劉 正，齊二石，劉 亮

(天津大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部，天津 300072)

0 引言

傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)批量(EPQ)模型存在產(chǎn)品生產(chǎn)過(guò)程完好、需求穩(wěn)定等假設(shè)，這與實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程有很大差別。近年來(lái)，學(xué)者們結(jié)合實(shí)際生產(chǎn)狀況和生產(chǎn)運(yùn)作對(duì)傳統(tǒng)模型進(jìn)行擴(kuò)展和改進(jìn)。Rosenblatt和Lee［1］在生產(chǎn)庫(kù)存模型中假設(shè)缺陷率服從指數(shù)分布，構(gòu)建了相應(yīng)的 EPQ模型。Kacpryzk與 Staniewski［2］最先將模糊數(shù)學(xué)引入庫(kù)存管理;Tsujimura［3］將模糊集理論應(yīng)用于傳統(tǒng)的生產(chǎn)庫(kù)存模型中。由于實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中經(jīng)常發(fā)生缺貨以及產(chǎn)品質(zhì)量問(wèn)題，學(xué)者們研究了模糊條件下允許缺貨且存在缺陷品的庫(kù)存管理問(wèn)題，Chang［4］將缺陷率視為一個(gè)模糊變量，研究了在缺陷率和需求為模糊數(shù)時(shí)的經(jīng)濟(jì)訂貨批量模型，并用符號(hào)距離法解模糊，得到最優(yōu)訂貨批量;Chen和Chang［5］在模糊EPQ模型中考慮了缺陷品的影響;Zhou Wei［6］考慮了模糊缺陷率和模糊訂貨成本的經(jīng)濟(jì)訂貨批量(EOQ)模型;GUO Cai-yun等［7］和Zhang Qun等［8］研究了允許缺貨且存在缺陷品的EPQ模型。以上的這些研究都是局限于單一產(chǎn)品的研究。Ata Taleizadeh［9］研究了多產(chǎn)品生產(chǎn)批量的確定，但是未考慮庫(kù)存容量約束。王磊，胡勁松［10］考慮模糊有限的庫(kù)存容量約束下的多產(chǎn)品的庫(kù)存策略，但是沒(méi)有考慮允許缺貨且存在缺陷品情況。

本文在以上研究的基礎(chǔ)上，將庫(kù)存容量限制考慮到模型中，建立了模糊條件下允許缺貨，存在缺陷品并可修復(fù)，庫(kù)存容量有限的多產(chǎn)品EPQ模型。利用符號(hào)距離法將模糊模型轉(zhuǎn)化為確定型模型，進(jìn)而求得最優(yōu)生產(chǎn)策略，并利用具體算例進(jìn)行分析。

1 模型假設(shè)以及符號(hào)說(shuō)明

本文的理論推導(dǎo)過(guò)程建立在以下的假設(shè)下：生產(chǎn)正常品的速度大于產(chǎn)品的需求速度;檢驗(yàn)成本忽略不計(jì);允許缺貨，缺貨在以后補(bǔ)充;缺陷產(chǎn)品可返工再生產(chǎn)，并存在一定比率的廢品。此外，由于所有產(chǎn)品都是在一臺(tái)機(jī)器上完成生產(chǎn)的，它們的生產(chǎn)周期都是一樣的(Ti=T)。

2 模型構(gòu)建過(guò)程

圖1 多產(chǎn)品EPQ庫(kù)存狀態(tài)圖

周期T內(nèi)的平均庫(kù)存成本TC包括正常生產(chǎn)階段的生產(chǎn)成本，返工生產(chǎn)階段的生產(chǎn)成本，庫(kù)存持有成本，缺貨成本以及生產(chǎn)準(zhǔn)備成本。因此有：

因?yàn)槿毕萋屎蛷U品率都是模糊數(shù)，根據(jù)公式(1)可得模糊生產(chǎn)庫(kù)存模型為：

3 多產(chǎn)品模糊生產(chǎn)庫(kù)存模型求解

為了求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，需要對(duì)模糊模型進(jìn)行解模糊處理，目前解模糊有很多種方案，其中以符號(hào)距離法最為常用。將目標(biāo)函數(shù)去模糊化處理可得：

因此，若先不考慮庫(kù)存容量約束，可直接對(duì)目標(biāo)函數(shù)求導(dǎo)，進(jìn)而得到最優(yōu)解。即：

因此，對(duì)于庫(kù)存容量有限的多產(chǎn)品最優(yōu)生產(chǎn)策略的確定方法可以總結(jié)為：

先不考慮庫(kù)存容量約束，利用公式(4)、(5)、(6)求得的最優(yōu)解，然后驗(yàn)證是否滿足庫(kù)存容量的限制。若滿足，則此時(shí)得到最優(yōu)生產(chǎn)策略;若未滿足，則利用公式(8)、(9)、(10)可求得最優(yōu)生產(chǎn)策略。

4 算例分析

表1 基礎(chǔ)數(shù)據(jù)

根據(jù)以上數(shù)據(jù)確定最優(yōu)生產(chǎn)策略。若不考慮庫(kù)存容量限制，根據(jù)公式(4)、(5)、(6)，得到庫(kù)存容量無(wú)約束下的最優(yōu)生產(chǎn)策略如表2所示。

表2 庫(kù)存容量無(wú)約束條件下的最優(yōu)策略

在此例中，假設(shè)庫(kù)存容量A為2000;單位產(chǎn)品所占用的庫(kù)存空間ai為1。算例轉(zhuǎn)換為庫(kù)存容量限制下的最優(yōu)策略問(wèn)題，則根據(jù)公式(8)、(9)、(10)，得到庫(kù)存容量有約束情況下的最優(yōu)生產(chǎn)策略如表3所示。

表3 庫(kù)存容量有約束條件下的最優(yōu)策略

文獻(xiàn)［9］對(duì)多產(chǎn)品生產(chǎn)批量確定的問(wèn)題進(jìn)行了研究，其假設(shè)產(chǎn)品缺陷率以及返工再生產(chǎn)后的廢品率符合相應(yīng)的概率分布，但是產(chǎn)品的歷史數(shù)據(jù)不易獲得，且概率分布函數(shù)不易確定。本文采用了模糊數(shù)來(lái)描述缺陷率以及返工再生產(chǎn)的廢品率。此外，本文彌補(bǔ)了文獻(xiàn)［9］沒(méi)有考慮庫(kù)存容量限制下如何確定最優(yōu)生產(chǎn)策略的問(wèn)題。

5 結(jié)論

本文針對(duì)實(shí)際生產(chǎn)庫(kù)存管理的問(wèn)題進(jìn)行了研究，擴(kuò)展了多產(chǎn)品庫(kù)存管理模型，將庫(kù)存容量有約束的這一條件考慮到模型的構(gòu)建過(guò)程中。研究了模糊環(huán)境下，庫(kù)存容量有限，允許缺貨，存在缺陷品并可部分修復(fù)的多產(chǎn)品生產(chǎn)庫(kù)存模型。利用符號(hào)距離法將模糊模型轉(zhuǎn)化為確定型模型，進(jìn)而得到了最優(yōu)生產(chǎn)策略。最后利用算例驗(yàn)證了庫(kù)存容量無(wú)約束和有約束情況下最優(yōu)生產(chǎn)策略的確定問(wèn)題。

［1］Rosenblatt M J，Lee H L.Economic production cycles with imperfect production process［J］.IEE Transaction，1986，18(1)：48－55.

［2］Kacpryzk J，Staniewski P.Long－term inventory policymaking through fuzzy decision － making models［J］.Fuzzy set and Systems，1982，8：117 －132.

［3］Tsujimura G M，Zheng Y D.An application of fuzzy sets theory to inventory control model［J］.Computer＆ Industrial Engineering，1997，33(3/4)：553 －556.

［4］CHANG H C.An application of fuzzy sets theory to the EOQ model with imperfect quality items［J］.Computer＆ Operation Research，2004，31(12)：2079 －2092.

［5］Chen S H，Chang S M.Optimization of fuzzy production inventory model with unrepeatable defectives products［J］.International Journal of Production Economics，2008，113：887－894.

［6］周威，金以慧.具有模糊缺陷率和訂貨費(fèi)用的庫(kù)存管理研究［J］.計(jì)算機(jī)集成制造系統(tǒng)，2006，12(5)：765－771.

［7］郭彩云，胡勁松，王磊.模糊環(huán)境下含缺陷率且允許缺貨的 EPQ模型［J］.計(jì)算機(jī)集成制造系統(tǒng)，2008，14(11)：216122166.

［8］張群，李群霞.考慮缺陷率和缺貨的模糊庫(kù)存模型研究［J］.系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2008，28(11)：62－68.

［9］Ata Allah Taleizadeh，Hui-Ming Wee.Economic production quantity model with repair failure and limited capacity［J］.Applied Mathematical Modelling，2012，37(5)：2765 －2774.

［10］王磊，胡勁松.模糊庫(kù)存容量約束的多產(chǎn)品庫(kù)存策略研究［J］.物流技術(shù)，2007，26(12)：50－52.

［11］高陽(yáng)，羅根.不確定環(huán)境下虛擬企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃多目標(biāo)優(yōu)化模型研究［J］.組合機(jī)床與自動(dòng)化加工技術(shù)，2009(1)：97－101.