俞英

在“圖形與幾何”知識教學中，我們經常會有這樣的困惑：學生會說圖形的基本特征，會背相關的計算公式，但面對教師精心設計的習題訓練，學生在具體的應用過程中還是會出現這樣或者那樣的錯誤。這時老師們是抱以“熟視無睹”的態(tài)度，還是停下追趕教學進度的步伐靜心反思？答案當然是后者。錯誤的產生暴露了學生的思維過程，反映了教師教學過程中的紕漏，因此，學生產生的錯誤是一種寶貴的教學資源，它是教師進行教學反思的“源泉”。一旦發(fā)現錯誤，尤其是典型錯誤，教師就應該進行思考分析：究竟錯在何處？因何而錯？如何創(chuàng)新自己的課堂教學來避免或降低錯誤的發(fā)生？

一、錯例呈現

以下是筆者在教學中收集的一些典型錯例及錯誤原因的分析：

【典型錯例一】判斷下面能否組成三角形

【錯誤分析】產生這樣錯誤的人比較多，導致這種錯誤的出現主要是在教學過程中，教師在三角形任意兩邊之和大于第三邊的概念教學中對于“任意”二字沒有形象地說明，學生需要通過動手操作來證實這個問題。有的時候雖然進行了動手操作，但教師在“任意”這個環(huán)節(jié)上容易忽略，以為學生都掌握了。

【典型錯例二】求三角形的面積

【錯誤分析】導致這種錯誤的出現主要是教材的的編寫中，三角形的面積公式是底乘高再除以2，于是學生以為只要是底乘高再除以2就是三角形的面積，沒有很好的理解應該是底邊上對應的高才能相乘。

【典型錯例三】求出下面圖形的周長。

【錯誤分析】產生這種錯誤的人數不在少數，而且這種錯誤總是不能根除，這次提醒了，錯誤避免了，下次不提醒，同樣的錯誤又發(fā)生了。分析一下，導致這種錯誤的根源一是對周長概念的本質理解不夠深刻，因此總是忘記加上直徑的長度；二是受到整圓周長的影響而忽視了直徑的存在；三是與面積計算混淆在一起以為面積的一半就是周長的一半。

【典型錯例四】求出下面圖形的周長和面積。（單位：m）

1.周長：3.14×50+（100+50）×2

師：你是怎么想的呢？

生：用圓的周長加上長方形的周長。

2.面積：3.14×25×25+100×50

師：你又是怎么想的呢？

生：用圓的面積加上長方形的面積。

……

【錯誤分析】在計算組合圖形的面積時，我們一般要把組合圖形通過分割、拼補、平移或者旋轉等變換方式將原來不規(guī)則的圖形轉化成簡單的平面圖形來進行計算。這樣做的目的是為了有利于面積公式的應用。然而這樣的思維方式對學生在進行周長計算的過程中受到了負面的影響，想當然地認為周長計算中也是分兩部分相加，將周長的計算與面積的混淆起來，以至造成錯誤。

【典型錯例五】在直徑為6米的圓形花壇外圍鋪一條寬1米的小路，小路的面積有多大？

錯誤一：3.14×（8×8-6×6）

錯誤二：3.14×（7×7-6×6）

錯誤三：3.14×（6×6-4×4）

錯誤四：3.14×（3×3-2×2）

……

原本以為，教師上完圓環(huán)的面積這一知識之后，只要記住了圓環(huán)面積的計算公式，找到大圓半徑與小圓半徑，就可以套用公式進行計算了。真的難以想象不算難解的一道題，為什么做對的學生僅占班級總數的26%？這個偏低的百分率引起了我的思考：學生僅僅學會了什么？到底問題出在哪？

【錯誤分析】新課結束后學生確實記住了計算公式，但從學生各種各樣的錯誤看來，原因之一是教師在教學起點的把握上可能偏高，因為學生對計算公式中為什么用“大圓面積減小圓面積就是圓環(huán)的面積”這一結論的理解不夠深入；原因之二是學生還很難將這個實際問題抽象為一個數學問題，如果能將這個問題轉化為圖，那么學生理解起來將會容易得多。

二、溯源尋根

通過對以上幾種典型錯誤的分析，筆者將以上錯誤歸因為以下幾類：

1.對三角形面積和三角形的構成、圓周長和圓面積的概念建立不夠清晰、不夠深刻。

2.對公式的理解僅停留在表面，僅僅是停留在記憶的層面。

3.在應用過程中常將圓周長與圓面積的計算混淆。

4.空間想象力缺乏，在解決一些稍復雜的組合圖形的周長和面積計算時，或者用圓的知識解決生活中的實際問題時就特別能看出學生空間觀念的薄弱。

三、改進策略

針對以上幾種錯誤類型的分析，筆者認為在教學中應該特別注意以下幾個問題：

（一）加強公式概念的縱橫比較

1.概念

三角形是由三條邊圍成的圖形。

三角形的面積是底與相對應的高的乘積再除以2。

圓的面積是指圓所圍成的平面部分的大小。

圓的周長是指圓一周的長度。半圓的周長是圓周長的一半再加上直徑。

如上述“錯例1”中半圓周長，教師可讓學生來指一指這個圖形的周長，說說這個圖形的周長有什么特殊的地方？繼而強調這個周長是由半個圓周和一條線段組成的，因此計算時別忘了加上直徑。

2.計算公式

求三角形的三邊關系：A+B>C A+C>B B+C>A

求三角形的面積公式：S=ah÷2

求圓的周長公式：C=πd 或 C=2πr

求圓的面積公式：S=πr2

3.使用單位

計算圓的周長用長度單位。

計算圓的面積用面積單位。

4.概念

判斷三角形的邊的關系，主要是“任意”二字很重要。

三角形面積的公式是與該底邊上對應的高相乘再除以2。

如上述三角表面積計算中，教師可以讓學生來說說哪條底上，是哪條高？這樣可以讓學生知道三角形中有三條底和三條高的關系，如何相對應的去計算。

（二）重視計算公式的體驗推導

重視計算公式的推導過程，讓學生親身經歷計算公式的形成過程是新課程倡導的一個重要的理念，因此教學中一定要得以體現。

如在教學三角形的邊的關系時，教師可以組織學生自己圍一圍，看到底能不能圍成三角形，通過實踐就能驗證自己的答案。如在求三角形面積的時候也可以讓學生自己作高，再量一量，計算一下，然后驗證自己的答案是否正確，從而讓學生知道三角形面積的計算方法。又如在教學圓的周長時，教師應組織學生想辦法動手求出圓的周長，或者用繩子在圓的周圍圍一圈，量出一周的繩長；或者讓圓在線段上滾一圈，量出線段的長度，找一找周長與直徑之間的關系。再如在教學圓的面積時，也應該組織學生動手剪一剪，拼一拼，使學生看到圓可以剪拼成的是一個平行四邊形。再讓學生進行空間想象：假設分的分數越來越多，那就是一個長方形。最后引導學生觀察拼成的長方形的長和寬與圓的半徑周長有什么關系，從而得出計算公式。

（三）建構公式運用的生活原型

學生解決實際問題的能力薄弱，根源在于不能建立幾何知識與實際問題的聯(lián)系，教師要幫助學生去再現幾何知識的生活原型。

比如：一個自動旋轉的噴嘴射程是7米，這個噴嘴能噴多大的地面？在這題中，雖然是求面積但看不見“面積”的字眼，對于中下生來說是有一定困難的。因此，教師要讓理解題意的學生說說自己的想法，必要時應用多媒體輔助輔助教學，讓每個學生真正明白：其實“射程7米”就是圓的半徑，“噴多大的地面”其實就是求半徑為7米的圓的面積。再如上述“典型錯例4”中，為了幫助中下生理解，可以借助直觀，如在求三角形的面積計算公式中，我們可以拿出二個一樣的直角三角板，讓他們自己動手拼一下，然后就明白三角形的高與底的關系。

這樣，將死板的計算公式與生活中的原型一一對照起來，學生解決問題時就會得心應手，才能使書本知識變?yōu)樽约侯^腦中活的知識，從而內化為解決問題的能力。

（四）滲透空間觀念的長效培養(yǎng)

加強空間觀念是幾何知識教學的一個重要的目標。然而空間觀念的形成不能像學一項簡單技能一樣立竿見影，它是需要一個長期的過程，從一年級開始就應該逐步培養(yǎng)。因此，我認為空間想象力的培養(yǎng)應滲透在每一堂幾何圖形課中。

在組合圖形的面積計算中，要留給學生想象的空間。比如：右圖中陰影部分的面積怎么求？讓學生先獨立思考然后討論，集體交流：

生：先求出正方形的面積，再求出圓的面積。

師：哪里有圓？

生：將角上4個扇形拼起來就是一個整圓，用正方形的面積減去圓的面積就是陰影部分的面積。

師：其他同學聽明白了嗎？

……

這樣在圖形的拼組中，隱含了空間觀念的培養(yǎng)。教師要精心設計習題，并且利用好每一道習題，把每一道題講透講到位，真正起到習題的功效。

其實在我們的幾何教學中，像上面所列舉的學生易犯的錯誤是何其普遍。如果我們每個教師都能把學生在圖形學習中的典型錯誤當作地雷加以高度重視，耐心細致地進行有效思考，巧妙地運用策略掃除這些常見的錯誤，并將其優(yōu)化積累為教學上的點滴經驗，那么學生在圖形方面的學習就能達到事半功倍了。

（作者單位：浙江省紹興市越城區(qū)東湖鎮(zhèn)中心小學）

責編/董璐