白定勇，左敏賢

(廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院∥數(shù)學(xué)與交叉科學(xué)廣東普通高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 (廣州大學(xué))，廣東廣州 510006)

考慮如下邊值問題

其中，λ是個正參數(shù)。記R=(－∞，∞)，R+=［0，∞)。我們假設(shè):

(A1)φ:R→R是單調(diào)遞增的奇同胚映射，且存在從(0，∞)到(0，∞)上的單調(diào)遞增同胚映射ψ1和ψ2，使得ψ1(x)φ(y)≤φ(xy)≤ψ2(x)φ(y)，x，y＞0;

(A2)F:(0，1)×R+→R+連續(xù)，且存在函數(shù)f∈C(R+，R+)及 α1，α2∈C((0，1);R+)，使得

其中，α1，α2滿足:

函數(shù) φ(u′)包含兩種重要情形:φ(u′)=u′和φ(u′)=|u′|p－2u′，p＞1 。當(dāng) φ(u′)=u′時，問題(1)是如下熟知的二階常微分方程邊值問題:

關(guān)于問題 (2)正解的存在性和多解性研究已有大量文獻(xiàn)，參見文 ［1 －5］。若 φ(u′)=|u′|p－2u′，p＞1，記為 φp(u′)，則問題 (1)是一維p-Laplace邊值問題:

近年來，一維p-Laplace邊值問題 (3)的正解得到人們的廣泛關(guān)注，對其研究也日益深入。Agarwal等［6］討論了問題 (3)特征值集合的結(jié)構(gòu)及正解的存在性與多解性，得到了豐富而有意義的結(jié)果。此外，還可參見文［7－14］及其參考文獻(xiàn)對一維p-Laplace含參邊值問題的研究。但是，對于廣義p-Laplace邊值問題的研究相對較少［15－19］。Wang［15］利用錐上的不動點(diǎn)指數(shù)定理研究了廣義p-Laplace問題 (1)正解及多個正解的存在性，給出了參數(shù) λ 的顯式開區(qū)間，其中F(t，u)=a(t)f(u)，a∈C(［0，1］;R+)，f∈ C(R+;R+)。文［15］對多個正解的研究中，其基本假設(shè)條件是非線性項(xiàng)f在右正半軸u＞0上恒正，即f(u)＞0對?u＞0成立。在文 ［16］中，Bai和Xu討論了含時滯的多參數(shù)廣義p-Laplace問題，在多解性研究中同樣要求非線性項(xiàng)在右正半軸上恒正。另外，O'Regan等［7］對一維p-Laplace含參系統(tǒng)多個徑向正解的研究中，其基本條件亦是如此。本文受文［6－7，15－16］的啟發(fā)，研究參數(shù)λ的特征區(qū)間，討論問題 (1)正解的存在性與多解性。本文的主要結(jié)果不僅推廣了一維p-Laplace的情形，而且多解性結(jié)果改進(jìn)了文 ［7，15－16］要求非線性項(xiàng)在右正半軸恒正的基本假設(shè)條件，允許非線性項(xiàng)在右正半軸的某些子集上恒為零。

1 準(zhǔn)備工作

易證，q(t)是[δ，1－δ]上的正值連續(xù)函數(shù)。我們記L=min{q(t):t∈[δ，1－δ]}。

引理1［15］假設(shè)條件 (A1)成立，則對所有的x，y＞0 ，有

利用凹函數(shù)的性質(zhì)容易證明下面的引理，亦可參見文 ［16］。

K={y∈X:y是［0，1］上的非負(fù)凹函數(shù)}定義算子Tλ:K→X

其中，σ∈(0，1)是方程Γu(t)=0，0≤t≤1的解。這里，映射Γ:K→C［0，1］定義為

由文 ［15］的討論知算子Tλ有定義。顯然

在 (0，1)上 連 續(xù) 非 增，(Tλu)/(σ)=0，且(φ((Tλu)/(t)))/=－λF(t，u(t))，t∈ (0，1)。所以Tλ(K)?K，且Tλ在K中的正不動點(diǎn)就是問題(1)的正解。另外，易證Tλ:K→K緊連續(xù)。

本文的主要工具是如下不動點(diǎn)定理［20］。

引理3［20］令X是Banach空間，K?X為X中的一個錐，Ω1，Ω2是X中的開子集，且0∈Ω1，?Ω2。算子T:K∩Ω1)→K是一個連續(xù)緊算子。若下列情形之一滿足:

(i)‖Tu‖≤‖u‖，u∈K∩?Ω1，且‖Tu‖≥‖u‖，u∈K∩?Ω2;

(ii)‖Tu‖ ≥ ‖u‖，u∈K∩ ?Ω1，且‖Tu‖≤‖u‖，u∈K∩?Ω2。

則T在K∩Ω1)中至少有一不動點(diǎn)。

2 正解的存在性與多解性

記

下面敘述本文的主要結(jié)果及其證明。首先我們討論問題 (1)至少一個正解的存在性。

其中

同樣有

從而 ‖Tλu‖ ≥L·(λ(f∞－ε))·δ‖u‖ ≥‖u‖。類似地 ，若σ＞1－δ，有

若σ＜δ，有

所以，對u∈K∩?ΩR，有‖Tλu‖≥‖u‖由引理3(i)，問題 (1)至少存在一個正解。

‖Τλu‖ ≥L·ψ－12(λ(f0－ε))·δ‖u‖ ≥ ‖u‖

由引理3(ii)，問題 (1)至少存在一個正解u。

推論1 設(shè)(A1)，(A2)和(A3)成立，若條件(i)f0=∞ ，f∞=0和 (ii)f0=0，f∞=∞ 之一滿足，則對任意λ＞0，問題 (1)都至少存在一個正解。

下面討論問題 (1)多個正解的存在性。為此，假設(shè)

為方便起見，我們再引入下列記號:

易證，在條件(A2)和(A4)下，0＜λ*≤∞，0≤λ＊＊＜∞ 。

另外，我們還需要如下兩個引理。

引理4 假設(shè)(A1)，(A2)和(A3)成立。如果存在常數(shù)R＞r＞0，使得

則問題 (1)存在正解u∈K，且滿足r≤‖u‖≤R。

另一方面，令ΩR={u∈X:‖u‖＜R}。則對u∈K∩?ΩR，利用引理2，有R≥u(t)≥δ‖u‖=δR，t∈［δ，1－δ］。由于Tλu(σ)是Tλu(t)在［0，1］上的最大值，利用引理1，若 σ∈［δ，1－δ］，則

則問題 (1)存在正解u∈K，且滿足r≤‖u‖≤R。

證明 首先，易證我們的假設(shè)條件是相容的。另外，類似于引理4的證明，利用引理3(ii)，問題 (1)至少存在一個正解u，且滿足r≤‖u‖≤R。

定理3 設(shè) (A1)，(A2)，(A3)和 (A4)成立，且f0=∞，f∞=∞ 。則對λ∈(0，λ*)，問題(1)至少存在兩個正解。

定理4 設(shè) (A1)，(A2)，(A3)和(A4)成立，且f0=0，f∞=0。則對 λ ∈ (λ＊＊，∞)，問題(1)至少存在兩個正解。

推論4 設(shè)(A1)－(A3)及(A4)成立，且f0=∞ 或f∞=∞ 。則對λ∈(0，λ*)，問題 (1)至少存在一個正解。

推論5 設(shè)(A1)－(A3)及(A4)成立，且f0=0或f∞=0。則對λ∈(λ＊＊，∞)，問題 (1)至少存在一個正解。

3 例子

設(shè)a＞0，b＞0.我們考察下面的函數(shù)

容易驗(yàn)證f0=∞，f∞=∞ 。由定理3，存在λ*＞0，當(dāng)λ∈(0，λ*)時，問題 (1)至少存在兩個正解。文 ［7，15－16］要求非線性項(xiàng)f(u)＞0對所有的u＞0成立。而我們給出的條件 (A4)允許非線性項(xiàng)在某段區(qū)間上恒為零，如上面所給函數(shù)f(u)在區(qū)間 ［10a，100a］上恒為零。所以本文的多解性條件推廣了文 ［7，15－16］中的基本條件，從而使適用的函數(shù)更為廣泛。

［1］HA K S，LEE Y.Existence of multiple positive solutions of singular boundary value problem ［J］.Nonl Anal，1997，28(8):1429－1438.

［2］FINK A M，GATICA J A，HERNANDEZ G E.Eigenvalues of generalized Gelfand models ［J］.Nonl Anal，1993，20(12):1453－1468.

［3］WANG H.On the existence of positive solutions for semilinear elliptic equations in annulus［J］.J Differ Equ，1994，109:1－7.

［4］ERBE L H，WANG H.On the existence of positive solutions of ordinary differential equations［J］.Proc Amer Math Soc，1994，120:743－748.

［5］HENDERSON J，WANG H.Positive solutions for nonlinear eigenvalue problems［J］.J Math Anal Appl，1997，208:252－259.

［6］AGARWALR R，LU H，O'REGAN D.Eigenvalues and the one-dimensionalp-Laplacian［J］.J Math Anal Appl，2002，266:383 －400.

［7］O'REGAN D，WANG H.On the number of positive solutions of elliptic systems［J］.Math Nachr，2007，280(12):1417－1430.

［8］MANASEVICH R，MAWHIN J.The spectrum ofp-Laplacian systems with various boundary conditions and applications［J］.Adv Differ Equ，2000，5:1289 －1318.

［9］FILIPPAKIS M E，PAPAGEORGIOU N S.Existence of multiple positive solutions for nonlinear eigenvalue problems with thep-Laplacian and nonsmooth potential［J］.J Nonl Funct Anal Differ Equ，2007，1:17－32.

［10］HAI D D.Positive solutions for a class of singular semipositonep-Laplacian problems［J］.Differ Integ Equ，2007，20:51－62.

［11］ALI J，SHIVAJI R.Positive solutions for a class ofp-Laplacian systems with multiple parameters［J］.J Math Anal Appl，2007，335:1013 －1019.

［12］KAJIKIYA R，LEE Y，SIM INBO.Bifurcation of signchanging solutions for one-dimensionalp-Laplacian with a strong singular weighp-sublinear at∞ ［J］.Nonl A-nal，2009，71:1235 －1249.

［13］KIM C.The three-solutions theorem forp-Laplacian boundary value problems［J］.Nonl Anal，2012，75:924－931.

［14］KIM C，WARDB J R.Nonresonance for a one-dimensionalp-Laplacian with strong singularity［J］.Appl Math Lett，2011，24:1400 －1404.

［15］WANG H.On the number of positive solutions of nonlinear systems［J］.J Math Anal Appl，2003，281:287 －306.

［16］BAI D，XU Y.Positive solutions and eigenvalue regions of two-delay singular systems with a twin parameter［J］.Nonl Anal，2007，66:2547 －2564.

［17］LEE E，LEE Y.A multiplicity result for generalized Laplacian systems with multiparameters［J］.Nonl Anal，2009，71:366－376.

［18］HERDERSON J，WANG H.Nonlinear eigenvalue problems for quasilinear systems［J］.Comput Math Appl，2005，49:1941－1949.

［19］HERDERSON J，WANG H.An eigenvalue problem for quasilinear systems［J］.Rocky Mountain J Math，2007，37:215－228.

［20］Guo D，LAKSHMIKANTHAM V.Nonlinear problems in abstract cones［M］.Orlando:Academic Press，1988.