畢達哥拉斯正交與內(nèi)積空間的一個特征性質(zhì)

孫公雨，郭 偉，計東海

(哈爾濱理工大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，哈爾濱150080)

正交性是歐氏幾何中最重要的概念之一.隨著研究的深入，這一概念被推廣到賦范線性空間中.很多人對此進行了深入的研究，并提出了很多重要的廣義正交的概念，如 Robert正交、等腰正交、Birkhoff正交、畢達哥拉斯正交等等.之后，很多學(xué)者開始研究滿足什么樣正交條件的賦范線性空間為內(nèi)積空間，并取得了很多重要的成果.

設(shè)X是一個實賦范線性空間，若x，y∈X滿足‖x－y‖2=‖x‖2+‖y‖2，則稱x畢達哥拉斯正交于y，記為x⊥Py;若x，y∈X滿足‖x+y‖ =‖x－y‖，則稱x等腰正交于y，記為x⊥Iy.

本文主要討論賦范線性空間上畢達哥拉斯正交與內(nèi)積空間之間的關(guān)系，并證明若一個于維數(shù)不小于3的賦范線性空間X滿足蘊含關(guān)系.

則X是一個內(nèi)積空間.

在下文中我們稱一個實二維賦范線性空間為一個Minkowski平面.

1 主要結(jié)果

引理1[1]:設(shè)X是一個賦范線性空間且dim X≥3，0＜ε0＜2.那么X是一個內(nèi)積空間當(dāng)且僅當(dāng)不等式

不等式(1)可以被相應(yīng)的等式所替代.這是因為Nordlander G[2]已經(jīng)證明對于任意的賦范線性空間X，總是有

成立.所以我們有:一個維數(shù)不小于3的實賦范線性空間X是一個內(nèi)積空間當(dāng)且僅當(dāng)存在ε0∈(0，2)使得

成立.

定理1:設(shè)X是一個實賦范線性空間且dim X≥3.若蘊含關(guān)系

成立，則X是一個內(nèi)積空間.

引理 2[4]:設(shè) X 是一個 Minkowski平面，x∈X{0}.則對于每一個0≤α≤‖x‖都存在惟一的一點y∈X(不計符號)使得‖y‖=α且x⊥Iy.

定理2:設(shè)X是一個實賦范線性空間且dim X≥3，則X是一個內(nèi)積空間當(dāng)且僅當(dāng)蘊含關(guān)系

對于任意的x，y∈SX成立.

證明:充分性 由定理1，只需證明 x，y∈SX，x⊥Iy?‖x－y‖ =成立.

若不然，存在y'屬于x與y張成的二維子空間的單位圓且 y'≠y，使 x⊥Py'.

因此有

又由

有

因此可得

故 x⊥Iy'.由引理2 知 y'= －y.于是 x⊥Py，與假設(shè)矛盾.

必要性 對于任意的 x，y∈SX，若 x⊥Py，則有

由于X為內(nèi)積空間，由平行四邊形法則:

故有

因此得到

故 x⊥P(－y).

對于維數(shù)小于3的空間X若蘊含關(guān)系x⊥Py?x⊥P(－y)對于任意x，y∈SX成立，則X是一個內(nèi)積空是否成立呢?答案是否定的，下面我們給出一個反例.

我們考慮具有范數(shù)為的二維實賦范線性空間X=(R2，‖‖8)(R表示實數(shù)集)，我們知道X的非方常數(shù)為即 sup{‖x

對任意滿足條件x⊥Py的x，y∈SX，根據(jù)文獻[3]有‖x+y‖8=成立.因此 x⊥P(－y).亦即蘊含關(guān)系

在X上成立.但是，X的單位圓為一個正八邊形，如圖1所示.

圖1 范數(shù)為‖·‖8的二維實賦范線性空間的單位圓

顯然，X并不是內(nèi)積空間.

2 結(jié)語

本文主要討論了維數(shù)不小于3的實賦范線性空間上等腰正交、畢達哥拉斯正交與內(nèi)積空間的關(guān)系并證明一個于維數(shù)不小于3的賦范線性空間X若 x⊥Py?x⊥P( －y)對于任意 x，y=SX成立，則 X是一個內(nèi)積空間.但是該結(jié)果在維數(shù)小于3的實賦范線性空間上不成立.

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