李西興，徐增師

(武漢理工大學機電工程學院，湖北武漢 430070)

隨著中國汽車市場經(jīng)濟的繁榮發(fā)展，汽車制造商之間的競爭也變得越來越激烈。準確地分析和預測訂單數(shù)量對于汽車制造商商業(yè)模式的優(yōu)化、商機的把握和產(chǎn)品競爭力的提高有著重要意義。

常用的分析和預測方法有回歸分析法、彈性系數(shù)法、指數(shù)平滑法和移動平均法［1］。對于不同的分析和預測方法，根據(jù)數(shù)據(jù)要求的多樣性從復雜的樣本數(shù)據(jù)中提取出準確信息所采用的方法是不同的。作為潛在的新型市場產(chǎn)業(yè)，汽車產(chǎn)業(yè)已經(jīng)成為影響國家經(jīng)濟發(fā)展與規(guī)劃、產(chǎn)業(yè)政策轉(zhuǎn)型和人民消費水平的重要因素，但由于缺乏準確的基礎(chǔ)信息數(shù)據(jù)，汽車產(chǎn)業(yè)的潛在發(fā)展趨勢還不能很準確地預測。1982年由鄧聚龍?zhí)岢龅幕疑A測理論，可在信息不確定和不充分的環(huán)境下，通過運用少量數(shù)據(jù)作出較準確的預測［2］。

因此，目前有許多研究人員都通過采用灰色預測理論來提高預測能力，雖然灰色預測理論已在許多領(lǐng)域得到成功應(yīng)用，但研究表明該預測方法還可進一步改善?；诨疑到y(tǒng)理論，通過對某一企業(yè)汽車銷售數(shù)量運用Markov鏈預測方法，得到了改進的GM(1，1)-Markov鏈模型的訂單預測，即通過負時間序列產(chǎn)生的累積數(shù)據(jù)序列減少或消除在建立GM(1，1)模型時所用到的參數(shù)設(shè)置，研究結(jié)果表明了該預測方法的可靠性。

1 改進的GM(1，1)模型

由鄧聚龍?zhí)岢龅幕疑A測理論最初是用來通過對系統(tǒng)(該系統(tǒng)通常數(shù)據(jù)少、信息不足且不確定)原始數(shù)據(jù)的處理和灰色模型的建立來幫助系統(tǒng)做出一個科學的、定量的預測［3］。累加算子(accumulating generation operator，AGO)和逆累加算子(inverse accumulating generation operator，IAGO)是灰色理論中兩個重要的數(shù)據(jù)處理方法。累加算子(AGO)通過轉(zhuǎn)換原始數(shù)據(jù)的類型發(fā)現(xiàn)它們的內(nèi)在規(guī)律并作出預測，逆累加算子(IAGO)再將預測輸出轉(zhuǎn)變回原來的狀態(tài)。這些數(shù)據(jù)的處理方法對于預測模型的準確性起著決定性作用?；疑A測理論有著樣本數(shù)據(jù)要求少、計算簡單和短期預測精度高等優(yōu)點，因此得到了廣泛應(yīng)用并取得了理想的成果。但是與其他的預測理論一樣，灰色預測理論也有自己的局限性，其要求原始數(shù)據(jù)的陣列具有較高的柔性。通過對原始數(shù)據(jù)陣列的處理和冪函數(shù)變換可以提高原始數(shù)據(jù)陣列的柔性［4］。

構(gòu)建GM(1，1)模型的常規(guī)步驟如下:

(1)首先假設(shè)原始數(shù)組X(0)={x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n)}，并且 x(0)(k)≥0，k=1，2，…，n。

(3)建立灰度微分方程。通過最小二乘法估算灰色控制變量參數(shù)a和b，建立灰色微分方程，GM(1，1)模型的一階微分方程為:

通過最小二乘法將參數(shù)a和b轉(zhuǎn)換為:

其中，常數(shù)向量Y為:

同時累計矩陣B為:

其中，Z(1)(t)=［x(1)(t)+x(1)(t-1)］/2，t=2，3，…，n。

(4)獲取相應(yīng)值x(0)(t+1)?；疑Ｐ虶M(1，1)的時間相應(yīng)函數(shù)由微分方程的解得到:

灰色模型GM(1，1)的時間響應(yīng)函數(shù)可以由式(6)微分方程取代:

假設(shè)x(1)(1)=x(0)(1)，一階序列逆累加算子(IAGO)可以還原為:

由于原始數(shù)據(jù)本身的波動性，數(shù)據(jù)獨立的隨機性和混沌性，以及某些原始數(shù)據(jù)的局限性，很難將預測范圍定格在一個較小的范圍內(nèi)，這樣就導致了在大多數(shù)的案例分析中灰色模型顯得不那么精準。由于灰色模型要求原始數(shù)據(jù)具有較高的柔性，在逆累加算子(IAGO)輸出數(shù)據(jù)之前應(yīng)規(guī)定性能參數(shù)，這樣才能將其應(yīng)用到微分方程中。然而，相比于以前的GM(1，1)模型函數(shù)建立過程，改進的GM(1，1)模型函數(shù)在建立時，通過負時間序列產(chǎn)生的累積數(shù)據(jù)序列減少或消除了這些參數(shù)設(shè)置，從而使得這種情況下的冪函數(shù)變換提高了原始數(shù)據(jù)處理陣列對原始數(shù)據(jù)柔性的處理效果［5］。

假設(shè)原始數(shù)據(jù)陣列{x0(n)}是一個不光滑的離散的數(shù)據(jù)陣列，用冪函數(shù)變換的方法來轉(zhuǎn)換陣列{xn(t)}，得到一個新的更加平滑的數(shù)據(jù)陣列，這個新陣列用于幫助接下來的分析預測，最后采用將預測輸出轉(zhuǎn)換成原始數(shù)據(jù)狀態(tài)。

2 Markov鏈模型

根據(jù)過渡矩陣，Markov鏈描繪出一個模塊領(lǐng)域在未來的一段時間內(nèi)經(jīng)濟發(fā)展轉(zhuǎn)變的趨勢并反映出了它的制度規(guī)則［6］。Markov鏈狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可以提供對下一周期預測值的一種潛在的更正預測。由于汽車銷售數(shù)量在未來是一個隨機波動的數(shù)據(jù)，并且預測系統(tǒng)是一個隨機動力系統(tǒng)，因此該研究采用Markov鏈預測可以較好地提高預測的準確性。

在建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣之前應(yīng)該將模塊劃分，參照Markov鏈的性質(zhì)，對于任意一個模塊都可以劃分為n個小模塊，并且每個小模塊都滿足以下等式［7］:

其中:?i為任意一個小模塊中的子級分模塊;分別為任意子級模塊的區(qū)間上下限;為常數(shù)向量;Ai、Bi為不同參數(shù)矩陣。

假設(shè)Mij(m)是原始樣本數(shù)據(jù)通過m次轉(zhuǎn)換，從模塊?i到模塊?j的轉(zhuǎn)換數(shù)量，Mi是在模塊?i條件下的原始樣本數(shù)據(jù)的總數(shù)，然后通過Pij(m)的組合構(gòu)成了矩陣P(m)，矩陣P(m)稱為Markov鏈的k步轉(zhuǎn)移概率矩陣［8-10］，如下所示:

并且 Pij(m)=Mij(m)/Mi，i=1，2，…，n，是指通過m步從模塊i到模塊j的轉(zhuǎn)換。假設(shè)預測對象是在模塊i下，計算出矩陣P(m)中k步的概率，如果，可以認為在下一周期中模塊轉(zhuǎn)移概率最有可能發(fā)生在模塊?k到模塊?1的轉(zhuǎn)換中。

3 GM(1，1)-Markov鏈模型的應(yīng)用

該測試研究對象為柳州市一家汽車公司，參考分析數(shù)據(jù)為2011年3月到10月的實際銷售數(shù)量(如表1所示)，同時表1給出了通過原始的基于灰色理論的GM(1，1)模型得到的預測值，由表1可知GM(1，1)模型的平均精度達到94.8%。

表1 實際銷售數(shù)量與基于GM(1，1)模型的預測量

用Markov鏈來修正表1預測值，得到實際銷售量與基于改進的GM(1，1)-Markov鏈模型的預測量如表2所示。通過運用Markov鏈，可以得到實際訂單量和預測訂單量的差別，計算得出此時的平均預測精度達到了97.5%?；趦?yōu)化的GM(1，1)模型和Markov鏈模型，訂單預測精度取得了進一步提高。由于篇幅問題，具體的計算過程不再詳述。

表2 實際銷售量與基于改進的GM(1，1)-Markov鏈模型的預測量

通過表1與表2的對比，不難發(fā)現(xiàn)在運用改進的GM(1，1)-Markov鏈模型對銷售數(shù)量做預測相對于原始的基于灰色理論的GM(1，1)預測其準確性得到了提高。

4 結(jié)論

該研究提出了基于改進的GM(1，1)-Markov鏈模型的一階訂單銷售數(shù)量的預測方法，即通過負時間序列產(chǎn)生的累積數(shù)據(jù)序列減少或消除在建立GM(1，1)模型時所用到的參數(shù)設(shè)置，該模型繼承了GM(1，1)模型和Markov鏈模型的演變規(guī)律，即時間序列數(shù)據(jù)和隨機事件數(shù)據(jù)通過狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣的轉(zhuǎn)換，使得預測結(jié)果更加可靠。該預測模型提高了預測值的準確度，同時為公司的產(chǎn)品生產(chǎn)訂單提供了合理的預測。然而受到諸多不確定性因素的影響，該預測模型對于短期內(nèi)的預測效果較好，但對于長期的預測結(jié)果還有待改進。

［1］劉思峰.灰色系統(tǒng)理論及其研究［M］.北京:科學出版社，2010:50-98.

［2］WU C R，CHANG C W，LIN H L.A forecast model for evaluating physicians'supply and demand in the Taiwanese remote islands［J］.J Grey Syst，2009(21):25-34.

［3］鄧聚龍.灰色控制系統(tǒng)［M］.武漢:華中理工大學出版社，1993:9-76.

［4］劉志謙，宋瑞.基于GM(1，1)-Markov鏈的城市汽車保有量預測研究［J］.交通與安全，2008，8(2):33-36.

［5］何霞，劉衛(wèi)鋒.灰色 GM(1，1)模型的改進及應(yīng)用［J］.江南大學學報:自然科學版，2011，3(3):233-236.

［6］李朝陽，魏毅.基于Matlab灰色GM(1，1)模型的大氣污染物濃度預測［J］.環(huán)境科學與管理，2012，1(8):16-20.

［7］石留杰，李艷軍，臧雨婷，等.基于 GM(1，1)-Markov模型的我國人口城市化水平預測［J］.四川理工學院學報，2010，12(9):399-402.

［8］LI D C ，CHANG C J.An extended grey forecasting model for omnidirectional forecasting considering data gap difference［J］.Applied Mathematical Modeling，2011(35):5051-5058.

［9］XIE N M，LIU S F.Discrete grey forecasting model and its optimization［J］.Apply Math Model，2009(33):1173-1186.

［10］TSAUR R C，LIAO Y C.Forecasting LCD TV demand using the fuzzy grey model GM(1，1) ［J］.Int J Uncertainty Fuzziness Know-Based Syst，2007(15):753-767.