于霖沖

(廈門理工學(xué)院機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廈門 361024)

在高速和大柔性情況下，如果柔性構(gòu)件的耦合振動(dòng)頻率與構(gòu)件的固有頻率接近，則會(huì)產(chǎn)生諧振，從而導(dǎo)致構(gòu)件的變形和動(dòng)態(tài)應(yīng)力急劇增大，使柔性機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)功能受到很大的影響，嚴(yán)重時(shí)會(huì)導(dǎo)致構(gòu)件發(fā)生塑性變形甚至強(qiáng)度破壞，造成機(jī)構(gòu)功能的失效。因此，對(duì)柔性機(jī)構(gòu)耦合振動(dòng)的諧振可靠性分析具有十分重要的理論意義，對(duì)柔性機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)規(guī)劃有重要的實(shí)際參考價(jià)值。

多柔體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)經(jīng)過30多年的發(fā)展，在建模理論和求解方法上已經(jīng)逐漸成熟［1］，并在耦合振動(dòng)方面取得了突破，為本研究奠定了基礎(chǔ)。Diken［2］對(duì)柔性機(jī)械臂的振動(dòng)頻率響應(yīng)的影響因素進(jìn)行了分析;Siddiqui等［3］通過攝動(dòng)方法對(duì)有移動(dòng)物體的柔性懸臂梁的耦合問題進(jìn)行了探討;Al-Bedoor等［4］和 Yau 等［5］分別應(yīng)用拉格朗日乘子法和Hamilton原理建立了有移動(dòng)物體的旋轉(zhuǎn)柔性懸臂梁模型，并進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析;徐可君等［6］建立了構(gòu)件振動(dòng)可靠性和強(qiáng)度可靠性計(jì)算的模糊模型，計(jì)算了渦輪葉片的可靠度;崔海濤等［7］探討了柔性梁的共振和疲勞可靠性問題。本文在上述學(xué)者的研究基礎(chǔ)上，通過多柔體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析，提出了柔性機(jī)構(gòu)耦合振動(dòng)的諧振可靠性分析理論和方法，建立了柔性機(jī)構(gòu)諧振可靠性分析模型。通過蒙特卡羅隨機(jī)模擬，計(jì)算構(gòu)件的固有頻率，通過柔性機(jī)構(gòu)的虛擬樣機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)，確定機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)規(guī)律和耦合振動(dòng)頻率分布特性，進(jìn)而求出諧振可靠度，為柔性機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)和分析提供了借鑒。

1 柔性機(jī)構(gòu)諧振可靠性分析理論和方法

1.1 柔性機(jī)構(gòu)諧振可靠性基本理論

構(gòu)件幾何、物理等參數(shù)的隨機(jī)性使構(gòu)件固有頻率成為隨機(jī)變量，而動(dòng)力、載荷等隨機(jī)因素使柔性構(gòu)件的耦合振動(dòng)頻率成為隨機(jī)變量。在固有頻率和耦合振動(dòng)頻率相等或者接近時(shí)，振幅、動(dòng)態(tài)應(yīng)力急劇增加導(dǎo)致構(gòu)件發(fā)生強(qiáng)度破壞或者運(yùn)動(dòng)功能失效。因此，在設(shè)計(jì)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)形式和驅(qū)動(dòng)規(guī)劃時(shí)，要避免構(gòu)件頻率相等或者相接近。在運(yùn)動(dòng)過程中，機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是時(shí)變的，驅(qū)動(dòng)力(矩)和載荷也是時(shí)變的，所以柔性構(gòu)件的耦合振動(dòng)頻率成為時(shí)變隨機(jī)變量。

假設(shè)隨機(jī)變量ωi(i=1，2，…，n)為柔性構(gòu)件的第i階固有頻率，時(shí)變隨機(jī)變量p(t)為柔性構(gòu)件t時(shí)刻的耦合振動(dòng)頻率。當(dāng)在機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)時(shí)域T內(nèi)t時(shí)刻的耦合振動(dòng)頻率p(t)與構(gòu)件固有頻率ωi的接近程度超過閾值vth時(shí)，柔性構(gòu)件將產(chǎn)生諧振。此時(shí)構(gòu)件的耦合振動(dòng)幅度將急劇加大，導(dǎo)致機(jī)構(gòu)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)參數(shù)迅速惡化，機(jī)構(gòu)的這種失效模式就是耦合振動(dòng)失效。閾值vth的大小根據(jù)柔性構(gòu)件第i階模態(tài)的振型確定。經(jīng)過柔性構(gòu)件的模態(tài)分析確定柔性構(gòu)件的各階振型和閾值vth，從而建立柔性構(gòu)件諧振極限狀態(tài)方程:

柔性機(jī)構(gòu)的諧振可靠性可以描述為:在機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)時(shí)域T內(nèi)，柔性構(gòu)件在任意時(shí)刻的耦合振動(dòng)頻率相對(duì)于各階固有頻率的接近程度不超過閥值的概率。式(2)就是柔性機(jī)構(gòu)諧振可靠性分析的廣義模型。

1.2 柔性機(jī)構(gòu)諧振可靠性分析方法

利用Lagrange方法建立柔性機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程［1，8－9］:

如果柔性構(gòu)件在機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)t時(shí)刻的固有頻率和耦合振動(dòng)頻率服從正態(tài)分布，則根據(jù)干涉理論有:

其中σv和σω分別為固有頻率和耦合振動(dòng)頻率的標(biāo)準(zhǔn)差。

在系統(tǒng)中只要有一個(gè)構(gòu)件在任意時(shí)刻出現(xiàn)耦合頻率與固有頻率產(chǎn)生諧振，就會(huì)發(fā)生諧振失效。因此，整個(gè)機(jī)構(gòu)系統(tǒng)的諧振可靠性分析應(yīng)按照串聯(lián)系統(tǒng)計(jì)算其可靠度。

2 柔性機(jī)構(gòu)諧振可靠性分析和計(jì)算

2.1 柔性機(jī)構(gòu)模型的諧振可靠性分析

柔性機(jī)構(gòu)模型為空間站柔性展開機(jī)構(gòu)［10］。圖1所示為機(jī)構(gòu)展開狀態(tài)，展開機(jī)構(gòu)由B0～B15共16個(gè)構(gòu)件組成，其中大尺寸的輕質(zhì)構(gòu)件 B1、B2、B4、B5、B13、B14和 B15在展開過程中會(huì)產(chǎn)生較大的變形，將它們作為等截面均質(zhì)柔性梁。機(jī)構(gòu)初始狀態(tài)為收攏狀態(tài)，各個(gè)構(gòu)件無彈性變形。柔性展開機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為:在機(jī)構(gòu)啟動(dòng)初始10 s內(nèi) ，由電機(jī)B8和B11勻加速驅(qū)動(dòng);在10 s以后，電機(jī)驅(qū)動(dòng)力為0，機(jī)構(gòu)依靠慣性完成展開運(yùn)動(dòng)。在機(jī)構(gòu)展開過程中，構(gòu)件的動(dòng)態(tài)響應(yīng)為高度非線性，這種特性體現(xiàn)為構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)、動(dòng)力學(xué)的動(dòng)態(tài)參數(shù)隨時(shí)間的變化呈現(xiàn)出“振動(dòng)”的現(xiàn)象，這種現(xiàn)象就是耦合振動(dòng)的反映。

圖1 空間站展開機(jī)構(gòu)模型

選擇機(jī)構(gòu)中有代表性的構(gòu)件B2和B5作為研究對(duì)象。其中，構(gòu)件B2做平面旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，構(gòu)件B5做平移運(yùn)動(dòng)。

柔性構(gòu)件為細(xì)長(zhǎng)桿，兩端為鉸鏈連接，柔性構(gòu)件質(zhì)心處的耦合振動(dòng)最劇烈。通過柔性機(jī)構(gòu)的虛擬樣機(jī)仿真，得到構(gòu)件B2和構(gòu)件B5質(zhì)心處的耦合振動(dòng)，如圖2所示。

從柔性機(jī)構(gòu)仿真數(shù)據(jù)可以看出:構(gòu)件B5的耦合振動(dòng)比構(gòu)件B2的振動(dòng)頻率高、振幅大。在啟動(dòng)階段由于機(jī)構(gòu)初始狀態(tài)是靜止?fàn)顟B(tài)，因此慣性力較大，柔性機(jī)構(gòu)產(chǎn)生頻率較低。

振幅較大的耦合振動(dòng)在10 s時(shí)，加速度和速度達(dá)到最大，耦合振動(dòng)在10 s時(shí)最劇烈。10 s以后，驅(qū)動(dòng)力為0，柔性機(jī)構(gòu)依靠慣性運(yùn)動(dòng)，由于運(yùn)動(dòng)副的摩擦，使機(jī)構(gòu)的速度逐漸降低，耦合振動(dòng)的振幅和頻率逐漸隨之下降。因此，在柔性機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)規(guī)劃中，需要對(duì)10 s前后的耦合振動(dòng)進(jìn)行諧振可靠性分析。

圖2 柔性機(jī)構(gòu)的耦合振動(dòng)

2.2 柔性機(jī)構(gòu)諧振可靠性分析

由于機(jī)構(gòu)工作在微重力環(huán)境下，受到運(yùn)動(dòng)副之間的摩擦和碰撞以及其他隨機(jī)因素的影響，故柔性機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)具有隨機(jī)性。通過柔性機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)仿真，將對(duì)動(dòng)態(tài)應(yīng)力響應(yīng)影響較大的因素確定為柔性機(jī)構(gòu)系統(tǒng)的隨機(jī)變量:驅(qū)動(dòng)加速度ad(rad/s2)、摩擦力矩Mf(N·m)、驅(qū)動(dòng)時(shí)間t(s)、阻尼系數(shù)f以及柔性構(gòu)件的質(zhì)量m(kg)。假設(shè)各個(gè)隨機(jī)變量的分布服從正態(tài)分布，隨機(jī)變量的均值為設(shè)計(jì)值，方差的大小分別根據(jù)電機(jī)技術(shù)指標(biāo)、材料參數(shù)等確定。

表1為隨機(jī)變量設(shè)計(jì)值和方差、100組抽樣數(shù)據(jù)的均值和方差，其中:vi、μd、σd、μp、σp分別表示隨機(jī)變量的名稱、隨機(jī)變量的設(shè)計(jì)值、隨機(jī)變量的方差、按照MC法抽樣數(shù)據(jù)的均值和抽樣數(shù)據(jù)的方差。

表1 隨機(jī)變量抽樣數(shù)據(jù)的均值及方差

通過有限元方法對(duì)構(gòu)件B2和B5進(jìn)行蒙特卡洛仿真，前4階固有頻率均值分別為1.80695×10－4、3.01652 ×10－4、3.45319 × 10－4、3.84593 ×10－4。通過柔性機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)仿真得到構(gòu)件B5的振動(dòng)頻率均值為9.85 ×10－1，方差為5.78 ×10－3。根據(jù)可靠度計(jì)算的干涉方法，得到可靠度為

由于柔性構(gòu)件的耦合振動(dòng)頻率的均值大固有頻率均值約2個(gè)數(shù)量級(jí)，因此空間站展開機(jī)構(gòu)的耦合振動(dòng)是可靠的。

3 結(jié)束語

隨著構(gòu)件柔性的增加，固有頻率會(huì)降低;同時(shí)隨著速度的提高，構(gòu)件的耦合振動(dòng)頻率會(huì)上升。因此，柔性機(jī)構(gòu)在高速運(yùn)動(dòng)時(shí)的耦合振動(dòng)不可忽視。

本文方法適合于柔性機(jī)構(gòu)耦合振動(dòng)的諧振可靠性分析，但蒙特卡洛方法仿真時(shí)間成本較高，故可結(jié)合快速算法進(jìn)行改進(jìn)。

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