時(shí)培明 李 庚 韓東穎

燕山大學(xué)，秦皇島，066004

0 引言

目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)裂紋和碰摩單一故障研究較多，提出了一些有效方法來(lái)診斷裂紋故障和碰摩故障［1－4］。但在實(shí)際轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，常常出現(xiàn)裂紋故障和碰摩故障共存的情況。這種耦合故障轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)行為較單一故障轉(zhuǎn)子更加復(fù)雜，且故障相互影響，不容易診斷。針對(duì)這一問(wèn)題，文獻(xiàn)［5］采用有限元方法分析了裂紋碰摩耦合故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的響應(yīng)，在顯著碰摩故障信號(hào)中診斷出了裂紋故障。文獻(xiàn)［6］建立了帶有裂紋碰摩耦合故障且具有三軸承支承的雙跨彈性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，利用延拓打靶法和Floquet理論研究其穩(wěn)定性。文獻(xiàn)［7］提出了一種基于微分的經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法，并在轉(zhuǎn)子裂紋碰摩耦合故障診斷中取得了良好的效果。雖然，針對(duì)耦合故障的診斷開(kāi)展了一些研究，但是在診斷精度和準(zhǔn)確性上還有待提高。

耦合故障信號(hào)具有典型的非線性和非平穩(wěn)性，對(duì)于這類(lèi)信號(hào)，普通的信號(hào)分析方法具有局限性。EMD是近年來(lái)發(fā)展起來(lái)的處理非平穩(wěn)、非線性信號(hào)的時(shí)頻分析方法［8］。該方法克服了傳統(tǒng)時(shí)頻分析方法中的不足，并在機(jī)械故障診斷領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用［9－13］。

本文提出一種基于相似極值延拓法［14］和余弦窗函數(shù)的改進(jìn)EMD方法，并將其應(yīng)用在轉(zhuǎn)子－軸承系統(tǒng)裂紋碰摩耦合故障診斷中。采用本文方法對(duì)耦合故障仿真信號(hào)進(jìn)行特征提取時(shí)，邊界譜和希爾伯特譜既包含裂紋引起的高頻信號(hào)成分，又包含碰摩引起的低頻信號(hào)成分。由此診斷出該故障系統(tǒng)中同時(shí)存在裂紋和碰摩故障，從而驗(yàn)證了該方法的有效性。

1 系統(tǒng)力學(xué)模型和運(yùn)動(dòng)微分方程

圖1所示為建立的含有裂紋碰摩耦合故障的對(duì)稱(chēng)剛性支承轉(zhuǎn)子－軸承系統(tǒng)模型［15］。模型兩端對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)的滑動(dòng)軸承支承中間的轉(zhuǎn)子，轉(zhuǎn)子與軸承之間為無(wú)質(zhì)量的彈性軸。轉(zhuǎn)子左側(cè)有一弓形橫向裂紋，其深度為a。轉(zhuǎn)子受到碰摩故障影響，其碰摩函數(shù)為P。圖1中，O1為軸瓦幾何中心，O2為轉(zhuǎn)子幾何中心，O3為轉(zhuǎn)子質(zhì)心，kc為定子剛度，k為彈性軸剛度，m1為轉(zhuǎn)子在軸承處的集中質(zhì)量，m2為轉(zhuǎn)子處的等效集中質(zhì)量。左側(cè)滑動(dòng)軸承產(chǎn)生的非線性油膜力在水平和垂直方向上的分力分別為Fx、Fy。

圖1 裂紋碰摩轉(zhuǎn)子－軸承系統(tǒng)模型

設(shè)轉(zhuǎn)子左端的徑向位移為x1、y1，轉(zhuǎn)子圓盤(pán)的徑向位移為x2、y2，則具有裂紋碰摩耦合故障的轉(zhuǎn)子－軸承系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程為

式中，u為轉(zhuǎn)子的偏心量；c1為轉(zhuǎn)子在軸承處的阻尼系數(shù)；c2為轉(zhuǎn)子圓盤(pán)的阻尼系數(shù)；ω為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速；g為重力加速；ε、δ為僅與裂紋深度a有關(guān)的相對(duì)剛度參數(shù)；F（Ψ）為裂紋開(kāi)閉函數(shù)，本文采用余弦波模型來(lái)表示裂紋開(kāi)閉過(guò)程；φ0為初相位；β為裂紋方向與偏心之間的夾角，（x，y）為轉(zhuǎn)子初始位置，如圖2所示。

圖2 裂紋截面模型

相對(duì)剛度系數(shù)ε、δ的表達(dá)式為

轉(zhuǎn)子、定子碰摩函數(shù)P（e≥ξ）為

式中，Pn為法向碰摩力；Pt為切向摩擦力；ξ為靜止時(shí)轉(zhuǎn)子與定子之間的間隙；e為轉(zhuǎn)子軸心位移；f為不考慮速度影響時(shí)的摩擦因數(shù)；b為速度影響系數(shù)；v為轉(zhuǎn)子靜件間的相對(duì)滑動(dòng)速度。

e＞ξ時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生碰摩故障，如圖3所示。

碰撞發(fā)生（e≥ξ）時(shí)，轉(zhuǎn)子正向碰摩力與切向摩擦力分解在XY坐標(biāo)系可以表示為

圖3 碰摩力模型

式（1）中油膜力沿X和Y兩個(gè)方向的分量為

式中，μ為潤(rùn)滑油黏度；c為軸承徑向間隙；R為軸承半徑；L為軸承長(zhǎng)度。

2 EMD改進(jìn)方法

HHT（Hilbert－Huang transform）先通過(guò)EMD將待分析的信號(hào)分解為一系列不同尺度的本征模式函數(shù)（intrinsic mode function，IMF）信號(hào)，再針對(duì)這些IMF分量信號(hào)進(jìn)行希爾伯特變換，得到希爾伯特譜。IMF信號(hào)一般滿(mǎn)足兩個(gè)條件：①?gòu)娜痔匦陨峡?，極值點(diǎn)數(shù)必須和零點(diǎn)數(shù)一致或者至多相差一個(gè)；②在某個(gè)局部點(diǎn)，極大值包絡(luò)和極小值包絡(luò)在該點(diǎn)的算術(shù)平均值是零，即兩條包絡(luò)線關(guān)于時(shí)間軸對(duì)稱(chēng)。

我們可以把任何信號(hào)x（t）按下面步驟分解：

（1）用三次樣條線將所有的局部極大值點(diǎn)連接起來(lái)形成上包絡(luò)線。

（2）用三次樣條線將所有的局部極小值點(diǎn)連接起來(lái)形成下包絡(luò)線。

（3）上下包絡(luò)線的平均值記為m1，求出

理想地，如果h1是1個(gè)IMF，那么h1就是x（t）的第1個(gè)分量。

（4）如果h1不滿(mǎn)足IMF的條件，把h1作為原始據(jù)，重復(fù)步驟（1）～步驟（3），得到上下包絡(luò)線的平均值m11，再判斷h11＝h1－m11是否滿(mǎn)足IMF的條件，如不滿(mǎn)足，重復(fù)循環(huán)k次，得到h1k＝h1（k－1）－m1k，使得h1k滿(mǎn)足IMF條件。記c1＝h1k，則c1為信號(hào)x（t）的第1個(gè)滿(mǎn)足IMF條件的分量。

（5）將c1從x（t）中分離出來(lái)，得到

將r1作為原始數(shù)據(jù)重復(fù)以上過(guò)程，得到x（t）的第2個(gè)滿(mǎn)足IMF條件的分量c2，重復(fù)循環(huán)n次，得到n個(gè)滿(mǎn)足IMF條件的分量。這樣就有

當(dāng)rn成為一個(gè)單調(diào)函數(shù)不能再?gòu)闹刑崛M(mǎn)足IMF條件的分量時(shí)，循環(huán)結(jié)束。這樣由式（9）和（10）得到

對(duì)式（11）中的每個(gè)內(nèi)稟模態(tài)函數(shù)ci（t）作希爾伯特變換得到

構(gòu)造解析信號(hào)

于是得到幅值函數(shù)

和相位函數(shù)

進(jìn)一步可以求出瞬時(shí)頻率：

這樣，原始信號(hào)就可以表示為

相似極值延拓加余弦窗函數(shù)法是改進(jìn)端點(diǎn)效應(yīng)，提高EMD準(zhǔn)確性的新方法。該方法先對(duì)原信號(hào)進(jìn)行相似極值延拓處理，然后加上余弦窗函數(shù)，最后再按照原函數(shù)的長(zhǎng)度去掉延拓部分，這樣可以得到更準(zhǔn)確的IMF。相似極值延拓方法的原理如下。

設(shè)離散信號(hào)：

式中，n為離散數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)；Δt為采樣步長(zhǎng)。

X（t）有M個(gè)極大值和N個(gè)極小值，它們對(duì)應(yīng)的時(shí) 間 為tmax（M）和tmin（N），函 數(shù) 值 為xmax（M）和xmin（N）。下面以左側(cè)延拓為例進(jìn)行算法說(shuō)明：

若延拓時(shí)遇到tmin（0）＞0或tmax（0）＞0的情況，需要繼續(xù)延拓出tmin（－1）或tmax（－1），方法如下：

然后在擬合時(shí)只用tmin（－1）、tmax（0）、t1或tmax（－1）、tmin（0）、t1，不再用tmin（0）或tmax（0）。在給延拓出的點(diǎn)賦值時(shí)，若遇到xmin（0）＞x（t1），可令xmin（0）＝xmin（1）；若xmax（0）＜x（t1），可令xmax（0）＝xmax（1）。

定義余弦窗函數(shù)：

式中，L為信號(hào)延拓后的長(zhǎng)度；S信號(hào)兩端延拓中較長(zhǎng)的延拓長(zhǎng)度。

用余弦函數(shù)窗w（t）對(duì)信號(hào)x（t）進(jìn)行處理，即將信號(hào)與窗函數(shù)進(jìn)行內(nèi)積運(yùn)算，得到信號(hào)y（t）＝ 〈x（t），w（t）〉：

對(duì)處理后的信號(hào)y（t）進(jìn)行EMD分解，再將分解得出的每個(gè)IMF分量的兩端按照延拓前數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度去掉相應(yīng)的延拓部分。最后對(duì)減去延拓部分的IMF進(jìn)行邊界譜和希爾伯特譜分析。

3 數(shù)值仿真和故障診斷

用EMD方法對(duì)故障進(jìn)行診斷，需要得到故障信號(hào)的時(shí)域圖。由式（1）可以看出，含有裂紋碰摩耦合故障的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是一個(gè)有復(fù)雜外激勵(lì)的非線性系統(tǒng)。目前，分析這種系統(tǒng)的最有效的方法就是數(shù)值仿真，本文用目前最常用的變步長(zhǎng)4階龍格－庫(kù)塔法對(duì)式（1）進(jìn)行數(shù)值求解，系統(tǒng)參數(shù)選取如下：m1＝4kg，m2＝32.5kg，R＝25mm，L＝12mm，c＝0.11mm，a＝15mm，μ＝0.018Pa·s，c1＝1050N·s／m，c2＝2100N·s／m，f＝0.1，b＝0.01，k＝25MN／m，kc＝45MN／m，u＝0.05mm，ω＝789.3rad／s，ξ＝0.5mm，φ0＝β＝0。

通過(guò)數(shù)值仿真得到振動(dòng)信號(hào)時(shí)域圖，圖4a為轉(zhuǎn)子左端的徑向位移x1的時(shí)域圖，圖4b為轉(zhuǎn)子圓盤(pán)的徑向位移x2的時(shí)域圖。由圖4可以看出，由于碰摩和裂紋故障的影響，x1和x2的振動(dòng)有很強(qiáng)的非線性。采用改進(jìn)的EMD方法對(duì)兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，并通過(guò)邊界譜和希爾伯特譜進(jìn)行故障診斷。

圖4 x1和x2的時(shí)域圖

首先對(duì)上述兩圖進(jìn)行延拓加窗處理，再用EMD方法分解得到兩組IMF，如圖5所示。由于EMD方法本身原因產(chǎn)生虛假模態(tài)，故只給出IMF1～I(xiàn)MF4。

圖5 x1和x2的EMD處理結(jié)果

為了得到裂紋碰摩耦合故障的故障特征，需要對(duì)已經(jīng)得到的IMF求邊界譜圖。首先求得轉(zhuǎn)子左端徑向位移x1的邊界譜，如圖6a所示，并通過(guò)與單一故障的邊界譜圖比較來(lái)分析故障特征，如圖6b、圖6c所示。這里的單一故障邊界譜是由耦合故障模型簡(jiǎn)化得到的，由于篇幅所限不進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明。

圖6 x1邊界譜

為了更好地看出倍頻關(guān)系，圖6、圖7橫軸采用頻率比，即信號(hào)振動(dòng)頻率與轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)頻率之比。由圖6a可以看出，x1處的故障信號(hào)除1倍頻外還有2倍頻等高頻存在。通過(guò)與圖6b的比較發(fā)現(xiàn)，高倍頻是由裂紋故障引起的，由此可以診斷出故障信號(hào)含有裂紋故障信號(hào)特征，即該系統(tǒng)存在裂紋故障。但由于耦合作用，低頻碰摩故障信號(hào)特征則不明顯，下面要對(duì)x2的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行分析。

圖7a表明，該信號(hào)同時(shí)含有低頻成分（1／3倍頻）和高頻成分（5／2倍頻、7／2倍頻）。由圖7可知，低頻成分是由碰摩故障引起的，裂紋故障是系統(tǒng)產(chǎn)生高頻信號(hào)的原因，由此診斷出該系統(tǒng)存在裂紋碰摩耦合故障。

希爾伯特譜能夠更清晰地顯示出信號(hào)所含故障特征。圖8表明，x1的信號(hào)中包含1倍頻、2倍頻和3倍頻成分，x2的信號(hào)既含有3倍頻又含有1／3倍頻。由此可以更好地診斷出該系統(tǒng)同時(shí)存在裂紋和碰摩故障。

4 結(jié)語(yǔ)

圖7 x2邊界譜

圖8 x1和x2的希爾伯特譜

對(duì)信號(hào)做延拓加窗處理是一種抑制EMD中端點(diǎn)效應(yīng)的新方法。先利用相似極值延拓方法對(duì)信號(hào)兩端進(jìn)行延拓，再根據(jù)延拓情況對(duì)信號(hào)用余弦窗函數(shù)加以處理，得到更準(zhǔn)確的IMF。把該方法應(yīng)用到裂紋碰摩轉(zhuǎn)子－軸承系統(tǒng)模型的故障診斷中，通過(guò)對(duì)系統(tǒng)轉(zhuǎn)子左端的振動(dòng)信號(hào)和轉(zhuǎn)子圓盤(pán)處振動(dòng)信號(hào)的分析，準(zhǔn)確診斷出該信號(hào)同時(shí)存在由裂紋引起的高頻信號(hào)和碰摩引起的低頻信號(hào)，證明了改進(jìn)EMD能夠?qū)πD(zhuǎn)機(jī)械耦合故障進(jìn)行有效診斷。

［1］Gounaris C D，Papadopoulos C A.Crack Identification in Rotating Shafts by Coupled Response Measurements［J］.Engineering Fracture Mechanics，2002，69（3）：339－352.

［2］Hu N Q，Wen X S.The Application of Duffing Oscillator in Characteristic Signal Detection of Early Fault［J］.Journal of Sound and Vibration，2003，268（5）：917－931.

［3］Sekhar A S，Mohanty A R，Prabhakar R.Vibrations of Cracked Rotor System：Transverse Crack versus Slant Crack［J］.Journal of Sound and Vibration，2005，279（3／5）：1203－1217.

［4］王翔，王仲生.基于改進(jìn)Hilbert－Huang變換的轉(zhuǎn)子碰摩故障診斷［J］.中國(guó)機(jī)械工程，2011，22（24）：2937－2940.Wang Xiang，Wang Zhongsheng.Incipient Rubimpact Fault Diagnosis of Rotor System Using Improved HHT［J］.China Mechanical Engineering，2011，22（24）：2937－2940.

［5］姚紅良，李鶴，李小彭，等.裂紋碰摩耦合故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)診斷分析［J］.振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2006，19（3）：307－212.Yao Hongliang，Li He，Li Xiaopeng，et al.Diagnoses of Coupling Fault of Crack and Rub－impact in Rotor Systems［J］.Journal of Vibration Engineering，2006，19（3）：307－212.

［6］羅躍綱，聞邦椿.雙跨轉(zhuǎn)子－軸承系統(tǒng)裂紋－碰摩耦合故障的穩(wěn)定性［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2008，44（4）：123－132.LuoYuegang，Wen Bangchun.Stability of the Two－span Rotor－bearing System Periodic with Coupling Faults of Crack and Rub－impact［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，2008，44（4）：123－132.

［7］景蓓蓓，李鴻光.基于微分的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒椒ㄔ谵D(zhuǎn)子裂紋和碰摩故障診斷中的應(yīng)用［J］.噪聲與振動(dòng)控制，2009（5）：66－69.Jing Beibei，Li Hongguang.Fault Diagnoses of Cracked Rotor and Rub－impact Rotor Based on DEMD Method［J］.Noise and Vibration Control，2009（5）：66－69.

［8］Huang N E，Shen Z，Long S R，et al.The Empirical Mode Decomposition and the Hilbert Spectrum for Nonlinear and Non－stationary Time Series Analysis［J］.Proceedings of the Royal Society London A，1998，454（1971）：903－995.

［9］Yang Yu，He Yigang，Chen Junsheng，et al.A Gear Fault Diagnosis Using Hilbert Spectrum Based on MODWPT and a Comparison with EMD Approach［J］.Measurement，2009，42（4）：542－511.

［10］Li Yujun，Tse P W，Yang Xin，et al.EMD－based Fault Diagnosis for Abnormal Clearance between Contacting Components in a Diesel Engine［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2010，24（1）：193－210.

［11］程軍圣，于德介，楊宇.EMD方法在轉(zhuǎn)子局部碰摩故障診斷中的應(yīng)用［J］.振動(dòng)、測(cè)試與診斷，2006，26（1）：24－27.Cheng Junsheng，Yu Dejie，Yang Yu.Application of EMD to Local Rub－impact Fault Diagnosis in Rotor Systems［J］.Journal of Vibration，Measurement ＆ Diagnosis，2006，26（1）：24－27.

［12］戴桂平，劉彬.EMD相關(guān)度去噪及其在軋機(jī)信號(hào)處理中的應(yīng)用［J］.電子器件，2009，32（1）：191－194.Dai Guiping，Liu Bin.Research on EMD Denoising Method Based on the Correlation Degree and Its Use in the Signal Processing for Rolling Mill’s Signal［J］.Chinese Journal of Electron Devices，2009，32（1）：191－194.

［13］吳虎生，呂建新，吳廬山，等.基于EMD和SVM的柴油機(jī)氣閥機(jī)構(gòu)故障診斷［J］.中國(guó)機(jī)械工程，2010，21（22）：2710－2714.Wu Husheng，LüJianxin，Wu Lushan，et al.Fault Diagnosis for Diesel Valve Train Based on SVM and EMD［J］.China Mechanical Engineering，2010，21（22）：2710－2714.

［14］沈路，周曉軍，張志剛，等.Hilbert－Huang變換中的一種端點(diǎn)延拓方法［J］.振動(dòng)與沖擊，2009，28（8）：168－174.Shen Lu，Zhou Xiaojun，Zhang Zhigang，et al.Boundary－extension Method in Hilbert－Huang Transform［J］.Journal of Vibration and Shock，2009，28（8）：168－174.

［15］羅躍綱，張松鶴，聞邦椿.轉(zhuǎn)子－軸承系統(tǒng)裂紋－碰摩耦合故障的非線性特性研究［J］.振動(dòng)與沖擊，2005，24（3）：43－46.Luo Yuegang，Zhang Songhe，Wen Bangchun.Study on Nonlinear Characteristics of Rotor－bearing System with Coupling Faults of Crack and Rub－impact［J］.Journal of Vibration and Shock，2005，24（3）：43－46.