平 琦，馬芹永，袁 璞

（1.安徽理工大學礦山地下工程教育部工程研究中心，安徽 淮南 232001；2.安徽理工大學煤礦安全高效開采省部共建教育部重點實驗室，安徽 淮南 232001）

H.Kolsky［1］建立的分離式 Hopkinson壓桿（SHPB）實驗裝置，在工程領(lǐng)域應用廣泛［2－5］，已成為研究高應變率下材料力學性能最基本的一種實驗裝置。

SHPB實驗技術(shù)建立在壓桿一維應力波假定和試件應力均勻性假定基礎之上［6］，由于采用了這2個基本假定，曾引起人們對該實驗方法的質(zhì)疑。20世紀60年代初，E.D.H.Davies等［7］采用能量法對SHPB實驗中試件應力均勻問題進行了較為系統(tǒng)的研究，認為試件在滿足一定幾何特征和加載條件時，應力均勻性假定可以成立，尤其是在金屬材料實驗中應用效果比較好。

近年來，SHPB實驗技術(shù)已廣泛應用于巖石、混凝土、陶瓷等斷裂破壞應變很小的脆性材料［8－11］。SHPB實驗中，巖石類脆性材料試件可能在加載尚未結(jié)束之前就過早地發(fā)生了斷裂破壞，導致試件兩端應力差異明顯，達不到應力平衡，造成實驗數(shù)據(jù)不可靠。試件在斷裂破壞之前能否達到應力平衡，已成為評估巖石類脆性材料SHPB實驗可靠性的重要標志，再次引起人們的廣泛關(guān)注［12－17］。因此，有必要對巖石SHPB實驗加載過程中試件應力平衡問題做深入探討，以指導巖石類脆性材料SHPB實驗方案的設計。

研究表明［14］，巖石類脆性材料在高應變率下的破壞模式基本上表現(xiàn)為彈／脆性。為簡化問題，本文中利用一維應力波理論，采用彈性波討論SHPB實驗加載過程中應力波傳播（暫不考慮卸載問題），應適用于彈／脆性破壞的材料或材料的彈性階段，但對一般材料而言，應力平衡問題主要集中表現(xiàn)在入射加載的前期［13－14］。因此，采用彈性應力波研究分析試件應力平衡等問題，仍具有普遍意義。

1 SHPB實驗中應力波傳播分析

根據(jù)一維應力波理論［6］，應力波在不同波阻抗的介質(zhì)中傳播時，將會在介質(zhì)交界面上發(fā)生透射和反射。SHPB實驗中，彈性應力波在壓桿和試件中的傳播過程如圖1所示。

圖1 SHPB實驗中彈性應力波傳播過程Fig.1 Elastic stress wave propagation in SHPB experiment

圖1中，σI（t）、σR（t）、σT（t）分別為壓桿中的入射應力、反射應力、透射應力。若令α＝AS／AB為試件／壓桿的截面積比，β＝（ρScSAS）／（ρBcBAB）為試件／壓桿瞬態(tài)廣義波阻抗比，τS＝LS／cS為應力波從試件一端傳至另一端所需時間，則TB，S＝2β／（1＋β）、FB，S＝（β－1）／（1＋β）為試件／壓桿的透射和反射因數(shù)，TS，B＝2／（1＋β）、FS，B＝（1－β）／（1＋β）為試件／壓桿的透射和反射因數(shù)。其中，ρS、cS、AS和ρB、cB、AB分別為試件和壓桿材料的密度、彈性縱波速和截面積，LS為試件長度。

本文中僅針對α≤1和β≤1的情況進行討論。設入射加載應力脈沖σI（t）是加載持續(xù)時間t的連續(xù)函數(shù)且有極值。根據(jù)應力波理論，并利用線性疊加原理［6，14］，討論彈性波在SHPB實驗中的傳播。

當入射桿中入射加載應力波σI（t）到達界面X1時，將會在界面X1處首次發(fā)生透射／反射，如圖1（b）所示。若應力波全部通過入射桿／試件界面（忽略界面處壓桿與試件之間的摩擦，下同），并令此時刻為試件中應力波傳播的起始位置（即t0＝0）；此時入射加載應力記為σI（t0），則透射應力波在試件中傳播引起的應力擾動為

此時透射應力波尚未到達界面X2，故在界面X2處的應力為0，可記為

當經(jīng)過時間t1＝τS時，如圖1（c）所示，試件中傳播的透射應力波到達界面X2，在界面X2處發(fā)生透射／反射；與此同時，連續(xù)變化的入射加載應力波σI（t1）也到達界面X1，將在界面X1處發(fā)生透射／反射。此時試件兩端的應力狀態(tài)為

同理，經(jīng)過時間t2＝2τS時，如圖1（d）所示，試件兩端的應力狀態(tài)為

依次類推，當經(jīng)過時間tk＝kτS時，如圖1（e）所示，試件兩端的應力狀態(tài)為

此時，試件兩端的應力差和其平均值分別為

根據(jù)牛頓第三定律，可知在壓桿／試件界面兩側(cè)的力和質(zhì)點速度應相等，因此可以計算在入射加載任意時刻tk＝kτS入射桿中的反射應力和透射桿中的透射應力，即

由上述推導計算公式，可進行計算機編程，計算SHPB實驗中試件兩端的應力、應力差和平均應力，以及壓桿中的反射應力和透射應力等相關(guān)結(jié)果。

2 試件應力平衡影響因素分析

SHPB實驗中試件應力平衡程度，通常采用試件兩端的相對應力差來進行描述，用試件兩端的應力平均值作為試件中的平均應力。即試件的兩端應力之差與其平均值之比，則令

式（9）也正是目前普遍比較認同的試件應力均勻性αk的度量方法［6，12，14－15，17］，αk則反映了tk＝kτS時刻試件中的應力平衡程度。顯然，αk越接近于0，則說明試件中的應力均勻性越好。

一般近似地認為［12］，當αk≤5%時試件中應力分布達到了應力平衡，即滿足應力均勻性假定的要求。因此，可定義滿足這一條件時所需的最短時間為試件應力平衡時間tu，則引入量綱一應力平衡時間t′u＝tu／τS。其實，t′u也表示了試件達到應力平衡時應力波在試件中傳播的最少次數(shù)。

2.1 試件／壓桿截面積比α的影響

從式（1）～（5）可以明顯看出，試件兩端的應力與試件／壓桿截面積比的倒數(shù)1／α呈線性關(guān)系。從式（6）～（9）可以看出，試件應力均勻性αk并不受試件／壓桿截面積比α的影響。

因此，試件應力平衡時間t′u可視為與試件／壓桿截面積比α無關(guān)，因此在后文討論中將不再考慮α對t′u的影響，令α＝1。實際上，α已隱含于試件／壓桿廣義波阻抗比β之中，后文將進一步討論β對t′u的影響。

2.2 入射加載應力幅值σA的影響

從式（9）可以看出，試件應力均勻性αk主要取決于試件兩端的應力之差和其平均值，是一個相對比值，因而與入射桿中的入射加載應力幅值σA大小并無直接的關(guān)系。

因此，試件的應力平衡時間t′u也可視為與σA無關(guān)。故在后文的分析計算中，持續(xù)變化的入射加載應力σI（t）可采用量綱一σ′I（t′）＝σI（t′）／σA，其中t′＝t／τS為入射加載持續(xù)t的量綱一時間。

2.3 入射加載前沿升時t′r的影響

SHPB實驗中，典型的入射波形一般可分為矩形波、梯形波和坡形波［14］。若對這3種波形僅視為入射加載前沿升時的不同，則可統(tǒng)一表示為具有不同前沿升時的梯形波［17］。即升時等于零時，視為矩形波；升時大于感興趣時段時，視為坡形波；升時介于上述兩者之間時，則視為一般意義的梯形波。為便于分析，令t′r＝tr／τS為入射加載前沿的量綱一升時，其中tr為入射加載前沿升時。

根據(jù)上述推導計算公式，通過計算機編程計算，得到不同試件／壓桿波阻抗比β的試件（β＝1／2、1／4、1／8、1／16），在不同入射加載升時t′r情況下的應力平衡時間t′u變化（t′u－t′r）曲線，如圖2所示。

圖2 不同波阻抗比試件的應力平衡時間隨入射前沿升時變化曲線Fig.2 Relation between time for stress equilibrium and incident rising time at different impedance ratios

從圖2可以看出，不同的入射加載升時t′r對不同試件／壓桿波阻抗比β試件的應力平衡時間t′u影響規(guī)律總體上較為相似。

溫室氣體的產(chǎn)生和排放是生態(tài)系統(tǒng)復雜的生物化學過程。CO2的排放包括植物根系呼吸、土壤微生物呼吸、土壤動物呼吸以及含碳物質(zhì)的氧化作用，其中土壤微生物的異養(yǎng)呼吸和植物的根系呼吸是土壤呼吸的重要組成 [34]。CH4排放是產(chǎn)甲烷菌及甲烷氧化菌共同作用和傳輸?shù)木C合過程。N2O是通過硝化作用和反硝化作用完成的，該過程離不開微生物的參與[4]。因此，溫室氣體的產(chǎn)生和排放與土壤微生物是密不可分的[35]。

（1）t′r≤1時，曲線總體上近似為水平線。t′u受t′r影響微弱，僅隨t′r增加微量增加，最大增幅也只有8.5%（當β＝1／2時）。因此，t′r≤1時，視為與矩形波（t′r＝0）的情況相同。

（2）1≤t′r≤6時，曲線總體上呈“W”型，變化規(guī)律相對比較復雜。曲線簇在t′r＝2、3、4處形成3個明顯的拐點，其中t′r＝2為最低點，t′u＝2.1～3.4；t′r＝4也為低點，但并非最低點，t′u＝3.9～4.5；而t′r＝3為高點，t′u＝4.2～6.1。曲線簇在3個拐點的形成過程中，分別在t′r＝1.7、2.3、3.5附近出現(xiàn)了3次交叉，t′u＝3.1～3.8、3.6、4.6；交叉前后，曲線的排列次序依次出現(xiàn)反轉(zhuǎn)。

（3）t′r≥6時，曲線總體上較平，部分曲線已形成水平線。這表明t′u已不再受t′r變化的影響，即在此時后t′u為恒定值。

2.4 試件／壓桿波阻抗比β的影響

從圖2可以看出，不同試件／壓桿波阻抗比β的試件，在相同入射前沿升時t′r情況下，試件應力平衡時間t′u變化規(guī)律差異較大。

（1）t′r≤1時，t′u受β影響顯著，且β越大，t′u越小。β＝1／2時，t′u＝3.0～3.3，而β＝1／16時，t′u＝10.0～10.1。

（2）1≤t′r≤4時，β越小，t′u變化幅度越大。曲線族在變化過程中出現(xiàn)的2個低點t′r＝2、4和3個交叉點t′r＝1.7、2.3、3.5附近，t′u基本不受β的影響。而在高點t′r＝3為，t′u受β的影響較大。

綜上分析表明，試件應力平衡時間t′u受試件／壓桿廣義波阻抗比β和入射加載升時t′r的影響顯著，并不受試件／壓桿截面積比α和入射加載應力幅值σA的影響。

其中，有3點應值得注意：（1）若β較大（β≥1／2），應考慮選擇t′r≤1（可視為矩形波），則能夠獲得較短的應力平衡時間；（2）若β較?。é隆?／8），應考慮選擇t′r≥6或更大（可視為坡形波）；則能夠獲得相應的應力平衡時間；（3）不論β為何值，均可考慮選擇t′u－t′r曲線在變化過程中出現(xiàn)的2個低點t′r＝2、4和3個交叉點t′r＝1.7、2.3、3.5附近（均可視為常規(guī)的梯形波），也能夠獲得較短的應力平衡時間。且t′r＝2時，應力平衡時間最短，應力均勻性最好。但盡可能避開選擇t′r＝3，其應力平衡時間振蕩較大。

3 試件應力平衡的有效性分析

入射加載應力幅值σA的大小雖然對應力平衡時間t′u沒有影響，但對試件的應變和應變率影響較大。巖石類脆性材料斷裂破壞應變εf一般為5‰左右，SHPB實驗中試件在斷裂破壞之前能否達到應力平衡將直接關(guān)系到實驗結(jié)果是否有效［11，16］。也就是說，必須保證試件達到應力平衡時的應變ε小于斷裂破壞應變εf，否則將造成SHPB實驗數(shù)據(jù)不可靠［18－19］，這也正是進行巖石SHPB實驗時所要面臨和必須解決的問題。

對一次具體SHPB實驗來說，壓桿和試件的相關(guān)參數(shù)都是一定的，試件應力平衡時間t′u則完全依賴于入射加載波形。換句話來說，就是在試件／壓桿波阻抗比β確定的情況下，試件應力平衡時間t′u的長短完全取決于入射加載升時t′r的變化情況。

根據(jù)SHPB實驗技術(shù)的基本原理，在滿足一維應力波假定的條件下，可由試件兩端質(zhì)點速度差與試件長度之比來確定試件應變。經(jīng)整理，得到常用的三波法公式［6，20］

可計算試件在tk＝kτS時刻的應變。

巖石SHPB實驗中，壓桿若采用直徑DB＝50mm 的鋼桿（ρB＝7.580g／cm3，EB＝198.646GPa，cB＝5.12km／s），巖石試件（ρS＝2.650g／cm3，ES＝29.5GPa，cS＝3.336km／s）的直徑DS＝49mm，厚度LS＝25mm；則α＝0.96，β＝0.218 8，τS＝7.5μs。

以工程應用中常見巖石的抗壓強度作為參考，試選取入射加載應力幅值σA＝50、100、150、200 MPa，計算得到不同入射加載升時t′r情況下巖石試件達到應力平衡時間t′u時的應變ε。不同加載應力幅值情況下的（ε－t′r）曲線，如圖3所示。

從圖3可以看出，入射加載應力幅值σA和入射加載升時t′r均對巖石試件達到應力平衡時間t′u時的應變ε變化影響較大。

（1）入射加載升時t′r相同時，試件達到應力平衡時間t′u時的應變ε隨σA的增加而增加。不同σA的ε為倍數(shù)關(guān)系，即ε∝σA。如t′r＝0時，入射加載應力幅值σA＝50、100、150、200MPa，試件達到應力平衡時間t′u時對應的應變ε＝1.57‰、3.15‰、4.72‰、6.29‰。

圖3 巖石試件達到應力平衡時的應變隨入射升時變化情況Fig.3 Relation between strain to stress equilibrium and incident rising time

（2）不同入射加載升時t′r時，不同的入射加載應力幅值σA情況下，試件達到應力平衡時間t′u時的應變ε變化規(guī)律極為相似。ε總體上隨t′r的增加而減小，且隨σA增加，ε－t′r曲線變化幅度明顯增大。當t′r≤2時，ε 隨t′r增加呈下降趨勢。其中，t′r≤1時，曲線下降速度緩慢，近似為水平線；而1≤t′r≤2時，曲線下降速度明顯加快。當2≤t′r≤6時，曲線變化呈“N”型。曲線在t′r＝2、3、4、6處形成4個明顯的拐點，其中t′r＝2、4為低點，而t′r＝3、6為高點。當t′r≥6時，曲線近似為雙曲線形下降，且在t′r≥7后，ε與t′r的倒數(shù)（1／t′r）呈現(xiàn)特別顯著的線性關(guān)系，即ε ＝15.183／t′r（R2＝1）。

（3）入射加載應力幅值σA控制在一定范圍內(nèi)（如σA≤150MPa時），試件在應力平衡時間t′u時的應變ε可不考慮入射加載升時t′r的影響，即t′r無論為何值時，t′u時的ε均在5‰以內(nèi)。若入射加載應力幅值σA較大，如σA＝200MPa，當t′r＜2時，t′u時的ε已超過5‰，也就是說試件在未達到應力平衡以前就發(fā)生斷裂破壞，此時的實驗數(shù)據(jù)也將因未能達到應力均勻性基本假定而喪失有效性；而當t′r≥2時，t′u時的ε也在5‰以內(nèi)。

上述分析表明，要降低試件達到應力平衡時間t′u時的應變ε，采取適當降低入射加載應力幅值σA或提高入射加載升時t′r的控制方法可以實現(xiàn)。巖石材料SHPB實驗方案設計中，要保證試件斷裂破壞發(fā)生在試件達到應力平衡之后，就必須要保證試件在應力平衡時間t′u時的應變ε小于破壞應變εf，SHPB實驗所測的巖石類脆性材料的動態(tài)應力強度應是可靠的。

4 結(jié) 論

（1）試件應力平衡時間t′u受試件／壓桿波阻抗比β和入射加載升時t′r影響顯著，而不受試件／壓桿截面積比α和入射加載應力幅值σA的影響。不同β的試件，t′u隨t′r的變化規(guī)律較為相似。即，t′r≤1時，曲線為近似的水平線；t′r≥6時，曲線總體上為水平線，這說明在t′r≤1或t′r≥6時t′u對t′r不敏感；而在1＜t′r＜6時，曲線呈“W”型，則表明t′u受t′r的變化影響相對比較復雜。

（2）對β較大（β≥1／2）的試件，可采用t′r≤1（視為矩形波）的入射波加載，則能獲得較短的應力平衡時間；而對β較?。é隆?／8）的試件，可采用t′r≥6（視為坡形波）的入射波加載，則能獲得相應的應力平衡時間；不論β為何值時，均可采用t′r＝2、4或t′r＝1.7、2.3、3.5（均視為一般意義的梯形波）的入射波加載，則能獲得較短的應力平衡時間。其中，采用t′r＝2時試件的應力均勻性最好，應力平衡時間最短。但盡量避開選擇t′r＝3。

（3）入射加載升時t′r相同，試件達到應力平衡時間t′u時的應變ε隨入射加載應力幅值σA的增加而增加，不同σA加載時的ε成倍數(shù)關(guān)系，即ε∝σA。ε的變化曲線總體上是隨t′r的增加而減小，且隨σA增加曲線變化幅度增大。t′r≤2時，曲線呈下降趨勢；2＜t′r＜6時，曲線變化呈“N”型，在t′r＝2、3、4、6處形成4個明顯的拐點，其中t′r＝2、4為低點，而t′r＝3、6為高點。t′r≥6時，曲線近似為雙曲線形下降，且在t′r≥7后，ε與t′r的倒數(shù)呈現(xiàn)特別顯著的線性關(guān)系。

（4）入射加載應力幅值σA過大時，巖石類試件可能未達到應力平衡以前就發(fā)生斷裂破壞，導致實驗數(shù)據(jù)失效。若要降低試件的應變值，可考慮采取適當降低入射加載應力幅值σA或提高入射加載升時t′r的控制方法來預以實現(xiàn)。SHPB實驗中，要保證所測巖石類脆性材料的實驗結(jié)果可靠，則必須要保證試件在應力平衡時間t′u時的應變ε小于破壞應變εf。

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