張 超

（福州大學(xué)土木工程學(xué)院 福州 350108）

0 引 言

在懸索橋方案選形及概念設(shè)計(jì)階段，往往需要快速了解結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性及掌握橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)變化對(duì)動(dòng)力特性的影響.如采用簡(jiǎn)化計(jì)算公式，則可以大大提高設(shè)計(jì)效率，也可以作為判斷數(shù)值結(jié)果正確性的依據(jù).因此，建立滿足工程精度要求的頻率簡(jiǎn)化計(jì)算公式具有較大的應(yīng)用價(jià)值.目前，有關(guān)學(xué)者對(duì)于懸索橋基頻簡(jiǎn)化計(jì)算公式已經(jīng)開(kāi)展了一些研究.鞠小華［1］基于能量原理用Rayleigh法推導(dǎo)了2塔地錨式懸索橋一階對(duì)稱豎彎頻率近似計(jì)算公式.劉斌［2］利用Rayleigh法推導(dǎo)了3塔地錨式懸索橋豎向振動(dòng)的4個(gè)基頻計(jì)算公式和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的4個(gè)基頻計(jì)算公式.在自錨式懸索橋方面，王志誠(chéng)［3］應(yīng)用Rayleigh方法推導(dǎo)了雙塔自錨式懸索橋的低階豎彎及扭轉(zhuǎn)頻率計(jì)算公式.然而，至今仍沒(méi)有適用于多塔自錨式懸索橋豎彎頻率計(jì)算的簡(jiǎn)化公式.由于中間主塔沒(méi)有被主纜有效地錨固，主梁又長(zhǎng)期處于壓彎耦合受力狀態(tài)，多塔自錨式懸索橋的豎向剛度較?。?］，且主梁振動(dòng)與主纜的振動(dòng)強(qiáng)烈耦合，整體結(jié)構(gòu)豎向振型及頻率較其他橋型有較大的不同.因此，本文以多塔自錨式懸索橋豎向振動(dòng)為研究對(duì)象，推導(dǎo)其低階豎向振動(dòng)頻率的簡(jiǎn)化計(jì)算公式.

1 多塔懸索橋豎向振動(dòng)特性

多塔懸索橋的建設(shè)尚處于起步階段，目前為止，已建（或在建）的多塔懸索橋均為三塔懸索橋，主要有泰州長(zhǎng)江大橋［5］、馬鞍山長(zhǎng)江大橋［6］、武漢鸚鵡洲長(zhǎng)江大橋［7］和福州市螺洲大橋［8］.其中前3座是地錨式，最后1座為自錨式.相關(guān)文獻(xiàn)研究結(jié)果表明，多塔懸索橋豎向剛度均較小，低階振型通常表現(xiàn)為豎向彎曲振動(dòng).

由以上關(guān)于3塔懸索橋豎向振動(dòng)的研究成果可以看出，由于多塔懸索橋的中間橋塔等效剛度較小的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，1階豎向振動(dòng)一般表現(xiàn)為反對(duì)稱豎彎，伴隨著中塔縱彎振動(dòng)；緊接其后，豎向振型表現(xiàn)為出主跨主梁對(duì)稱豎彎振動(dòng).因此，本文針對(duì)多塔懸索橋豎向振動(dòng)的研究主要集中于工程師較為關(guān)注的低階豎向振動(dòng).

2 Rayleigh法應(yīng)用于頻率計(jì)算

Rayleigh方法的基本原理為：當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)行固有振動(dòng)時(shí)，如果不考慮阻尼力消耗能量，那么其動(dòng)能與位能反復(fù)交換.對(duì)于保守系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)總能量是守恒的.

如果結(jié)構(gòu)在自由振動(dòng)時(shí)，任一點(diǎn)、任一瞬間的位移可以表示時(shí)間和空間的函數(shù)，則可以通過(guò)能量守恒定理寫(xiě)出頻率近似計(jì)算公式，如下：

綜上所述，只要能近似寫(xiě)出的振型函數(shù)ˉφ（x），即可以利用上式求出該結(jié)構(gòu)的固有自振頻率的近似解.

3 豎彎振型頻率計(jì)算公式推導(dǎo)

3.1 基本假設(shè)

本文推導(dǎo)基于以下假定：（1）假定所有材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系滿足虎克定律；（2）假定恒載為沿跨度均勻分布，且完全為纜索支承，因此在恒載作用下主纜線形為拋物線狀；（3）假定吊索是稠密的，可比擬為僅在豎向有抗力的均勻膜，不考慮吊索的拉伸；（4）假定加勁梁為兩端承受軸壓力的等截面連續(xù)梁，不考慮加勁梁的豎曲線；（5）假定橋梁自由振動(dòng)為靜力平衡狀態(tài)基礎(chǔ)上產(chǎn)生的小幅度振動(dòng)，整個(gè)過(guò)程結(jié)構(gòu)剛度不變；（6）忽略主塔索鞍的縱橋向變位對(duì)主纜線形的影響；（7）假定主塔剛度較小，即在頻率計(jì)算公式推導(dǎo)過(guò)程中忽略主塔剛度的影響.懸索橋?yàn)槔|索體系結(jié)構(gòu)，在恒載作用下主纜會(huì)產(chǎn)生較大的重力剛度，主塔縱向彎剛度則相對(duì)較小，相關(guān)學(xué)者在進(jìn)行懸索橋自由振動(dòng)基頻近似計(jì)算時(shí)均忽略橋塔剛度的影響.

三塔自錨式懸索橋基本結(jié)構(gòu)如圖1所示.根據(jù)假設(shè)，恒載為沿跨度均布作用下，主纜在恒載下的成橋線形為二次拋物線.結(jié)構(gòu)的豎向變形用v（x，t）來(lái)表示，如下式

式中：ψ（x）為假定的變形函數(shù)；z（t）廣義時(shí)間坐標(biāo).在下文公式推導(dǎo)過(guò)程中，下標(biāo)t，g，c分別為主塔、加勁梁、主纜.

圖1 三塔自錨式懸索橋基本結(jié)構(gòu)圖

3.2 構(gòu)件自由振動(dòng)能量計(jì)算

多塔懸索橋結(jié)構(gòu)由主纜、主塔（中間主塔及邊塔）、主梁及吊索等主要構(gòu)件組成.3塔自錨式懸索橋豎向彎曲自由振動(dòng)的勢(shì)能和動(dòng)能計(jì)算如下.

1）豎向自由振動(dòng)位能計(jì)算 主纜的位能由兩部分組成：拉力變化產(chǎn)生的主纜應(yīng)變能、主纜恒載拉力作用點(diǎn)變化產(chǎn)生的位置勢(shì)能，可以表示為

式中：Hpi為第i跨主纜的水平拉力增量；lsi為與纜索線形有關(guān)的參數(shù)，定義為Hg為恒載作用下主纜的水平拉力，根據(jù)撓度理論可知為結(jié)構(gòu)振動(dòng)豎向變形函數(shù).當(dāng)忽略橋塔剛度的影響時(shí)，各跨主纜的水平拉力增量Hp均相同，則上式可以寫(xiě)成

自錨式懸索橋中，加勁梁處于壓彎耦合的受力狀態(tài)，其豎向自由振動(dòng)過(guò)程中的位能主要由豎向彎曲應(yīng)變能Uge1、加勁梁壓縮應(yīng)變能Uge2及恒載軸壓力在加勁梁變形時(shí)產(chǎn)生的位能Uge3三部分之和.加勁梁總位能Uge可以表示為：

基于不考慮吊索拉伸的假定，當(dāng)不考慮主塔振動(dòng)影響時(shí)，自由振動(dòng)分析時(shí)僅需考慮主纜、主梁的振動(dòng)，總位能U可以表示為：

上式可以看出，對(duì)于自錨式懸索橋，結(jié)構(gòu)振動(dòng)總能量計(jì)算中，主纜與主梁位能表達(dá)式中的項(xiàng)相互抵消；然而，在地錨式懸索橋總位能表達(dá)式中則會(huì)保留有項(xiàng).由此差別可以看出主纜錨固方式對(duì)懸索橋振動(dòng)特性的影響規(guī)律：對(duì)地錨式懸索橋而言，恒載越大，則其振動(dòng)總位能越大；然而，恒載大小對(duì)自錨式懸索橋的振動(dòng)總位能則影響不大.兩種橋型的振動(dòng)總位能表達(dá)式的差異也導(dǎo)致了最后頻率計(jì)算公式的不同（詳細(xì)比較請(qǐng)見(jiàn)后文）.

2）豎向自由振動(dòng)動(dòng)能計(jì)算 當(dāng)不考慮吊索拉伸時(shí)，可以認(rèn)為主纜豎向變形與主梁一致，可以得到主纜豎向振動(dòng)產(chǎn)生的動(dòng)能Tc.因此，結(jié)構(gòu)豎向振動(dòng)總動(dòng)能T為

式中：Tc，Tg分別為主纜和主梁的動(dòng)能；mc為左右2根主纜質(zhì)量集度之和.

3.3 自由振動(dòng)中變形協(xié)調(diào)

由于自錨式懸索橋中的主纜直接錨固于梁端，全橋變形應(yīng)滿足如下平衡關(guān)系：纜索錨固點(diǎn)之間的水平投影縮短量應(yīng)等于加勁梁兩端水平距離的縮短量.可得到自錨式懸索橋的變形協(xié)調(diào)平衡方程（具體的公式推導(dǎo)過(guò)程請(qǐng)參見(jiàn)文獻(xiàn)［8］）：

3.4 1階反對(duì)稱豎彎頻率計(jì)算公式推導(dǎo)

不考慮主塔剛度影響時(shí)3塔自錨式懸索橋1階反對(duì)稱豎彎振型見(jiàn)圖2.

圖2 1階豎向反對(duì)稱振型示意圖

自由振動(dòng)的位移是由慣性力引起的，形狀函數(shù)的假設(shè)必須滿足實(shí)際邊界條件，因此本文選取均布荷載作用下，兩端簡(jiǎn)支的單跨梁的撓曲線近似作為1階反對(duì)稱豎彎振動(dòng)的形狀函數(shù)，各跨形狀函數(shù)如下：

根據(jù)主梁振動(dòng)的連續(xù)性，主梁在各主塔處的轉(zhuǎn)角是連續(xù)的，可得：

由于3塔自錨式懸索橋?yàn)槿珜?duì)稱結(jié)構(gòu)，1階反對(duì)稱豎彎振動(dòng)中，主纜索力水平增量Hp＝0.代入形狀函數(shù)，得到位能和動(dòng)能的最大值，分別如下式：

定義與邊主跨跨徑為關(guān)的參數(shù)γ0，如下式.

基于Rayleigh法，可以得到三塔自錨式懸索橋1階反對(duì)稱豎彎頻率的近似計(jì)算公式：

3.5 1階正對(duì)稱豎彎頻率計(jì)算公式推導(dǎo)

根據(jù)邊跨和中跨的振動(dòng)邊界條件，分別選取形狀函數(shù)如下：

基于以上形狀函數(shù)表達(dá)式，結(jié)合邊界平衡條件及變形協(xié)調(diào)方程，可以得到下式.

綜合以上各式，可以得到3塔自錨式懸索橋1階正對(duì)稱豎彎頻率的近似計(jì)算公式為

4 算例驗(yàn)證

以某3塔自錨式懸索橋?yàn)樗憷?，其跨徑布置?0m＋168m＋168m＋80m；主纜由四跨組成，主跨理論垂跨比為1∶6，邊跨理論垂跨比為1∶12.88；主橋橋面寬43m；邊塔及中塔采用相同的柔性主塔，承臺(tái)以上塔高48.9m；全橋2根主纜；吊索間距7m.具體的結(jié)構(gòu)基本參數(shù)見(jiàn)表1.

表1 工程基本結(jié)構(gòu)參數(shù)（單位：m，kN，t）

4.1 方法1——有限元法求解

根據(jù)以上工程的結(jié)構(gòu)參數(shù)，采用SAP2000建立三維有限元模型.模型中主塔和主梁采用Frame單元，其具有非線性屬性，可以考慮單拉、大變形等效應(yīng)；主纜及吊索采用cable單元，可以考慮實(shí)際主纜的單拉效應(yīng)、應(yīng)力剛化效應(yīng)及大變形效應(yīng).支座邊界條件采用節(jié)點(diǎn)耦合方式模擬.建立的三維有限元模型見(jiàn)圖3.

圖3 算例橋梁的有限元模型圖

基于非線性恒載作用下的成橋狀態(tài)進(jìn)行結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性分析.使用子空間迭代法計(jì)算結(jié)構(gòu)1階反對(duì)稱和正對(duì)稱豎向振型及自振頻率，見(jiàn)圖4.

圖4 有限元模型的模態(tài)分析結(jié)果

4.2 方法2——本文簡(jiǎn)化公式計(jì)算

根據(jù)結(jié)構(gòu)基本信息，把已知參數(shù)代入式（13）、式（19），即可以快速計(jì)算出結(jié)構(gòu)1階反對(duì)稱和正對(duì)稱豎彎振型的頻率.計(jì)算過(guò)程如下.

1）1階反對(duì)稱豎彎頻率計(jì)算

表2 算例中豎彎基頻對(duì)比 Hz

4.3 計(jì)算結(jié)果比較

由表2可以看出，本文推導(dǎo)的豎彎基頻近似計(jì)算公式計(jì)算結(jié)果與有限元法計(jì)算結(jié)果吻合較好，誤差在工程允許范圍之內(nèi).因此，本文推導(dǎo)的公式可以適用于的3塔自錨式懸索橋豎彎基頻的簡(jiǎn)化計(jì)算.

5 結(jié)束語(yǔ)

本文以3塔自錨式懸索橋?yàn)槔?，?yīng)用Rayleigh法推導(dǎo)了忽略中塔剛度影響下的多塔自錨式懸索橋1階正對(duì)稱和反對(duì)稱豎彎頻率計(jì)算公式.結(jié)合某工程算例，與有限元解相比較，驗(yàn)證本文公式計(jì)算結(jié)果具有良好的精度.可用于橋梁方案初選和橋梁初步設(shè)計(jì)階段進(jìn)行豎彎基頻計(jì)算.

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