陳雙喜，林建輝

(西南交通大學 牽引動力國家重點實驗室，成都 610031)

鐵路系統(tǒng)廣泛存在［1］的車輪圓周非圓化現(xiàn)象會引起車輛軌道系統(tǒng)振動響應變化，影響列車運行穩(wěn)定性及安全性［2-3］。非圓化短波激勵會導致輪軌力增大、橫向蛇形運動、輪軌磨損加劇、滾動噪聲增大。一旦車輛出現(xiàn)蛇形失穩(wěn)，將致輪軌間強烈相互作用，加速輪軌磨損與疲勞，損壞軌道系統(tǒng)，甚至引發(fā)脫軌危險。Nielsen等［1-2］對車輪周期性非圓化進行過總結(jié)。Johansson等［3］通過試驗分析過不同類型車輪非圓化產(chǎn)生原因。張雪珊等［8］研究過車輪橢圓化對列車橫向穩(wěn)定性影響。但止今對車輪非圓化引起車輛系統(tǒng)時頻分布及能量分布研究較少。車輛振動響應時頻分布不僅一定程度上反映懸掛剛度變化或車輪缺陷，且是確定控制反饋力的主要依據(jù)。因此在運行周期內(nèi)對車輛系統(tǒng)進行時頻分析十分必要。由于輪軌接觸幾何關(guān)系、輪軌接觸蠕滑力、懸掛剛度及阻尼的非線性等因素［4-5］存在，車輛軌道耦合系統(tǒng)振動即為非線性、非平穩(wěn)隨機過程。常用分析方法主要為以傅里葉變換為基礎(chǔ)的譜分析［5-6］。在分析線性、平穩(wěn)信號時，傅里葉變換具良好性能;但在分析非線性、非平穩(wěn)信號時，傅里葉變換則在整個時間軸積分平均，無法反映非平穩(wěn)信號的時變特性。基于經(jīng)驗模態(tài)分解(EMD)的希爾伯特-黃變換作為分析非線性、非平穩(wěn)信號方法，吸取了小波變換多分辨率優(yōu)勢，克服了基函數(shù)選取困難，具有良好的局部適應性，且不受Heisenberg測不準原理制約，時間及頻率可同時達到高精度。該方法已用于車輛系統(tǒng)動力學研究，并取得良好效果［7］。本文計算車輪橢圓化激勵下車輛系統(tǒng)動力響應，并運用改進的希爾伯特-黃變換計算分析車輪橢圓化對高速列車時頻、能量分布影響。

1 車輪非圓化

車輪非圓化分為局部非圓化與全周非圓化［8］。局部非圓化主要表現(xiàn)為扁疤、剝離及其它形式波長局部非圓化，由制動熱損傷及滾動接觸疲勞引起。全周非圓化主要是車輪多邊化，包括:車輪磨損(或加工)導致的偏心，橢圓化，三角形化，四邊形化，如圖1所示。形成、發(fā)展機理尚未知。多數(shù)情況下，前三種非圓化起主導作用。本文以二階非圓化為例，研究車輪橢圓化對車輛系統(tǒng)時頻、能量分布影響。

圖1 車輪全周非圓化Fig.1 Periodic out-of-round wheel

2 車輛/軌道耦合動力學模型

車輛軌道耦合動力學模型包括車輛模型、輪軌耦合模型、軌道模型(圖2)。車輛模型包括輪對、轉(zhuǎn)向架、車體、一系懸掛、二系懸掛、減振器、抗蛇形減振器、橫向止擋等。整個車輛系統(tǒng)振動響應微分方程見文獻［9］。軌道模型選取我國廣泛應用、具優(yōu)越減振降噪性能的彈性支承塊式無砟軌道?？紤]計算規(guī)模、精度、計算成本，忽略鋼軌的剪切變形、轉(zhuǎn)動慣量影響，采用歐拉梁模型及文獻［9］鋼軌振動微分方程。彈性支承塊無砟軌道垂向剛度主要由扣件及塊下膠墊提供，橫向剛度由支承塊橡膠套靴提供［10］。輪軌之間采用赫茲非線性接觸理論與沈志云-Hedrick-Elkins理論實現(xiàn)車輛系統(tǒng)與軌道系統(tǒng)耦合［9］。車輛軌道系統(tǒng)振動可能由車輪缺陷或軌道不平順引起。本文考慮軌道不平順為諧波不平順。車輪缺陷為車輪橢圓化，其數(shù)學模型用橢圓極坐標(圖3)方程表示為:

式中:r(t)為車輪表面至圓心距離;a，b分別為橢圓車輪長、短半軸長度，θ(t)為名義接觸半徑與水平軸夾角。定義橢圓度為長短半軸長度之差，相位差為左右輪θ(t)之差。若相位差為零，則采用軌道高低不平順模擬;若相位差不為零，則采用軌道扭曲不平順模擬［8］。對該大型復雜非線性動力學微分方程組，只能采用直接數(shù)值積分法。本文采用新型快速顯式積分［9］求解。

3 改進希爾伯－黃變換

希爾伯特-黃變換包括經(jīng)驗模態(tài)分解及希爾伯特變換。經(jīng)驗模式分解(EMD)由Huang［11］提出。將信號s(t)自適應分解為多個本征函數(shù)IMF(ci)及一個余項r(t)，從而反映信號內(nèi)部特點。即:

圖2 車輛軌道耦合系統(tǒng)Fig.2 Model of vehicle-track coupling system

圖3 車輪橢圓化模型Fig.3 Model of wheels ovalization

為使瞬時頻率有意義，本征函數(shù)(IMF)須滿足兩條件:① 在整個數(shù)據(jù)序列中，極值點數(shù)量與過零點數(shù)量相等，或最多相差一個;② 在任一時間點上，信號局部極大值確定的上包絡(luò)線與局部極小值確定的下包絡(luò)線均值為零。由于具有自適應分解特性，對非平穩(wěn)、非線性信號處理效率較高。本文采用改進的EMD方案:以極值域均值模式分解方法(EMMD)［12］提高局部均值求解精度，減少計算量;用波形匹配法［13］與極值點對稱延拓相互配合抑制端點效應;用能量波動法［14］限制分解次數(shù)、識別虛假IMF分量，計算能量分布。能量波動法中能量比例ζi為各IMF分量與原始信號比值:

式中:頻率ωi(t)與幅值ai(t)是時間的變量，可構(gòu)成時間、頻率、幅值三維時頻幅值譜圖H(ω，t)。對式(4)時頻幅值譜圖進行積分得信號邊緣幅值譜:

式中:T為序列時間長度。邊緣譜表征數(shù)據(jù)在每個頻率點的累積幅值分布，基函數(shù)是自適應的IMF函數(shù)組。由此可消除傅里葉變換的虛假諧波分量，使信號頻譜更清晰真實［11］。

4 計算結(jié)果與比較

對車輛軌道耦合模型進行求解可得系統(tǒng)動力學響應。車輛模型及參數(shù)采用國產(chǎn)某和諧號動車組。本文假設(shè)軌道諧波不平順波長10 m，波深5 mm，列車運行速度300 km/h，計算長度100 m。運用改進的希爾伯特-黃變換對響應進行分析，即可得耦合系統(tǒng)動態(tài)特征。

計算表明，車輪橢圓度小于0.5 mm，輪軌未脫離接觸，傅里葉變換與希爾伯特-黃變換結(jié)果一致;橢圓度大于0.5 mm，由于高頻輪軌沖擊存在，兩者差異較大。車輪橢圓度1 mm、2 mm時車體垂向振動加速度傅里葉譜見圖4。由圖4看出，橢圓度1 mm時車體振動主頻為8.3 Hz、62 Hz;橢圓度2 mm時，由于輪軌脫離接觸造成強烈輪軌沖擊，傅里葉譜主頻分布在8.3 Hz、62 Hz及其倍頻處(虛假諧波分量)。橢圓度為1 mm、2 mm時車體垂向振動加速度時頻分布見圖5。由圖5看出，橢圓度1 mm時，車體垂向振動存在兩個主要分量:8.3 Hz附近的平穩(wěn)振動(諧波不平順波長10 m)與55～65 Hz范圍內(nèi)波動的頻率調(diào)制振動(橢圓化波長為輪周長一半，約1.35 m);橢圓度2 mm時，輪軌存在高頻沖擊，車體振動能量除8.3 Hz附近，亦在100 Hz以內(nèi)廣泛分布，即發(fā)生能量擴散。對時頻譜積分所得希爾伯特邊緣譜見圖6，與圖4相比傅里葉譜反映的振動情況更真實。

運用能量波動法計算振動分量能量比例，結(jié)果表明，橢圓度1 mm時，橢圓化引起的振動占轉(zhuǎn)向架、車體垂向振動總能量的90%、41%，不平順引起的振動占轉(zhuǎn)向架、車體垂向振動總能量的10%、56%;橢圓度2 mm時，橢圓化引起的振動占車體垂向振動總能量的20%，不平順引起的振動占轉(zhuǎn)向架、車體垂向振動總能量的14%、32%。由此可見，橢圓度過大(2 mm)，輪軌沖擊造成車體能量擴散頻域更廣。

圖4 車體垂向振動傅里葉譜Fig.4 Fourier spectrum for vertical acceleration of car body

圖5 車體垂向振動時頻幅值譜Fig.5 Hilbert spectrum for vertical acceleration of car body

車輪橢圓化相位差同樣對車輛系統(tǒng)振動產(chǎn)生明顯影響?？紤]第一、二輪對存在橢圓化，但僅第一輪對存在相位差。計算表明，相位差小于π/2，輪對偏向軌道一側(cè)蛇形運動，從π/2到π，輪對在軌道另一側(cè)蛇形運動，與文獻［8］結(jié)果一致。由于對稱，只考慮π/2范圍內(nèi)相位差。在橢圓度1 mm、不同相位差情況下，轉(zhuǎn)向架橫向振動加速度高頻分量時頻分布見圖7，頻率調(diào)制信號在中心頻率62 Hz附近波動，且橢圓化相位差越小，波動范圍越寬。轉(zhuǎn)向架橫向振動加速度邊緣譜見圖8，相位差為π/2時帶寬最窄，能量最集中，相位差越小帶寬越大，能量分布越寬。

圖6 車體垂向振動邊緣譜Fig.6 Marginal spectrum for vertical acceleration of car body

橢圓化相位差亦會對轉(zhuǎn)向架及車體垂向、側(cè)滾、搖頭、點頭運動動態(tài)特征造成影響。限于篇幅，略去時頻分布圖。計算表明，轉(zhuǎn)向架垂向、側(cè)滾、搖頭、點頭加速度高頻分量在60±20 Hz范圍內(nèi)分布，帶寬受相位差影響較小。車體垂向、點頭加速度高頻分量亦為頻率調(diào)制信號，波動范圍在60±10 Hz，帶寬受相位差影響較小。車體側(cè)滾加速度高頻分量帶寬隨相位差增大而減小。車體搖頭加速度數(shù)量級很小，可忽略。

表1 車輛系統(tǒng)振動能量分布Tab.1 Energy distribution of vehicle system

車輪橢圓化相位差也能造成車輛系統(tǒng)振動能量分布差異，通過能量波動法分析，得轉(zhuǎn)向架及車體能量比例分布情況見表1。由表1看出，相位差越大，橢圓化引起轉(zhuǎn)向架、車體垂向振動能量比例越小、不平順引起振動能量比例越大。相位差對車輛系統(tǒng)橫向振動影響較復雜，造成的車體橫向波長蛇形運動見如圖9。相位差為π/6、π/2時橢圓化引起轉(zhuǎn)向架振動能量比例最大，相位差為π/3時蛇形引起轉(zhuǎn)向架、車體振動能量比例最大。橢圓化能量在轉(zhuǎn)向架振動能量中所占比例遠大于車體中比例。

圖7 轉(zhuǎn)向架橫向振動時頻幅值譜Fig.7 Hilbert spectrum for Lateral acceleration of bogie

計算表明，車輪橢圓化相位差也對車體側(cè)滾及點頭造成較大影響，對車體搖頭影響較小。相位差從π/6到π/2，橢圓化引起能量占車體側(cè)滾總能量的95% ～99%，即相位差影響不大;相位差從π/6到π/2，橢圓化引起振動能量占車體點頭總能量的35%、32%、29%、16%，影響程度不斷減小;而不平順引起振動能量占車體點頭總能量的65%、67%、71%、83%，影響程度不斷增大。

圖8 轉(zhuǎn)向架橫向振動時頻幅值譜Fig.8 Marginal spectrum for lateral acceleration of bogie

圖9 車體橫向振動加速度Fig.9 Lateral acceleration of car body

5 結(jié)論

改進的希爾伯特-黃變換能有效提取車輛軌道耦合系統(tǒng)的時頻、能量分布。車輪橢圓度超過一定范圍會導致輪軌強烈高頻沖擊，振動響應頻率調(diào)制及帶寬變化可使振動能量頻域擴散更廣。橢圓化相位差不但會造成轉(zhuǎn)向架及車體垂向、橫向、側(cè)滾、點頭、搖頭振動分量的頻率調(diào)制及帶寬變化與能量分布差異，亦會造成車輛系統(tǒng)蛇形運動及蛇形能量差異，且對轉(zhuǎn)向架能量分布影響大于車體。

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