費(fèi)為銀，何丹丹，朱永王，蘇 凱

（安徽工程大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 蕪湖 241000）

考慮紅利和退休的最優(yōu)消費(fèi)－投資和遺產(chǎn)問題

費(fèi)為銀，何丹丹，朱永王，蘇 凱

（安徽工程大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 蕪湖 241000）

在股票支付紅利的情況下，考慮投資者遺產(chǎn)并結(jié)合保險(xiǎn)，研究3種不同的借貸約束下的消費(fèi)與投資問題.首先，借助隨機(jī)微分方程求解投資者最優(yōu)消費(fèi)和投資策略的顯式表達(dá)式，其次，結(jié)合數(shù)值分析，說明3種約束情形下投資占總財(cái)富比率以及消費(fèi)占總財(cái)富比率對于財(cái)富的變化趨勢，最后，研究了股票是否支付紅利對投資比率以及消費(fèi)比率的影響.

紅利；最優(yōu)投資策略；自由選擇退休；隨機(jī)微分方程；遺產(chǎn)

個(gè)人退休的靈活性以及是否能夠?qū)ξ磥韯趧?dòng)收入進(jìn)行借貸顯著影響投資者的最優(yōu)消費(fèi)以及投資組合策略.文獻(xiàn)［1］研究了當(dāng)經(jīng)濟(jì)代理人存在彈性勞動(dòng)供給時(shí)的最優(yōu)消費(fèi)投資問題，第一次將勞動(dòng)閑暇決策加入跨期消費(fèi)－投資組合選擇模型當(dāng)中，表明了人力資本對最優(yōu)策略有顯著的影響.文獻(xiàn)［2］研究了偏好改變情況下的最優(yōu)投資消費(fèi)和退休決策問題，經(jīng)濟(jì)代理人能夠決定酌情停止來作為退休時(shí)間，允許代理人的偏好在退休前和退休后能夠改變.文獻(xiàn)［3］研究了在時(shí)間可變的投資機(jī)會(huì)集下的完備金融市場中，個(gè)人投資者的動(dòng)態(tài)消費(fèi)和投資組合選擇.文獻(xiàn)［4］研究表明考慮了退休彈性以及能否對未來勞動(dòng)收入進(jìn)行借貸顯著地影響最優(yōu)消費(fèi)－投資策略.

文獻(xiàn)［5］研究了在帶有習(xí)慣形成、隨機(jī)機(jī)會(huì)集、隨機(jī)工資和勞動(dòng)供給彈性的生命周期模型下的消費(fèi)－投資和閑暇選擇問題，給出了投資者最優(yōu)消費(fèi)－投資與閑暇選擇策略的顯式表達(dá)式.文獻(xiàn)［6］在Markowitz投資組合策略的框架下，用CVaR代替方差作為風(fēng)險(xiǎn)測度，用幾何布朗運(yùn)動(dòng)來刻畫股票價(jià)格過程，得出均值CVaR模型下的動(dòng)態(tài)最優(yōu)策略和有效前沿邊界.文獻(xiàn)［7］研究了在考慮股票派發(fā)紅利的情形下，經(jīng)濟(jì)代理人通過不可逆退休時(shí)間選擇來調(diào)整勞動(dòng)時(shí)間框架下最優(yōu)消費(fèi)和投資問題.文獻(xiàn)［8］考慮了股票支付紅利的隨機(jī)動(dòng)力學(xué)模型.本文在文獻(xiàn)［4］的基礎(chǔ)上考慮了股票支付紅利的情況下，擴(kuò)展原有模型，得出了在3種約束情形下，考慮保險(xiǎn)、紅利和退休的消費(fèi)和投資模型.

1 問題的描述

本文試圖建立一個(gè)模型，用來分析各種關(guān)于消費(fèi)、投資、退休以及保險(xiǎn)的問題.選擇問題時(shí)做了許多在連續(xù)時(shí)間金融模型中常見的假設(shè)，例如不變的無風(fēng)險(xiǎn)利率、對數(shù)正態(tài)的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)回報(bào)等，其他假設(shè)看起來似乎并不標(biāo)準(zhǔn)，但是它們對于消費(fèi)和投資的研究卻十分的適合.本文也提供了一些假設(shè)，如股票市場投資帶有紅利分配、死亡率、遺產(chǎn)，此外，投資者在退休之前的勞動(dòng)收入是帶有潛在的隨機(jī)工資率的，以及投資者可以購買保險(xiǎn)，并且獲得生命年金等.本文所有的模型考慮的退休是不可逆的，即退休人員退休后不能再從事兼職或者全職工作.

本文主要分析以下3種情形：

（Ⅰ）固定退休期，可以對未來勞動(dòng)收入進(jìn)行借貸；

（Ⅱ）投資者自由選擇退休期，并且可以對未來勞動(dòng)收入進(jìn)行借貸；

（Ⅲ）投資者自由選擇退休期，但是不可以對未來勞動(dòng)收入進(jìn)行借貸.

問題 Ⅰ：給定初始財(cái)富W0，初始勞動(dòng)收入y0，給定退休期為T，與退休相關(guān)聯(lián)的示性函數(shù)Rt＝1（T≤t），選擇適應(yīng)的非負(fù)消費(fèi)｛ct｝，適應(yīng)的投資組合｛θt｝（表示投資在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)中的投資額），以及適應(yīng)的非負(fù)遺產(chǎn)｛Bt｝，來最大化生命周期消費(fèi)與遺產(chǎn)的期望效用

服從于預(yù)算約束

其中：τd為Poisson到達(dá)時(shí)間；ρ為主觀的時(shí)間折現(xiàn)率；δ表示Poisson死亡到達(dá)率；K和k為消費(fèi)Ct和遺產(chǎn)Bt的比例；γ為風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)；Ws為財(cái)富過程；θs為投資組合.

其中勞動(dòng)收入過程

借貸和償付約束為

其中：

表明投資者在退休期為固定退休期，并且可以對未來勞動(dòng)收入進(jìn)行借貸時(shí)，投資者的財(cái)富與未來勞動(dòng)收入的折現(xiàn)值之和需大于等于0.

問題 Ⅱ：給定初始財(cái)富W0，初始勞動(dòng)收入y0，初始退休狀態(tài)R0－，選擇適應(yīng)的非負(fù)消費(fèi)｛ct｝，適應(yīng)的投資組合｛θt｝，適應(yīng)的非負(fù)遺產(chǎn)｛Bt｝，適應(yīng)的非降退休示性函數(shù)｛Rt｝，為了最大化生命周期消費(fèi)投資期望效用（式（1）），且服從預(yù)算約束（式（2））和退休之前的勞動(dòng)收入過程（式（3）），借貸和償付約束Wt為

表明投資者可以自由選擇退休，并且能夠?qū)ξ磥韯趧?dòng)收入進(jìn)行借貸時(shí)，投資者的財(cái)富與未來勞動(dòng)收入的折現(xiàn)值之和需大于等于0.

問題 Ⅲ：條件同問題Ⅱ，但是借貸和償付約束Wt為

表明投資者可以自由選擇退休，但是投資者不能夠?qū)ξ磥韯趧?dòng)收入進(jìn)行借貸時(shí)，為了不使得投資者破產(chǎn)，那么投資者的財(cái)富必須大于0.

問題的模型采用標(biāo)準(zhǔn)的 Wiener過程Zt，以及用固定風(fēng)險(xiǎn)率δ來表示Poisson死亡到達(dá)率，其中Poisson到達(dá)時(shí)間表示為τd，并且是獨(dú)立于 Wiener過程Zt.投資者投資兩種資產(chǎn)，一種是無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，另一種是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)即股票.投資者不僅可以投資無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和股票市場，且可以購買保險(xiǎn)，模型中的保險(xiǎn)假定由死亡率δ來公平定價(jià)，當(dāng)W－B＜0，δ（B－W）表示每單位時(shí)間投資者需要支付的保費(fèi)，并且當(dāng)投資者死亡是能一次性獲得B－W的補(bǔ)償；當(dāng)W－B＞0，那么δ（B－W）表示一種生命年金的形式，即在投資者死亡之前，都會(huì)獲得一個(gè)現(xiàn)金流來保證生活.假定投資者擁有不變的風(fēng)險(xiǎn)厭惡，且期望效用函數(shù)（式（1））采用主觀的時(shí)間折現(xiàn)率ρ.常數(shù)K＞1表明對于不工作的偏好，意味著退休過后的邊際效用比退休之前的邊際效用要大.常數(shù)k＞0度量了投資者留下大筆遺產(chǎn)的偏好強(qiáng)度，當(dāng)k1－γ→0表明投資者對于留下遺產(chǎn)沒有偏好.

2 最優(yōu)策略的解析解

定理1 假定v＞0，無需借貸和償付約束在初始價(jià)值下滿足嚴(yán)格的不等式

對于問題Ⅰ的解中，最優(yōu)財(cái)富過程為

最優(yōu)消費(fèi)策略為

最優(yōu)投資策略為

最優(yōu)遺產(chǎn)策略為

其中

并且，問題的價(jià)值函數(shù)為

證明 給定式（8），等式（9）中W＊是有定義的，容易驗(yàn)證預(yù)算約束（式（2））對上述策略是成立的.

定義狀態(tài)價(jià)格密度

易知g（t）yt是未來勞動(dòng)收入在t時(shí)刻的價(jià)值.進(jìn)一步，未來消費(fèi)和遺產(chǎn)的現(xiàn)值不超過初始財(cái)富

不等式適用于任何可行的策略，在策略是最優(yōu)的情況下，不等式為等式.

結(jié)合死亡風(fēng)險(xiǎn)之后，對于任何可行的策略（c，θ，B）有不等式

式（16）中第一個(gè)不等式為代進(jìn)以及來進(jìn)行直接的驗(yàn)證，第二個(gè)不等式來自約束條件式（15）.在策略是最優(yōu)的情況下，不等式為等式.以上表明，本文提出的最優(yōu)策略優(yōu)于其他策略，之前表明，這個(gè)最優(yōu)策略是可行的，因此定理得證.

不同于問題Ⅰ，采用之前的變量，問題Ⅱ和問題Ⅲ并沒有顯式解，然而可以構(gòu)建邊際效用的情況下，提出另一種顯式解.定義

定理2 假定v＞0，β1＞0，β2＞0，無需借貸和償付約束在初始條件下有嚴(yán)格不等式

對于投資者問題Ⅱ，可以采用對偶變量xt來表示問題Ⅱ的解.對偶變量xt定義為

變量b，η以及η∧的定義見定理1，且

最優(yōu)退休邊界

其中：

最優(yōu)消費(fèi)策略為

最優(yōu)投資策略為

最優(yōu)遺產(chǎn)策略為

最優(yōu)退休策略為

相應(yīng)的退休財(cái)富門檻值為

最優(yōu)財(cái)富為

進(jìn)而，其值函數(shù)為

其中：x滿足－yφx（x，R）＝W.

定理3 假定v＞0，β1＞0，β2＞0，W0＞0.

投資者問題 Ⅲ的解與問題 Ⅱ的解是相似的，首先重新定義新的對偶變量xt

其中：x0滿足 －y0φx（x0，R0）＝W0，μx以及σx的定義見定理2，那么新的對偶價(jià)值函數(shù)為

金融財(cái)富為0的x值為

綜合上述對偶變量xt和對偶值函數(shù)后，其他的解的形式同定理2中式（25）～（31）.

定理2和3的證明與文獻(xiàn)［4］中定理2和3的證明類似，故略.

考慮到定理1～3的最優(yōu)策略，人力資本的市場價(jià)值在退休過后為0，在退休之前，定理1中，人力資本的市場價(jià)值為

H（yt，t）＝g（t）yt，其中yt以及g（t）如前所定義.定理2中人力資本的市場價(jià)值為

其中yt，β1，xt，α－以及α＋如前所定義.且

3 最優(yōu)策略的數(shù)值分析

為了更好地說明消費(fèi)與投資對財(cái)富的影響，進(jìn)行數(shù)值分析.本文設(shè)參數(shù)值為d＝1，μ＝0.05，σ＝0.22，r＝0.01，φ＝0.01，δ＝0.025，ρ＝0.01，γ＝3，K＝3，k＝0.05，μy＝0，σy＝0和y0＝1.

圖1所示為3種情況中的投資（θ）占總財(cái)富的比率，其中總財(cái)富為金融財(cái)富W與人力資本H之和.從圖1可以看出，如果未來所有的勞動(dòng)收入都被資本化，那么問題Ⅰ情形下投資者在固定退休期20年間，在股票市場上的投資額占總財(cái)富的比率是恒定不變的.問題Ⅱ情形下，由于可以自由選擇退休，導(dǎo)致了投資者投資在股票市場上的比例逐漸加大，這是由于投資者考慮可以自由退休，投資更多的資產(chǎn)到股票市場中以獲得更多的財(cái)富，以達(dá)到提前退休的目的.問題 Ⅲ情形下，由于不能夠?qū)ξ磥韯趧?dòng)收入進(jìn)行借貸的約束，降低了初始的財(cái)富量，當(dāng)財(cái)富水平在相對較低的水平下，投資在股票市場上的比率就要比問題Ⅱ的比率低得多，總體而言，問題Ⅲ情形下的投資比率要比問題Ⅱ情形下的投資比率要低.

圖2所示為3種情形中的消費(fèi)（C）占總財(cái)富的比率.從圖2可以看出，問題Ⅰ情形下，投資者固定退休期為20年，可以對未來勞動(dòng)收入進(jìn)行借貸時(shí)，消費(fèi)占總財(cái)富的比率是恒定的.問題Ⅱ情形下消費(fèi)占總財(cái)富的比率表明靈活的退休策略，導(dǎo)致了隨著財(cái)富逐步提高，消費(fèi)占總財(cái)富的比率也相應(yīng)地提高.這是由于財(cái)富量的增加，意味著提高了投資者對于即將退休，降低人力資本和退休后降低消費(fèi)的預(yù)期.且在退休過后，投資者每單位消費(fèi)的邊際效用比退休前更高.問題Ⅲ情形下消費(fèi)占總財(cái)富的比率表明在財(cái)富位于低水平時(shí)，消費(fèi)明顯偏低，導(dǎo)致投資者會(huì)將財(cái)富投入銀行獲得無風(fēng)險(xiǎn)的收益來抵抗市場可能出現(xiàn)的低迷.

同時(shí)，比較在投資股票市場上有無紅利的情況下，投資比率與消費(fèi)比率發(fā)生的變化.令參數(shù)值為d＝1，μ＝0.05，σ＝0.22，r＝0.01，δ＝0.025，ρ＝0.01，γ＝3，K＝3，k＝0.05，μy＝0，σy＝0和y0＝1.僅就問題Ⅱ情形下加以討論，分別考慮φ＝0.01和φ＝0的情況.圖3表示針對問題Ⅱ考慮股票無紅利支付的情形，以及針對問題Ⅱ考慮股票支付紅利的情形.由圖3可知，在股票支付紅利時(shí)，投資者的投資比率以及消費(fèi)比率都比未支付的情況下要高.對于問題Ⅰ以及問題 Ⅲ的情況，與問題Ⅱ的情況相似.

4 結(jié) 語

圖3 股票支付紅利的情形時(shí)的投資比率以及消費(fèi)比率Fig.3 Investment and consumption ratios in the case of the stock dividend payments

本文在考慮紅利分配、保險(xiǎn)給付以及退休的情況下，研究了投資者的消費(fèi)－投資和遺產(chǎn)行為.對文獻(xiàn)［4］的現(xiàn)有模型進(jìn)行了推廣，并且借助隨機(jī)微分方程理論以及鞅方法，解出投資者的最優(yōu)消費(fèi)－投資策略，并用數(shù)值分析分別說明了3種約束情形下投資占總財(cái)富比率以及消費(fèi)占總財(cái)富比率對于財(cái)富的變化趨勢，且考慮股票是否支付紅利對投資比率以及財(cái)富比率的影響.通過對模型的擴(kuò)展，使得結(jié)論更加符合經(jīng)濟(jì)實(shí)際.

參 考 文 獻(xiàn)

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Optimal Consumption－Portfolio and Bequest with Dividends and Retirement

FEIWei－yin，HEDan－dan，ZHUYong－wang，SUKai
（School of Mathematics and Physics，Anhui Polytechnic University，Wuhu Anhui 241000，China）

The problem of the optimal consumption and portfolio with the investor's heritage and insurance，in which the stocks have dicidend－paying under three different borrowing constraints，is studied.Firstly，the policies of the optimal consumption－portfolio and bequest of investors are explicitly provided by using of the stochastic differential equations and the martingale method.Secondly，through the numerical simulation，both the changes of the investment and consumption ratios are analyzed under the three different borrowing constraints.Finally，the effect of the dividends on investment and consumption is discussed.

dividends；optimal portfolio policies；voluntary retirement；stochastic differential equation；bequest

O 211.6；F 224.9

A

1671－0444（2013）01－0124－06

2011－12－12

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（71171003，71271003）；安徽省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（090416225）；安徽省高校自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（KJ2010A037）

費(fèi)為銀（1963—），男，安徽蕪湖人，博士，教授，研究方向?yàn)榻鹑诠こ?E－mail：wyfei＠ahpu.edu.cn