高康華，王明洋，宋春明

(解放軍理工大學(xué) 國(guó)防工程學(xué)院，南京 210007)

雙層圓形柱殼是常用的工程結(jié)構(gòu)之一，如工業(yè)中含防護(hù)層的輸運(yùn)管道、城市地鐵和水底隧道等。此類結(jié)構(gòu)往往軸向長(zhǎng)度較大，徑向材料差異、殼體厚度以及層間接觸方式等均會(huì)影響結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，為此可通過(guò)研究結(jié)構(gòu)中彈性波傳播特性分析其動(dòng)力響應(yīng)，重點(diǎn)主要在于波頻散關(guān)系的確定和波結(jié)構(gòu)分析兩個(gè)方面，當(dāng)前國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)多層介質(zhì)中彈性波傳播作了大量研究，通常方法是根據(jù)邊界和層間接觸條件構(gòu)建波頻散特征方程，數(shù)值求解后得到頻散曲線，進(jìn)而確定各階模態(tài)相應(yīng)的位移和應(yīng)力的波結(jié)構(gòu)。如Lowe［1］詳細(xì)介紹了構(gòu)建頻散方程的傳遞矩陣法和全局矩陣法，并給出求解復(fù)雜頻散方程的數(shù)值解法;Ryden等［2－4］在此基礎(chǔ)上分別推導(dǎo)了多層板和多層柱殼中縱波傳播頻散方程，研究了三層道路結(jié)構(gòu)和覆蓋粘彈性材料層的彈性中空柱殼結(jié)構(gòu)中導(dǎo)波的傳播特性，但主要針對(duì)的是層間固結(jié)接觸條件［5］，即內(nèi)外殼體接觸面上應(yīng)力位移均保持連續(xù)。對(duì)于層間光滑接觸［6］，即接觸面法向應(yīng)力、位移連續(xù)，切向應(yīng)力為零，Valle等［7］研究了該條件下中空柱殼內(nèi)部包裹實(shí)心圓桿結(jié)構(gòu)的周向?qū)Р?張慧玲等［8］對(duì)層間光滑接觸時(shí)雙層復(fù)合筒結(jié)構(gòu)中周向?qū)Рǖ膫鞑ミM(jìn)行了理論和數(shù)值研究，二者均采用了二維線彈性平面應(yīng)變理論，未考慮波的軸向傳播。對(duì)于層狀介質(zhì)中較復(fù)雜的層間接觸，Rokhlin等［9］采用薄粘彈性層分隔兩個(gè)不同固體半無(wú)限空間的力學(xué)模型，分析了粘彈性接觸面層對(duì)波傳播特性的影響;張慧玲等［10］在該模型基礎(chǔ)上建立了層筒結(jié)構(gòu)的層間界面模型，進(jìn)而研究層間界面特性對(duì)周向?qū)Рǖ挠绊?。此外，他得安等?1］對(duì)超聲縱向?qū)Рㄔ趶?fù)合管狀結(jié)構(gòu)中傳播特性進(jìn)行分析，侯秀慧等［12］研究了正交各向異性?shī)A層圓柱殼中軸對(duì)稱自由簡(jiǎn)諧波的傳播問(wèn)題，得到各種夾層結(jié)構(gòu)波傳播的頻散關(guān)系。

本文將在上述文獻(xiàn)基礎(chǔ)上，針對(duì)具有較薄彈性接觸層的雙層中空柱殼結(jié)構(gòu)提出確定頻散關(guān)系的簡(jiǎn)化方法，并分析接觸層特性對(duì)軸對(duì)稱縱向?qū)Рl散關(guān)系及殼體內(nèi)應(yīng)力和位移的影響，為此類結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)分析提供理論參考。

圖1 具有薄彈性接觸層的雙層柱殼模型簡(jiǎn)圖Fig.1 Calculation diagram of double layered cylinder with a thin elastic contact layer

1 基本理論

圖1給出了具有較薄彈性接觸層的雙層中空柱殼結(jié)構(gòu)模型，材料均視為各向同性彈性介質(zhì)，此類結(jié)構(gòu)實(shí)際上是層間固結(jié)接觸的三層柱殼，但當(dāng)接觸層厚度h0遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于波長(zhǎng)λ0時(shí)，可忽略接觸層介質(zhì)慣性運(yùn)動(dòng)，引入彈性層接觸界面條件簡(jiǎn)化頻散方程。圖中a為柱殼內(nèi)半徑，d為外半徑，b為中心距外殼內(nèi)壁距離，h0、h1、h2分別為接觸層、內(nèi)殼和外殼的厚度。

忽略體力，柱坐標(biāo)系(r，θ，x)下 Navier運(yùn)動(dòng)方程為:

式中:u 為關(guān)于 ur，uθ，ux的柱殼位移矢量，ur，uθ，ux為r，θ，x方向上的位移;ρ為材料密度;λ，μ為拉梅常數(shù);t為時(shí)間變量;?和?2分別為那勃勒算子和拉普拉斯算子。

利用Helmholtz定理有:式中:φ 為位移場(chǎng)標(biāo)量勢(shì)函數(shù)，ψ 為關(guān)于 ψr，ψθ，ψx的位移場(chǎng)矢量勢(shì)函數(shù)，ψr，ψθ，ψx為 r，θ，x 方向上分量。

為方便計(jì)算，引入標(biāo)量勢(shì)函數(shù)χ，Φ，使得:

將式(2)、(3)代人式(1)可得:

式中:cp=，分別為膨脹波速和等容波速。

軸對(duì)稱條件下 uθ≡0，?/?θ≡0，殼體位移及應(yīng)力可視為僅關(guān)于勢(shì)函數(shù)φ、Φ的函數(shù)，有:

式中:σrr為徑向應(yīng)力，σrx為軸向應(yīng)力。

軸對(duì)稱條件下，式(4)前兩項(xiàng)可化為:

假設(shè)縱波沿x正向傳播，方程組(6)解設(shè)為:

式中:k為波數(shù)，角頻率ω=kcf，cf為相速度，i表示虛部單位。

將式(7)代入式(6)可得到 φ0(k，r)、Φ0(k，r)的關(guān)于貝塞耳函數(shù)表達(dá)式，具體可按文獻(xiàn)［13］選取，在此主要考慮第一模態(tài)中cf＜min(cs，cp)的情況，故選用虛宗量貝塞爾函數(shù)，并對(duì)相關(guān)參數(shù)無(wú)量綱化，令Mp=cf/cp，

式中:A，B，C，D 為系數(shù);I0，K0為零階第一類和第二類虛宗量貝塞爾函數(shù)。

將式(8)代入式(5)可得柱殼關(guān)于無(wú)量綱量r—，的位移、應(yīng)力表達(dá)式如下:

式中:I1，K1為一階第一類和第二類虛宗量貝塞爾函數(shù)。

雙層圓形柱殼各內(nèi)外層殼體位移、應(yīng)力均可用式(9)確定。為方便研究，令0=h0/λ0，xs=h1/h2，xs1=h0/h2，γ1= μ0/μ21=h1/d2=h2/d=cs/cp，則 ε1=1－(1+xs+xs1)2，ε2=1 －2。計(jì)算時(shí)各層無(wú)量綱波速有以下關(guān)系:

式中:γ = μ2/μ1，ρ*;下標(biāo)1、2表示柱殼內(nèi)、外層。

系數(shù) Ai，Bi，Ci，Di(i=1，2)可根據(jù)層間接觸條件及邊界條件確定。對(duì)具有彈性接觸層的雙層柱殼，在內(nèi)外自由邊界條件下有:

式(11c)即為忽略接觸層慣性運(yùn)動(dòng)后引入的彈性層接觸界面條件，其中 Kn=E0/h0，Kτ= μ0/h0，E0、μ0為夾層的彈性模量和剪切模量，Kn、Kτ為夾層單位層厚的法向和切向剛度。當(dāng)Kn→∞和Kτ→∞時(shí)，式(11c)即轉(zhuǎn)化為固結(jié)連接邊界條件［10］:

將式(9)代入式(11)中可得到雙層柱殼關(guān)于參數(shù)Ai，Bi，Ci，Di(i=1，2)的線性齊次方程組，寫(xiě)成矩陣形式如下:

式中:X=［A1，B1，C1，D1，A2，B2，C2，D2］，A 為系數(shù)矩陣，其中的元素aij(i=1…8;j=1…8)見(jiàn)附錄。

式(12)有非零解的條件是矩陣A行列式等于0，即:

式(13)即為軸對(duì)稱縱波在具有較薄彈性接觸層的雙層柱殼中傳播的頻散方程，可將其視為關(guān)于無(wú)量綱波數(shù)η和相速度Ms1的超越方程，此類方程求解方法很多［1，13－14］，常用方法是先固定未知參數(shù) η 或 Ms1的值，再在確定的范圍內(nèi)按一定步長(zhǎng)對(duì)Ms1或η進(jìn)行逐步搜根，從而得到方程的數(shù)值解，并繪制出相應(yīng)的頻散曲線。由于此處不涉及到波的衰減和泄漏，可采用二分法求解這一實(shí)頻散方程，即滿足計(jì)算穩(wěn)定性又可避免方程根的遺漏［1］。根據(jù)得到的頻散曲線，可將給定波數(shù) η 相應(yīng)的(η，Ms1)代入式(12)，求得系數(shù) Ai，Bi，Ci，Di(i=1，2)，并根據(jù)式(9)計(jì)算殼體內(nèi)位移和應(yīng)力。

2 算例分析

文獻(xiàn)［13］給出了單層鎳鉻鐵合金管的軸對(duì)稱縱向?qū)Рㄏ嗨俣阮l散曲線，計(jì)算參數(shù)為:a=8.23 mm，d=9.45 mm，壁厚 d'=1.22 mm，ρ=8.4 g/cm3，cp=6.29 km/s，cs=3.23 km/s。用本文方法計(jì)算時(shí)可認(rèn)為內(nèi)外層殼體和接觸層材料一致，計(jì)算參數(shù)取為:ρ1=ρ2=8.4 g/cm3，h1=0.8 mm，h2=0.32 mm，h0=0.1 mm，cp1=cp2=6.29 km/s，cs1=cs2=3.23 km/s。圖 2 為本文方法計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)中曲線的對(duì)比圖，圖中f為頻率。

圖2 單層鎳鉻鐵合金管的相速度頻散曲線Fig 2 Phase velocity dispersion curves of a single layer nickel-chromium alloy pipe

圖2中顯示本文方法的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)［13］中計(jì)算曲線較為吻合，表明h0?λ0時(shí)本文方法的正確性。應(yīng)當(dāng)注意的是，彈性波是擾動(dòng)借助連續(xù)介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)慣性運(yùn)動(dòng)形成的附加彈性力而逐漸傳播的過(guò)程，本文忽略接觸層介質(zhì)慣性運(yùn)動(dòng)而引入彈性層界面接觸條件，實(shí)際上是忽略了接觸層介質(zhì)的動(dòng)力響應(yīng)，這在h0?λ0時(shí)是能夠滿足工程需要的，但在h0增大或波長(zhǎng)減小時(shí)，會(huì)給計(jì)算結(jié)果帶來(lái)一定偏差，下面通過(guò)算例進(jìn)行分析。

選取內(nèi)外層殼體材料為鈦，接觸層為銅的雙層柱殼，計(jì)算參數(shù):接觸層泊松比 ν0=0.333，γ1=0.874，γ=1，ρ*=1，ρ1= ρ2=4.46 g/cm3，cp1=cp2=6.06 km/s，cs1=cs2=3.23 km/s。用式(9)～式(13)計(jì)算縱向 L(0，1)模態(tài)相速度頻散曲線，并將得到的結(jié)果與DISPERSE軟件［13］計(jì)算生成的頻散曲線進(jìn)行對(duì)比，如圖3所示。

圖3 雙層柱殼縱向L(0，1)模態(tài)相速度頻散曲線Fig 3 Phase velocity dispersion curves of double layered cylinder for longitudinal L(0，1)mode

圖3給出了接觸層厚度不同時(shí)縱向L(0，1)模態(tài)相速度頻散曲線，其中運(yùn)用DISPERSE軟件計(jì)算時(shí)，考慮了夾層的慣性運(yùn)動(dòng)，將結(jié)構(gòu)視為鈦—銅—鈦三層彈性中空柱殼結(jié)構(gòu)。圖中曲線表明，當(dāng)波數(shù)較大時(shí)，波長(zhǎng)較短，用本文方法的計(jì)算結(jié)果與DISPERSE生成的頻散曲線有偏差，接觸層厚度越小，偏差越小;隨著波數(shù)的減小，波長(zhǎng)增大，兩種計(jì)算曲線逐漸一致，說(shuō)明此時(shí)忽略接觸層慣性運(yùn)動(dòng)對(duì)頻散曲線影響不大。表1列出了不同層厚情況下，兩種方法計(jì)算得到的相速度相對(duì)差值Δcf在較小范圍內(nèi)的h0臨界值，計(jì)算參數(shù)如前所示。

表1 Δcf在較小范圍時(shí)h0的臨界值Tab.1 The maximum value of h0under the smaller range of Δcf

表1中 Δcf= cf1－cf2/cf2，其中 cf1和 cf2分別為在給定波數(shù)時(shí)用本文方法和DISPERSE軟件計(jì)算得到相速度值，0l為給定差值范圍時(shí)0的最大值。表1顯示此例中Δcf較小時(shí)，h0至少要比波長(zhǎng)λ0小兩個(gè)量級(jí)，且相對(duì)差值越小，0l也越小，從而驗(yàn)證了本文方法在h0?λ0時(shí)的合理性。

下面通過(guò)算例說(shuō)明接觸層特性對(duì)雙層柱殼結(jié)構(gòu)內(nèi)縱波傳播的影響，主要考慮縱波L(0，1)模態(tài)。初始條件為:ν0=0.28，x3=10，xs1=0.1，2=0.004，γ1=0.001，γ =100，ρ*=100，1=2=0.553，ε1=0.9556，ε2=0.995 8。圖4給出了彈性層接觸和固結(jié)接觸兩種界面條件下雙層柱殼縱向L(0，1)模態(tài)頻散曲線，固結(jié)接觸時(shí)不考慮夾層，按接觸界面應(yīng)力、位移連續(xù)采用全局矩陣法［1－4］計(jì)算。

圖4 彈性層接觸與固結(jié)接觸時(shí)L(0，1)模態(tài)頻散曲線對(duì)比Fig 4 Comparisons of L(0，1)mode disperse curves between results calculated under elastic contact layer interface condition and continuous contact interface condition

圖4中當(dāng)η≤15時(shí)兩種接觸界面情況下的頻散曲線較為一致，表明波數(shù)較小時(shí)彈性接觸層對(duì)頻散關(guān)系影響不大;隨著波數(shù)的增大，η＞15時(shí)，兩種界面條件下的頻散曲線逐漸產(chǎn)生差異，且?jiàn)A層厚度越大差異越大，說(shuō)明對(duì)于短波長(zhǎng)而言接觸層特性影響不可忽略。此外，圖4還表明相同條件下泊松比對(duì)縱波L(0，1)模態(tài)的頻散關(guān)系影響不大。

圖5給出了波長(zhǎng)較短的η=40時(shí)具有彈性層接觸的雙層柱殼內(nèi)應(yīng)力、位移分布，并與層間固結(jié)接觸進(jìn)行了對(duì)比。圖中無(wú)量綱量，其中上標(biāo)“0”表示根據(jù)初始條件計(jì)算所得參數(shù)值，下標(biāo)“max”表示相應(yīng)參數(shù)的最大值。

圖5 殼體內(nèi)應(yīng)力和位移分布Fig 5.Distribution of stress and displacement along cylinder shell thickness

圖5顯示雙層柱殼含有彈性層接觸界面時(shí)，徑向應(yīng)力σrr由內(nèi)殼內(nèi)壁沿徑向增大至接觸面處達(dá)到峰值，而后逐漸減小，軸向應(yīng)力σrx在接觸面處增長(zhǎng)速率增大，峰值位于外層殼體，徑向位移ur在內(nèi)層殼體中隨著半徑增大而增大，但在外層殼體中變化不大。此外，與層間固結(jié)接觸相比，接觸層的彈性特性使得位移ur、ux在接觸面處產(chǎn)生突變，隨著γ1的增大或xs1的減小，內(nèi)外層殼體在接觸面處的位移差異逐漸減小，相應(yīng)的應(yīng)力、位移幅值也逐漸減小，表明夾層剛度Kn、Kτ的增大使得殼體內(nèi)應(yīng)力位移減小。此外，文獻(xiàn)［10］指出當(dāng) Kn→∞和Kτ→∞時(shí)，彈性層接觸條件即轉(zhuǎn)化為固結(jié)連接邊界條件，在本例中相同厚度條件下γ1增大至0.005時(shí)，兩種接觸條件求得的應(yīng)力、位移值較好的趨于一致(圖中曲線3和曲線5)也表明了這一點(diǎn)。

3 結(jié)論

本文研究了軸對(duì)稱縱向?qū)Рㄔ诰哂休^薄接觸層的雙層中空柱殼中傳播頻散特性，并通過(guò)算例分析了接觸層參數(shù)對(duì)縱向L(0，1)模態(tài)下殼體內(nèi)應(yīng)力、位移分布的影響。結(jié)論如下:

(2)與層間固結(jié)接觸條件相比，彈性接觸層特性對(duì)縱波頻散關(guān)系及殼體內(nèi)應(yīng)力位移的影響在波數(shù)η較大時(shí)較為顯著，殼體內(nèi)應(yīng)力位移隨著接觸層厚度的減小和單位剛度Kn、Kτ的增大而減小，而受接觸層泊松比影響較小。

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附錄:系數(shù)矩陣A中元素aij取值如下: