張 明，何慶中，王志鵬，郭 帥，段 朋

(四川理工學院機械工程學院，四川自貢 643000)

0 引言

近年來，隨著物流業(yè)的信息化與自動化不斷發(fā)展，尤其是自動倉庫的出現(xiàn)，也對碼垛技術提出更高的要求和更廣泛的應用。針對物品的不同特點，碼垛機器人可在短時間內迅速作出在線調整，以滿足碼垛作業(yè)的需要［1］。

所謂碼垛機器人的工作空間，指的是機器人在正常運行時的末端執(zhí)行器上的參考點所能到達的所有點的集合。碼垛機器人的工作空間是衡量機器人工作能力的重要指標。工作空間可以分為兩類：一種是可達工作空間;另一種是靈活工作空間。在可達工作空間的邊緣，機器人只能以某種位姿才能實現(xiàn)，而靈活工作空間是機器人以任何姿態(tài)都能實現(xiàn)［2］。

機器人的工作空間可定義為：在結構限制下末端執(zhí)行器能夠達到的所有位置集合(在三維空間R3中)，該集合稱為可達工作空間［3］，這可以看做是關節(jié)空間變量與工作空間的映射，即為：

其中：WR是工作空間;q是廣義關節(jié)變量;Q是關節(jié)空間。

1 碼垛機器人的工作節(jié)拍

該關節(jié)型碼垛機器人是為白酒包裝自動化生產線上的酒箱上下線以及碼垛所研制的。其工作效率是600箱/小時，即工作節(jié)拍是6秒/箱。本碼垛機器人按照圖1所示的生產線布置方式進行布置。

圖1 碼垛機器人生產線布置方式

2 運動學方程的建立

該碼垛機器人采用平行四邊形機構，有四個自由度，且均為旋轉關節(jié)。結構圖如圖2所示。此結構的特點是：穩(wěn)定性好、承載能力大、結構緊湊。

根據(jù)碼垛機器人的總體結構方案繪制出該機器人的臂部結構簡圖如圖3所示。J1軸為碼垛機器人底座的旋轉軸，轉動范圍是330°。J2軸為機器人后臂與底座的減速器旋轉軸，轉動范圍是100°。J3軸為機器人前后臂之間連接的減速器旋轉軸，轉動范圍是130°。J4軸為機器人末端執(zhí)行器的轉動軸。轉動范圍是330°。底座的旋轉是J1軸繞著z軸轉動，旋轉中心為O0點;后大臂的轉動是J2圍繞O1的旋轉;前臂的轉動是J3軸繞著O2軸旋轉;由于采用的是平行四邊形結構，所以O3軸的轉動是從動的，手腕部的轉動就是J4軸繞著z軸轉動，旋轉中心為O4點。在圖3 中，O0、O1、O2、O3、O4分別為旋轉中心以及各個連桿的坐標系原點，機構的主要參數(shù)為：l1=150mm，l2=500mm，l3=360mm，l4=84.9mm，d1=195mm。

圖2 碼垛機器人總體結構方案

圖3 碼垛機器人臂部結構簡圖

利用D-H法可以建立關節(jié)的坐標系統(tǒng)，規(guī)定θi為連桿轉角，即關節(jié)變量;di為兩個連桿之間的距離;αi－1為連桿的扭轉角;ai－1為連桿i－ 1 的長度。由于關節(jié)4(O4)為從動關節(jié)，所以可以得到它與關節(jié) 2、3(O2、O3)的關系為：

再由于碼垛機器人的末端執(zhí)行器只有平動，沒有自身的轉動，因此關節(jié)1和關節(jié)5滿足關系為：

根據(jù)圖3的運動簡圖可得到碼垛機器人的D-H參數(shù)，表中，θ1、θ2、θ3、θ4為各個連桿的關節(jié)變量;l1、l2、l3、l4、l5為連桿常量;關節(jié)的轉角范圍是碼垛機器人在工作時的工作要求范圍，即機器人抓取酒箱以及放下酒箱時關節(jié)應該轉動的角度范圍。如表1所示。

表1 碼垛機器人的D-H參數(shù)表

由于碼垛機器人的四個關節(jié)均為旋轉關節(jié)，所以應用廣義連桿變換齊次矩陣的一般表達式：

式(6)～式(9)就是該碼垛機器人的運動學方程，其含義就是末端執(zhí)行器的坐標系相對于底座坐標系的位姿。其中ci、si分別表示 cosθi、sinθi，i=1、2、3、4、5，cijk、sijk分別表示 cos(θi+θj+ θk)、sin(θi+θj+ θk)，i、j、k分別為 2、、3、4。當關節(jié)變量已知的情況下，就能得出碼垛機器人末端執(zhí)行器的位姿。這是進行碼垛機器人運動學分析的基礎。

再根據(jù)式(2)和式(3)的關系式，可以得到末端執(zhí)行器的齊次變換矩陣即碼垛機器人位姿正解為：

碼垛機器人手腕處的位移相對于底座坐標系的坐標為：

對于該碼垛機器人而言，關節(jié)的數(shù)目和末端連桿的自由度數(shù)目都可認為是三個，其中關節(jié)5與關節(jié)1可看成是相關聯(lián)的，所以該機器人的雅可比矩陣是3 階的方陣［4］。

3 碼垛機器人工作空間分析

對于機器人的工作空間的算法中，常用解析法、圖解法和數(shù)值解法三種。解析法是通過多次求解包絡線來把工作空間的邊界用方程表示出來，這種方法的直觀性不強而且十分的繁瑣。圖解法是得到工作空間的截面或剖面線。數(shù)值法的實質就是盡可能多的選取獨立的關節(jié)變量，在用正向運動學方程算出機器人末端執(zhí)行器的坐標集合。坐標越多，工作空間就越真實。

在綜合設計工作空間時，一般都要以一個最小的正方體來進行，這個正方體包含了機器人的所有的工作點，這樣就可以確定機器人關節(jié)活動的范圍。對于一個機器人來說，與工作空間的體積相關的體積指數(shù)和與末端執(zhí)行器靈活性相關的靈活性指標是評價機器人工作空間的指標。機器人的靈活性其實就是機器人完成任務的能力，在設計機器人時，最先考慮的就應該是機器人的靈活性。因此，設計一個典型的工作空間，讓機器人在這個空間內工作，由此來評價機器人的性能是簡單而可行的［5］。

碼垛機器人的運動學方程是由D-H法求得的，根據(jù)運動學方程，借助MATLAB軟件來實現(xiàn)工作空間的仿真設計，這樣可更直觀的表達機器人的工作空間。運用MATLAB來進行碼垛機器人的工作空間域的仿真是盡可能多地獲得關節(jié)變量的組合，通過MATLAB編程來求解運動學方程，然后將求得的位置點以圖形的方式顯示出來［6］。

對于MATLAB的算法，應該在碼垛機器人的各個關節(jié)變量能夠轉動的范圍內，從第一個關節(jié)開始，依次以各自的轉動關節(jié)進行轉動(或移動關節(jié)進行移動)，直至最后一個關節(jié)。在變化的過程當中，應當讓最后的關節(jié)優(yōu)先。可以先規(guī)定一個步長的關節(jié)轉動，再讓其下一個關節(jié)在自身的變化范圍內從最小步長到最大步長變化，得到的是多個關節(jié)的變量的組合，再將這些變量導入至末端執(zhí)行器的位姿方程中，就可以求的末端執(zhí)行器的位姿的集合，這個集合就構成了工作空間。

根據(jù)式(11)以及各個軸的轉動范圍，利用數(shù)值算法，在MATLAB中進行計算，繪制出機器人的工作范圍，可以直觀的表達出來。循環(huán)程序如下：

碼垛機器人的可達工作空間的三維圖如圖4所示。

圖4 碼垛機器人可達工作空間三維圖

再根據(jù)可達工作空間的三維圖，可以得到工作空間在xoy平面上的投影，如圖5所示。當任取一個θ1的值時，就能得到工作空間的xoz平面的截圖，如圖6所示，同理，當任取一個θ2的值時，就能得到y(tǒng)oz平面的截圖，如圖7所示。

圖5 xy坐標平面投影圖

圖6 xz坐標平面投影圖

圖7 yz坐標平面投影圖

由圖4可以看出，碼垛機器人的工作可達空間是一個近似的橢球體構成，由于機器人工作范圍的限制，此橢球體有一個扇形的缺口，并且有一個空心區(qū)域。

對可達空間進行驗證，可任意給定一個關節(jié)角度，令 θ1=45°，θ2=60°，θ3=30°，代入到式(11)中，可得到px=342.8243，py=342.8243，pz= －868，此坐標在可達工作的工作空間內，可以再取不同的θi的值，邊界曲線都在切面內很好地包絡了這個二維的“云圖”，從而驗證了方法的正確性。

4 結論

本文通過D-H法確定了關節(jié)碼垛機器人的運動學方程，再用關節(jié)轉角來確定步距角的轉動，得到了關節(jié)變量的集合，再根據(jù)這個集合下所有末端執(zhí)行器的點的向量，分析出碼垛機器人的可達的工作空間并對其進行驗證。從仿真的結果來看，該機器人的工作空間緊湊，同時也驗證了用此法來求解機器人工作空間的確有很好的效果，也可為機器人的進一步優(yōu)化以及控制系統(tǒng)的設計提供依據(jù)。

［1］朱世強，王宣銀.機器人技術及其應用［M］.杭州：浙江大學出版社，2000.

［2］趙獻丹，何慶中，劉明，等.基于MATLAB的微電驅串聯(lián)機械手工作空間域解算與仿真［J］.四川理工學院學報，2006，19(5)：5 －8.

［3］曹毅，李秀娟，寧祎，等.三維機器人工作空間及幾何誤差分析［J］.機械科學與技術，2006，25(12)：1458.

［4］毛立民，鄒劍.關節(jié)型碼垛機械手運動學分析及仿真［J］.組合機床與自動化加工技術，2010(9)：44－47.

［5］李曉剛，劉晉浩.碼垛機器人的研究與應用現(xiàn)狀、問題及對策［J］.包裝工程，2011，32(3)：96－102.

［6］鐘勇，朱建新.一種新的機器人工作空間求解方法［J］.機床與液壓，2004(4)：66－67.