基于開放式數(shù)控系統(tǒng)的零相差跟蹤控制*

李學偉，趙萬華，盧秉恒

(西安交通大學機械制造系統(tǒng)工程國家重點實驗室，西安 710054)

0 引言

數(shù)控機床進給系統(tǒng)的動態(tài)特性，導致實際加工過程中系統(tǒng)輸入與輸出間存在變化的跟隨誤差。進給系統(tǒng)的跟蹤性能直接影響數(shù)控機床的加工精度［1］。Tomizuka［2］提 出 的 零 相 差 跟 蹤 控 制 (zero phase error tracking controller-ZPETC)是一種基于逆系統(tǒng)思想的控制方法，即設計控制器為控制對象的逆，結合零極點對消和相位對消，使得控制器和被控對象的串聯(lián)傳遞函數(shù)近似為1，在較大的帶寬范圍減少傳統(tǒng)反饋閉環(huán)系統(tǒng)所帶來的相位誤差和幅值誤差，達到更高的跟隨精度。

由于零相差控制能夠有效改善機床進給系統(tǒng)的跟隨特性，提高數(shù)控機床的加工精度，國內(nèi)外學者相繼提出了最優(yōu)增益零相差和自適應零相差跟蹤前饋補償方法，并對其進行了大量改進研究和應用［3-11］。最優(yōu)增益零相差跟蹤控制主要用于提高進給系統(tǒng)的中高頻幅頻特性，前饋控制器設計相對復雜。自適應零相差跟蹤控制雖然對進給系統(tǒng)負載變引起的系統(tǒng)特性變化具有一定的自適應調(diào)節(jié)能力，但需要實時對系統(tǒng)模型進行在線辨識，而系統(tǒng)模型辨識的實時性和準確性使該方法的應用受到很大限制。與最優(yōu)增益零相差和自適應零相差跟蹤控制相比，零相差跟蹤算法相對簡單并能保證系統(tǒng)具有較好的穩(wěn)定性。對于傳統(tǒng)的數(shù)控機床，由于數(shù)控系統(tǒng)是封閉的，該方法一直處于實驗室研究和實驗階段，無法在其內(nèi)部實現(xiàn)零相位跟蹤控制算法。

本文以RTX660數(shù)控銑床為研究對象，利用PA數(shù)控系統(tǒng)的二次開發(fā)功能，將零相差跟蹤控制算法嵌入到數(shù)控系統(tǒng)插補器中提高了數(shù)控機床的單軸運動控制精度，同時減小了多軸聯(lián)動加工的輪廓誤差。

1 進給系統(tǒng)模型辨識

進給系統(tǒng)的模型辨識有開環(huán)系統(tǒng)模型辨識和閉環(huán)系統(tǒng)模型辨識［12］。因為插補器位于位置閉環(huán)以外，本文選擇利用偽噪聲序列對進給系統(tǒng)進行開環(huán)系統(tǒng)模型辨識。

1.1 偽噪聲序列的產(chǎn)生

本文采用線性同余法［9］產(chǎn)生系統(tǒng)辨識所需的偽噪聲信號，線性同余法的計算公式如下：

第一個式子是求(a*z(n－1)+c)與M相除的余數(shù)，第二個式子中的m(n)即為0－1之間的隨機數(shù)，通過合理配置z(0)、M、a、c可以選擇隨機序列的頻率分布。

1.2 最小二乘法模型辨識

本文模型辨識采用的算法為最小二乘法［10］。最小二乘法最初是通過解超定方程求最優(yōu)解。設y為一組自變量X的函數(shù)：

若對y進行m次觀測實驗，則有：

存在，即可求出待定參數(shù)：a=(a1，a2，…，an)－1。可證明存在唯一解：a=A－1Y。其中：

當m＞n時，方程數(shù)多于未知數(shù)個數(shù)，需要用估計方法估算最佳值?？梢圆捎米钚《朔ㄟM行估計：

2 零相差跟蹤控制算法

零相差跟蹤控制的基本原理是基于模型的預測，利用已知未來信息設計系統(tǒng)的前饋補償，理論上能夠使被控對象系統(tǒng)的相位差在全頻域內(nèi)為0。其基本結構如圖1。

圖1 零相差控制結構框圖

圖中r，e，u，y和Gp(z)分別表示系統(tǒng)輸入，誤差，控制器輸出，系統(tǒng)輸出以及離散時間控制對象。本文中C(z)是基于反饋的PI控制器，Cr(z)是以減小跟蹤誤差為目的而設計的零相差跟蹤控制器。已知控制對象和反饋PI控制器組成的閉環(huán)系統(tǒng)的離散時間傳遞函數(shù)為：

d表示系統(tǒng)延時，A和B為互質(zhì)離散不等式。正常情況下機床系統(tǒng)不應該產(chǎn)生震蕩，所以A不包含不穩(wěn)定零點。

此處的A，B，d均由前文中所述辨識實驗得出。

當Gc(z)為非最小相位系統(tǒng)時，B包含不穩(wěn)定零點。按照zpetc原理，此時若取Gc(z)的逆為前饋控制器，B的不穩(wěn)定零點將變成Gc(z)的不穩(wěn)定極點，導致控制器的不穩(wěn)定。一種證明有效的解決辦法是將B分解為穩(wěn)定部分Ba(z－1)和不穩(wěn)定部分Bu(z－1)。

Ba(z－1)為單位圓內(nèi)的系統(tǒng)零點組成的多項式，Bu(z－1)為單位圓外和單位圓上的系統(tǒng)零點組成的多項式。根據(jù)Tomizuka提出的設計方法，零相差跟蹤控制器可表示為：

其中ω代表頻域算子，可見傳遞函數(shù)無虛部，說明在所有頻率處均無相位差。

此時經(jīng)過前饋補償矯正后的傳遞函數(shù)為：

3 實驗設計及結果分析

3.1 試驗臺平臺及試驗流程

本實驗是在RTX660三軸數(shù)控銑床上進行，實驗機床如圖2所示。

圖2 RTX660三軸數(shù)控銑床試驗臺

該機床配有PA開放式數(shù)控系統(tǒng)，可通過該系統(tǒng)提供的接口對加工指令插補后的離散位置坐標和反饋位置進行實時讀取計算和修改。該算法在每個插補器時鐘周期內(nèi)運行一次。插補時鐘周期為2ms。電主軸采用德國GMN電主軸，最高轉(zhuǎn)速30000r/min。電機和驅(qū)動器采用安川SGMSH-13ACA61，驅(qū)動器設為速度控制模式，控制參數(shù)通過其提供的離線整定方法自動確定，X軸和Y軸位置環(huán)增益在數(shù)控系統(tǒng)中分別設為2.95和3。實驗流程如圖3所示。

圖3 實驗流程

3.2 系統(tǒng)模型辨識實驗

在公式(1)中?。簔(0)=7、c=7、a=31、M=1021。此時隨機偽噪聲序列時域和頻率分布如圖4和圖5所示。

圖4 隨機偽噪聲序列時域圖

圖5 隨機偽噪聲序列頻域分布圖

通過數(shù)控系統(tǒng)的二次開發(fā)功能，在數(shù)控系統(tǒng)插補器內(nèi)設置計數(shù)器，每個插補周期計算一個偽隨機信號作為數(shù)控機床X軸進給系統(tǒng)的速度指令輸入，同時記錄進給系統(tǒng)的反饋位置，系統(tǒng)的位置輸入輸出如圖6所示。

圖6 系統(tǒng)辨識的輸入輸出

采用前述最小二乘法對激勵信號數(shù)據(jù)和反饋位置數(shù)據(jù)估算進給估算，逐步加大模型階數(shù)，直至殘差變動很小為止。采用以上方法獲取的X軸進給系統(tǒng)模型為：

3.3 基于開放式數(shù)控系統(tǒng)的零相位跟蹤控制

根據(jù)辨識的系統(tǒng)模型可知，存在6個零點不能作為控制器極點，因此，根據(jù)公式(7)獲取的零相差跟蹤控制算法公式為：

設當前時刻為k，插補數(shù)據(jù)為r(k)此時通過零相差跟蹤控制算法計算后輸入到位置環(huán)的指令為：

公式(11)表明，為了使進給系統(tǒng)獲取好的跟蹤性能，零相差跟蹤控制器需要預讀9個插補數(shù)據(jù)。將算法嵌入開放式數(shù)控系統(tǒng)插補器中，每個插補器時鐘周期實時更新插補數(shù)據(jù)和計算該周期輸入到位置環(huán)的校正值并發(fā)送到運動控制器。

3.4 實驗結果分析

3.4.1 單軸跟隨特性比較

在開放式數(shù)控系統(tǒng)嵌入零相差跟隨控制算法前后，對X軸進給系統(tǒng)輸入正弦曲線指令，通過開放式數(shù)控系統(tǒng)實時讀取其輸出位置，通過計算工作臺當前輸出位置與當前指令位置的差，獲得進給系統(tǒng)的跟隨誤差，數(shù)控系統(tǒng)插補器嵌入零相差控制算法前后其跟隨誤差如圖7所示。

實驗結果表明，嵌入零相差跟蹤控制后，跟隨誤差基本消除，圖中的幾個尖峰是由于進給軸反向時由于摩擦力的低速非線性造成的。

3.4.2 兩軸聯(lián)動圓軌跡切削輪廓誤差比較

為了比較零相差控制對聯(lián)動加工輪廓誤差的影響效果，進行了兩軸聯(lián)動加工圓軌跡實驗，切削材料為鋁合金，進刀量0.2mm，切削圓軌跡半徑為40mm，切削速度為6m/min，主軸轉(zhuǎn)速20000r/min。如圖8所示。

圖7 嵌入零相差跟隨控制前后跟隨誤差比較

圖8 圓軌跡切削實驗

通過開放式數(shù)控系統(tǒng)記錄實際反饋位置后得到加工過程中的輪廓誤差。采用相同方法設計Y軸零相差控制算法，將零相差控制算法嵌入插補器前后的輪廓誤差比較如圖9所示。

圖9 嵌入零相差跟蹤控制前后圓軌跡加工輪廓誤差比較

實驗結果表明，由于兩軸機械傳動系統(tǒng)參數(shù)和控制參數(shù)選取的不同，插補器嵌入零相差控制算法前，造成兩軸聯(lián)動圓軌跡存在超過50μm的輪廓誤差，在插補器中嵌入零相差控制算法對兩個軸分別進行前饋補償后，其除了由于低速摩擦特性造成過象限誤差外的輪廓誤差得到很好地補償。

4 結論

本文基于開放式數(shù)控系統(tǒng)的二次開發(fā)功能，對數(shù)控機床進給系統(tǒng)進行了模型辨識，設計了零相差跟蹤控制器，并通過在插補器內(nèi)預讀插補位置數(shù)據(jù)和嵌入零相差跟蹤控制算法，實現(xiàn)了進給系統(tǒng)的零相差前饋控制。通過單軸跟隨特性和兩軸聯(lián)動加工的實驗，驗證了該方法能夠有效的改善單軸進給系統(tǒng)的跟隨性能以及多軸聯(lián)動加工的輪廓精度。

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