李 軍，修吉宏，黃 浦，李友一

(中國科學院長春光學精密機械與物理研究所，中國科學院航空光學成像與測量重點實驗室，吉林長春130033)

1 引言

線陣TDI探測器在現代靶場測試和航空、航天遙感遙測等領域具有廣泛的應用，可在低照度時捕獲目標的相關信息。通過多級時間積分來延長積分曝光時間，使用線陣TDI探測器不僅大大提高相機光通量，而且提高了相機的靈敏度和信噪比，降低了光能量對相機相對孔徑的要求，有利于降低重量和成本［1］。

由于TDI探測器的工作方式比較特殊，要求它的同步脈沖周期與目標的運動速率應嚴格同步，否則無法保證同一列上的每一個像元都能對同一地面目標成像，從而造成在延遲積分時間內的像移。事實上，由于掃描成像系統存在速度波動，實現嚴格同步是不可能的。因此以系統的運動調制傳遞函數為基礎，提出對掃描速度波動程度的限制條件，可為掃描系統設計提供依據。近年來的研究結果表明，調制傳遞函數仍然是評價光學系統TDI探測器成像質量的可靠方法，因此分析掃描速度波動與系統運動調制傳遞函數的關系，并以此提出對掃描速度偏離程度進行限制是合理有效的［2－4］。本文以某型航空相機為基礎，給出系統達到指定運動調制傳遞函數時，掃描速度與期望值間偏差的限制條件，為航空相機中掃描系統提供設計輸入條件。

2 運動光學傳遞函數推導

在航空相機掃描成像過程中，線陣TDI探測器的同步脈沖周期需要與地面景物在像面上的移動速度對應，其滿足式(1)約束。其中，T為線陣TDI探測器的同步脈沖周期，b為探測器像元尺寸，f光學系統焦距，θ0為期望的鏡筒旋轉的角速度。

當掃描速度與探測器的同步脈沖周期完全匹配時，地面景物在像面成像與探測器間是保持相對靜止的，不會造成成像質量下降。但航空相機工作時受軸系摩擦、載機橫滾等多種因素影響，鏡筒的實際轉速θ會與期望值θ0間存在偏差，這種偏差會導致線陣多級TDI探測器不同級敏感區(qū)對目標景物的臨近區(qū)域進行曝光，降低系統的分辨能力。因此在應用線陣TDI探測器進行航空相機系統設計時需要考慮該偏差的影響。

掃描速度與期望值對系統成像質量的影響可以使用運動光學傳遞函數描述。

對于線陣多級TDI探測器，第i級敏感區(qū)在像面上的位置為xi_det=(i－1)·b，因此鏡筒掃描速度偏差引起的目標景物圖像相對探測器的位移函數為

xi_dev描述了使用多級TDI探測器進行成像時目標景物圖像在像面上的分布，將其稱為圖像位置偏差函數。由圖像位置偏差函數可計算出像面不同位置出目標圖像分布的概率密度函數p(x)。探測器同步脈沖周期與鏡筒掃描速度不匹配只導致一個方向的圖像分辨能力下降，使用線擴散函數即可描述圖像分辨能力的下降。概率密度函數p(x)即為鏡筒速度不匹配產生的線擴散函數，對其進行傅里葉變換可得到鏡筒掃描速度偏差產生的運動光學傳遞函數，如式(4)所示，其中ω為空間角頻率。

文獻［5］中給出了基于統計距的由圖像位置偏差函數計算系統運動光學傳遞函數的算法。本文中描述的圖像位置偏差xi為離散量，系統運動光學傳遞函數可用式(5)進行計算，其僅為xi的函數。其中，mn為圖像位置偏差的n階統計距。

當圖像位置偏差函數xi無法用解析式進行表示時，為獲得系統的運動光學傳遞函數需要計算無窮級數。在實際應用中需要進行N階截斷，截斷誤差為［5］:，其中N為偶數。

在實際應用中，同步脈沖周期T一般為亞毫秒量級，鏡筒掃描速度在T時間內幾乎不變，可認為在T時間內為恒定值。此時，像面位置偏差函數xi_dev可改寫為式(6)形式。

由式(1)可得:

由式(7)看出，探測器不同級敏感元件對應的圖像位置偏差僅與探測器像元尺寸、探測器積分級數和速度波動的相對偏差有關，而與系統的焦距無關。另外，Δθk還依賴于曝光起始時刻ts，系統的運動光學傳遞函數為一個隨機過程［6］。在獲得系統的運動光學傳遞函數后，可使用式(8)獲得系統的運動調制傳遞函數。

3 數值計算及實驗結果分析

3.1 數值計算結果

首先，計算鏡筒轉速偏差為恒定值時系統運動調制傳遞函數結果。選擇鏡筒掃描速度期望值為θ0=10°/s，探測器器像元尺寸為b=24 μm，探測器積分級數為I=6，相對偏差誤差分別為5%、10%和15%，計算不同相對偏差誤差對應的運動調制傳遞函數。圖1(a)為相對誤差為10%時選擇不同像元尺寸對應的數值計算結果，可看出在掃描轉速相對偏差固定的情況下，選擇像元尺寸大的探測器并未提高系統在空間乃奎斯特頻率處的運動調制傳遞函數;相反，在相同空間分辨率處，像元尺寸越大對應的光學系統運動傳遞函數下降越快。這是因為在相同條件下像元尺寸大對應探測器同步脈沖周期長，對應的圖像位置偏差也變大。圖1(b)為像元尺寸相同時不同相對誤差對應的系統運動調制傳遞函數，可以看出系統運動調制傳遞函數隨相對誤差增大而下降。因為相對誤差越大，在相同的同步脈沖周期內圖像位置偏差也越大。

圖1 相對誤差恒定時系統運動調制傳遞函數

其次，計算鏡筒掃描速度波動對系統運動調制傳遞函數影響。圖2給出了鏡筒轉速穩(wěn)定時的某一次測量結果，鏡筒的掃描速度圍繞期望值10°/s上下波動。式(7)中圖像位置偏差函數xi_dev與拍照起始時刻ts相關且為隨機變量，由此計算的系統運動調制傳遞函數是依賴拍照起始位置的隨機過程。拍照起始時刻在0～2 s范圍內選擇，計算不同速度波動對應的系統運動調制傳遞函數。圖3給出了探測器積分級數為32，不同曝光起始時刻對應的運動調制傳遞函數曲線。從圖3中看出，在不同時刻開始曝光，系統運動調制傳遞函數差別很大，為給出合理的結果應計算調制傳遞函數的概率為99%的界限，如圖3中菱形曲線所示結果，即在不同起始時刻曝光時99%的調制傳遞函數高于此界限。

使用RMS值可描述鏡筒轉速的波動程度，計算鏡筒轉速不同RMS值對應的調制傳遞函數結果，可了解系統傳遞函數對鏡筒轉速波動的限制。圖4給出探測器積分級數為16，鏡筒掃描速度RMS值為0.045、0.089、0.178、0.357 對應的傳遞函數 99%界限?？闯鲭S掃描速度波動增大，在截止頻率處系統運動調制傳遞函數急劇下降。

圖4 TDI級數I=16，調制傳遞函數

計算探測器不同級數時，在截止頻率處獲得指定的運動調制傳遞函數值所對應的掃描速度波動程度，可用于指導制定掃描速度控制系統穩(wěn)定精度的量化指標，為控制系統設計提供設計輸入依據。表1給出了不同積分級數、截止頻率處不同調制傳遞函數值所對應的掃描速度相對波動程度。

表1 不同級數對應掃描速度相對精度

數值計算的結果表明，影響系統截止頻率處的運動調制傳遞函數值的主要因素為探測器積分級數和掃描速度的相對誤差。當傳遞函數要求相同時，鏡筒相對誤差容限與積分級數近似成反比。提高探測器積分級數可以提高系統的探測靈敏度和信噪比，但對掃描速度的轉速穩(wěn)定精度要求也大大提高。在進行系統設計選擇探測器積分級數時要考慮控制系統所能達到的控制性能，否則系統將很難達到設計的分辨能力。

3.2 實驗測量結果

為驗證線陣多級TDI成像中掃描速度波動產生的運動調制傳遞函數計算方法的正確性，使用線陣掃描裝置對探測器截止頻率處的傳遞函數值進行了測量。先測量靜態(tài)系統光學傳遞函數，再測量動態(tài)掃描成像時系統調制傳遞函數，通過兩者運算可得到系統的運動調制傳遞函數。但對于線陣TDI探測器而言，無法測量靜態(tài)光學傳函，因此使用系統鏡頭的傳遞函數代替系統的靜態(tài)光學傳函，此時得到的系統運動調制傳遞函數包含了探測器離散化的影響。這可能導致測量結果偏低。

實驗裝置如圖5所示，系統的焦距f=119.8 mm，探測器像元為0.024 mm，探測器級數選擇為I=16，探測器同步脈沖周期為T=1.148 ms，轉臺轉動速度期望值為10°/s。圖6(a)為光學鏡頭的調制傳遞函數測量結果，在截止頻率處的傳遞函數為0.30。圖6(b)為拍攝的黑白等間隔條紋構成的鑒別率板圖像，所以其對應的調制對比度函數為系統的CTF，需將其轉換為MTF。將換算后，系統掃描成像在截止頻率處對應的調制傳遞函數值為0.26，即系統的運動調制傳遞函數為0.87，而使用數值計算獲得的運動調制傳遞函數為0.90。因此，數值計算與實際測量結果間的相對誤差為3.33%，說明文中介紹的運動調制傳遞函數計算方法是有效的。

圖6 光學傳遞函數實驗測量結果

4 結論

本文推導介紹了線陣TDI探測器掃描成像中掃描速度偏差與系統運動光學傳遞函數的關系，通過數值計算方法分析了掃描速度偏差對系統調制傳遞函數影響。數值計算的結果表明，影響線陣TDI探測器成像系統截止頻率處的運動調制傳遞函數值的主要因素為探測器積分級數和掃描速度的相對誤差。當傳遞函數要求相同時，鏡筒相對誤差容限與積分級數近似成反比。提高探測器積分級數可以提高系統的探測靈敏度和信噪比，但對掃描速度的轉速穩(wěn)定精度要求也大大提高。在進行系統設計選擇探測器積分級數時要考慮控制系統所能達到的控制性能，否則系統將很難達到設計的分辨能力。實驗結果表明，使用統計的方法計算掃描速度波動的影響是科學合理的，數值計算結果與實際測量結果相對誤差在5%以內，本文給出的掃描速度波動的限制條件計算方法，為航空相機總體傳遞函數分配提供有效支持。

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