。

學(xué)生：先在圖上連結(jié)A、B兩點(diǎn)，測(cè)量?jī)牲c(diǎn)的圖上距離，再根據(jù)該地圖的比例尺計(jì)算出它們的實(shí)際距離。

在這位同學(xué)的引導(dǎo)下我們得到A、B兩點(diǎn)相距11km。

此時(shí)，一些同學(xué)已經(jīng)按捺不住了：還要測(cè)角度呢！

老師：你剛才說(shuō)要測(cè)量角度，難道你覺得有距離還不夠嗎？

學(xué)生A堅(jiān)定有力地反駁：當(dāng)然不夠，距離點(diǎn)A11km的又不只點(diǎn)B一點(diǎn)。

看他那么篤定，筆者故意裝傻：那有多少??？

學(xué)生得意地回答：有無(wú)數(shù)個(gè)，這么說(shuō)吧，就是以點(diǎn)A為圓心，11km為半徑的圓上所有的點(diǎn)。

其他學(xué)生紛紛點(diǎn)頭表示贊同，有幡然醒悟的同學(xué)甚至豎起了大拇指表示贊揚(yáng)，筆者也先是一驚，從有多少個(gè)的問題能引出他那么精彩的回答，我該怎么點(diǎn)評(píng)呢？我轉(zhuǎn)向其他學(xué)生：他的回答精彩嗎？

學(xué)生們：精彩。

筆者問一位剛才大拇指豎得特別起勁的學(xué)生：你覺得精彩在哪？

學(xué)生笑答：最近我們剛學(xué)習(xí)了軌跡，到定點(diǎn)距離為定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡就是圓，他能夠活學(xué)活用，利用我們學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)來(lái)說(shuō)明問題。

學(xué)生的點(diǎn)評(píng)伴隨著發(fā)自內(nèi)心的快樂。他們感受到了數(shù)學(xué)知識(shí)能夠?qū)W以致用的快樂。

在學(xué)生A的補(bǔ)充回答后，我們得到了最終結(jié)果：點(diǎn)B在點(diǎn)A的南偏西44度，距離11千米的地方。

此時(shí)，筆者很有底氣的問道：由此可見，在平面上描述兩個(gè)點(diǎn)的相對(duì)位置，需要幾個(gè)要素？

學(xué)生齊答：方向和距離。

師：對(duì)，沒錯(cuò)，其實(shí)，在現(xiàn)實(shí)生活中我們經(jīng)常遇到刻畫某個(gè)量不僅需要方向，還需要距離，比如現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)告訴我怎樣走到班長(zhǎng)的位置？

班級(jí)氣氛又一下子活躍了起來(lái)，同學(xué)們都躍躍欲試。

學(xué)生B：向右，注意是老師您的右邊走大概三步吧，或者說(shuō)走兩塊半地磚，再向前走大概四步就是三塊地磚，對(duì)了，就是她了。

學(xué)生邊說(shuō)，筆者邊跟著口令移動(dòng)，整個(gè)班級(jí)學(xué)生的視線都集中在了筆者身上，這樣真實(shí)的體驗(yàn)對(duì)于筆者是，對(duì)于他們亦是。

此時(shí)給他們一個(gè)思考問題是再合適不過(guò)的了。

師：我們把剛才老師位置移動(dòng)的問題抽象為一個(gè)平面幾何問題，把人抽象為點(diǎn)，點(diǎn)A表示老師，點(diǎn)B表示班長(zhǎng)，請(qǐng)看大屏幕，請(qǐng)你思考、除了用語(yǔ)言描述，我們還可以怎樣簡(jiǎn)明直觀地描述剛才的位置移動(dòng)？

思考片刻后，大多學(xué)生在下面用筆畫了起來(lái)，筆者請(qǐng)了一位同學(xué)到臺(tái)上回答，他畫了兩個(gè)帶有箭頭的線段，這次，我沒有急于宣布這個(gè)就是我們今天要學(xué)習(xí)的有向線段。

師問：你們覺得這位同學(xué)哪里畫得最好。

學(xué)生：箭頭。

師問：為什么？

學(xué)生：這樣就指明了方向，我們就很明白，從點(diǎn)A到這一點(diǎn)，再?gòu)倪@一點(diǎn)到點(diǎn)B。

師：也就是說(shuō)，這個(gè)圖形不僅能夠表示大小，還能夠表示方向，我們把這種規(guī)定了方向的線段叫做有向線段。

二、反思再反思，做到真實(shí)不容易

最終，筆者在比賽課上使用了后一個(gè)導(dǎo)入方案，課堂效果很好，雖然學(xué)生都是第一次見面的陌生學(xué)生，筆者對(duì)于他們也是陌生老師，但是學(xué)生的反應(yīng)很積極、很熱情，也很大膽，所以師生間的互動(dòng)倒像是老搭檔了，自然、親切且有默契，我想，這就是真實(shí)的巨大力量吧！

記得曾經(jīng)聽一位老師說(shuō)過(guò)：教師像演員，總是扮演著不同的角色，筆者倒有了不一樣的理解：教師像演員，如果我們不投入真實(shí)的情感，何以打動(dòng)觀眾呢？

原以為真實(shí)的教學(xué)需要學(xué)生的真實(shí)共鳴、學(xué)生的真實(shí)思考和學(xué)生的真實(shí)需求，卻不曾反問過(guò)自己：“我真實(shí)嗎？”

筆者手拿幾次修改的教案，回憶著一次又一次的試講，看著自己一筆一劃地寫著“真實(shí)”，幡然醒悟，學(xué)生很真實(shí)，是筆者，是老師不真實(shí)啊。

首先，第一次老師的指路辦公室雖然能說(shuō)明一次位置移動(dòng)需要兩個(gè)要素，學(xué)生也許能理解但是并沒有真實(shí)的共鳴，第二次，讓學(xué)生說(shuō)出地圖上兩點(diǎn)的相對(duì)位置，雖然這比前兩個(gè)方案難度有所提高，但是有學(xué)習(xí)方位角、比例尺的經(jīng)驗(yàn)，也有相關(guān)地理知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)，所以我們要相信學(xué)生是能夠解決的，學(xué)生無(wú)論是先想到描述方向還是距離，那么之后的補(bǔ)充發(fā)言將是思維亮點(diǎn)。出乎筆者意料的是，學(xué)生居然能夠運(yùn)用軌跡的知識(shí)把只有方向或者只有距離是不夠的理由說(shuō)明得非常精彩，通過(guò)學(xué)生之間的回答、互相補(bǔ)充和互相點(diǎn)評(píng)，真實(shí)的共鳴就自然產(chǎn)生了，那老師在其中要做些什么呢？‘對(duì)比之前筆者的陳述和總結(jié)，現(xiàn)在應(yīng)該選擇——傾聽，沒有老師的真心傾聽，哪有學(xué)生的真實(shí)共鳴。

其次，第二個(gè)活動(dòng)是在第一個(gè)活動(dòng)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步理解并應(yīng)用“一次位置移動(dòng)需要兩個(gè)要素”，并能夠用有向線段表示，因?yàn)榈谝淮卫蠋熓冀K沒有交代第一個(gè)活動(dòng)是怎么結(jié)束的，第二個(gè)活動(dòng)又是怎么開始的，所以學(xué)生始終不明白一個(gè)一個(gè)活動(dòng)我們要干嘛？第二次，筆者在兩個(gè)活動(dòng)之間加了導(dǎo)向語(yǔ)“其實(shí)，在現(xiàn)實(shí)生活中我們經(jīng)常遇到刻畫某個(gè)量不僅需要方向還需要距離，比如現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)告訴我怎樣走到班長(zhǎng)的位置？”同學(xué)們不但明白了自己在學(xué)習(xí)什么，而且都能夠積極思考，并參與到活動(dòng)中來(lái)，找班長(zhǎng)的活動(dòng)把課堂氣氛烘托到了最佳點(diǎn)，這樣一句看似簡(jiǎn)單的導(dǎo)向語(yǔ)和活動(dòng)卻起了不可小視的作用，當(dāng)教師要求學(xué)生真實(shí)思考的時(shí)候，有沒有反思過(guò)你先思考了嗎？如果筆者只是單純地要求學(xué)生配合完成活動(dòng)，那么學(xué)生是只會(huì)為活動(dòng)而活動(dòng)，他們很想知道他們要干什么，他們現(xiàn)在做的是不是有新的知識(shí)、技能蘊(yùn)含其中，若筆者只是把活動(dòng)、習(xí)題，無(wú)目的、死氣沉沉地一口一口塞給他們，他們便也漸漸失去了思考的權(quán)利和本能了，教師應(yīng)該先思考清楚我要做怎么，我為什么要這么做，在教師沒有思考透徹之前是沒有資格埋怨學(xué)生的。

最后，無(wú)論是通過(guò)指路還是下象棋，都無(wú)法讓學(xué)生感受到使用有向線段的必要性，那么學(xué)習(xí)必將成為負(fù)擔(dān)和累贅，真實(shí)的需求難道只有必要性嗎？有時(shí)，它不一定必要，但是它可以使得我們看待問題又多了一個(gè)角度，解決問題又多了一個(gè)方法，這是個(gè)多元化的時(shí)代，社會(huì)一直在討論創(chuàng)新性，應(yīng)該讓學(xué)生知道，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)了一種工具，我們就可以把問題放在一個(gè)新的模型中來(lái)解決，所以最后筆者采用的策略是直接開門見山告訴學(xué)生我們可以換一個(gè)角度看問題，“把剛才老師位置移動(dòng)的問題抽象為一個(gè)平面幾何問題，請(qǐng)你思考，除了用語(yǔ)言描述，我們還可以怎樣簡(jiǎn)明、直觀地描述剛才的位置移動(dòng)？”這就是真實(shí)的需求。

通過(guò)這次比賽，我成長(zhǎng)了不少，看問題不再是問“學(xué)生為什么這樣，而不是那樣呢”，而是更多的反思自己，反問自己“我真實(shí)了嗎？”我想我會(huì)繼續(xù)選擇做真實(shí)的老師、做真實(shí)的自己。