力學(xué)在機(jī)械工程中的延伸應(yīng)用

司 建 崔立達(dá)

1中航工業(yè)河南新飛專用汽車有限公司（453000） 2新鄉(xiāng)市高服篩分機(jī)械有限公司（453000）

機(jī)械工程設(shè)計應(yīng)用中，我們會遇到各種各樣的問題，如機(jī)械產(chǎn)品的系列化設(shè)計，在大小不同的型號設(shè)計中，我們?nèi)绾伟殉墒飚a(chǎn)品的經(jīng)驗(yàn)成功轉(zhuǎn)移到其他系列產(chǎn)品中。顯然，若機(jī)械地采用幾何相似形狀比例放大是不科學(xué)的,因?yàn)闃?gòu)件尺寸的改變，外部受力環(huán)境的變化，其構(gòu)件的力學(xué)強(qiáng)度、剛度、形變、體積、振動頻率等均發(fā)生了非比例的變化。再如在大型機(jī)械設(shè)備設(shè)計中，我們可以利用小型驗(yàn)證機(jī)形式來檢驗(yàn)大型設(shè)備的合理性和可行性，那么小型驗(yàn)證機(jī)如何可靠地模擬出大型設(shè)備的機(jī)械特征，使實(shí)驗(yàn)真實(shí)的反映出可靠數(shù)據(jù)，實(shí)踐證明力學(xué)模型是一個較為簡便實(shí)用的方法，下面就此展開討論。

1 固態(tài)線彈性體的相似模擬

首先我們把各式各樣的承載件抽象稱為滿足虎克定律的固態(tài)物質(zhì)構(gòu)成的連續(xù)彈性體,可以假定，當(dāng)作用于這一物體任一點(diǎn)外力為零時，其任一點(diǎn)的內(nèi)應(yīng)力也為零。

設(shè)這一受密度等于P1（X,Y,Z）的面積力和密度等于P2(X,Y,Z)的體積力，物體上一點(diǎn)由P1產(chǎn)生的應(yīng)力、應(yīng)變、變形分別為 б1、ε1、Y1，由 P2產(chǎn)生的應(yīng)力、應(yīng)變、變形分別是 б2、ε2、Y2。

取任一曲面S將物體分離并研究分離體必有下式成立:

б是分離面上的應(yīng)力，S是分離面面積，F(xiàn)是分離體外表面（不含S），V是分離體所處的空間。

1）如果面積力密度=P1×A,體積力密度=P2×B,則由線性系統(tǒng)的可迭加性知,應(yīng)力=б1×A+б2×B,應(yīng)變=ε1×A+ε2×B,變形=Y1×A+Y2×B。

2）當(dāng)P2=0，面積力密度=P1，物體尺度變?yōu)镃倍（即物體內(nèi)任意兩點(diǎn)的距離L均變?yōu)锽L）時，相當(dāng)于式1中每一面積均變?yōu)镃2倍，即下式成立:

從而應(yīng)力=б1，應(yīng)變=ε1，因?yàn)樽冃?原始尺寸×應(yīng)變，故變形=Y1×C。

3）當(dāng)P1=0，體積力密度=P2，尺度變?yōu)镃倍時有:

從而 б′=б2×C,即應(yīng)變=ε2×C,變形=Y2×C″。

4）綜上所述，當(dāng)面積力密度=P1×A，體積力密度=P2×B, 尺度變?yōu)?C 倍時， 應(yīng)力=б1×A+б2×B×C,應(yīng)變=ε1×A+ε2×B×C,變形=（Y1×A+Y2×B×C）×C。

假設(shè)存在各種不同的應(yīng)用環(huán)境，把不同的參數(shù)帶入公式，可得出表1中一些有用的推論。

2 固態(tài)線彈性體自由振動的相似模擬

設(shè)線彈性體作簡諧、穩(wěn)態(tài)、同步的自由振動,即每點(diǎn) i的位移均可表示為 Yi=ΣCij×COS(ω0j×t)，ω0j是第j階固有圓頻率(簡稱頻率),我們僅考察其某一階的固有振動。

彈性體內(nèi)任一無窮小的分離體都在作相同頻率、相同相位的振動。設(shè)它的外表面是曲面S,它包圍的空間為V,在ω0j×t=Kπ時,分離體各點(diǎn)的位移即變形達(dá)最大值，振幅、加速度也達(dá)最大值，而速度=0。研究這一時刻的狀態(tài)，使動力學(xué)問題形式上變成了僅受體積力和慣性力的靜力學(xué)問題。

表1 固態(tài)線彈性體的相似模擬

設(shè)密度不變,物體尺度變?yōu)镃倍,求固有頻率ω0j`，設(shè)體積力密度不變,即最大振動加速度不變(這一假設(shè)并無必要,因?yàn)榫€性系統(tǒng)作自由振動時的振幅與頻率無關(guān)，這里僅是為了敘述方便)，由表第6項(xiàng)計算結(jié)果得應(yīng)力變?yōu)镃倍,變形變?yōu)镃2倍有下式成立:

結(jié)論:線彈性體的固有頻率與尺度成反比，或者說,線彈性體的固有振動周期與尺度成正比。

3 固態(tài)線彈性體強(qiáng)迫振動的相似模擬

現(xiàn)將振動器及振動體的尺度變?yōu)镃倍,而將振動器的工作頻率變?yōu)?/C倍，由于振動體的固有頻率也變?yōu)?/C倍，故工作頻率與固有頻率之比W不變。

振動器的偏心塊質(zhì)量變?yōu)镃3倍，偏心塊的偏心矩變?yōu)镃倍,從而振動器的偏心質(zhì)量矩變?yōu)镃4倍,振動力=質(zhì)量矩×工作頻率平方,故振動力變?yōu)镃2倍。

振動器與振動體間的作用力及振動體各構(gòu)件間的作用力視為面積力，因作用面積也變?yōu)镃2倍，故面積力密度不變。但因?yàn)檎駝芋w的質(zhì)量變?yōu)镃3倍,而振動力變?yōu)镃2倍，故慣性力密度變?yōu)?/C倍。根據(jù)表中計算結(jié)果9知應(yīng)力不變，我們可以計算振動強(qiáng)度的變化，并以振動輸送機(jī)械為例加以說明，振動強(qiáng)度=振動加速度/重力加速度。由于振動加速度變?yōu)?/C倍，故振動強(qiáng)度變?yōu)?/C倍，因此,上述方法雖然可以準(zhǔn)確地模擬剛度和強(qiáng)度但不能模擬振動強(qiáng)度K。但對振動輸送來說,模擬為相同的振動強(qiáng)度K是重要的，因?yàn)槠骄斔退俣?A×φ(K)×g/ω，式中A是與槽體角度、振動方向有關(guān)的數(shù),g為重力加速度,ω為工作頻率，要使振動強(qiáng)度不變,需要振動力變?yōu)镃3倍。這時可以采取如下方法:令工作頻率=ω/C0.5,振動力變?yōu)镃3倍,從而振動強(qiáng)度K不變，模型機(jī)的物料輸送速度=真實(shí)機(jī)的物料輸送速度×C0.5，由此可以計算真實(shí)機(jī)的產(chǎn)量。

上述計算對于減振彈簧同樣適用，不過重力的影響用這一方法不能模擬，但因在振動機(jī)械中重力影響較小，所以,上述結(jié)論適用于重力可以忽略的場合。一般說來,我們是用小機(jī)器模擬大機(jī)器,即C＜1狀況，若材料不變,可以精確模擬剛度，若模擬強(qiáng)度,還須考慮尺寸系數(shù)的影響。

4 以上論述的實(shí)際用途

1）靜力模擬的應(yīng)用

如果一機(jī)器或結(jié)構(gòu)的構(gòu)件自身重量和慣性力很小,甚至可以忽略,并且不存在導(dǎo)熱等問題,那么就可以用此種方法設(shè)計。比如壓力容器、起重工具、低速傳動件、連接件等，也可以對滿足上述條件的局部按上述方法設(shè)計,對其余部分另作考慮。

2）振動機(jī)械方面的應(yīng)用

振動是很復(fù)雜的問題，有些問題沒有好的算法,計算機(jī)模擬也有不足之處。另外，振動機(jī)械往往體積很大，實(shí)驗(yàn)風(fēng)險和投入的成本都很高。有些機(jī)器長達(dá)數(shù)十米，重達(dá)數(shù)十噸，故做小模型機(jī)試驗(yàn)很合算。如果做1:10的模型,僅需1/1 000的材料消耗，實(shí)驗(yàn)時電能消耗也較少。如果模型存在問題,修改或重做都簡單，另外,小機(jī)器也易控制操作，破壞性試驗(yàn)的成本也小。