王曉剛

在用單臺(tái)攝像機(jī)對(duì)運(yùn)動(dòng)人體進(jìn)行平面攝影攝像測(cè)量時(shí)，通常假設(shè)運(yùn)動(dòng)人體是在垂直于攝像機(jī)主光軸的運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的，但實(shí)際情況并非如此。一般情況下，由于拍攝距離較遠(yuǎn)，人體移出運(yùn)動(dòng)平面時(shí)所產(chǎn)生的透視誤差可以忽略。因此，大多數(shù)研究者在研究時(shí)并不會(huì)考慮此誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。

上世紀(jì)八十年代，我國(guó)學(xué)者盧青(1984)［1］曾對(duì)因攝像機(jī)主光軸與運(yùn)動(dòng)平面不垂直所造成的透視誤差情況進(jìn)行過(guò)討論。而國(guó)外學(xué)者 Li等人(1990)［2］也曾利用已知環(huán)節(jié)長(zhǎng)度和位置的方法來(lái)研究透視誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。Miller等人(1980)［3］則提出用一臺(tái)攝像機(jī)拍攝剛體上三個(gè)已知空間位置的標(biāo)志點(diǎn)的方法，來(lái)確定其三維坐標(biāo)。郭珩等人(2008)［4］也曾分析討論了光學(xué)三維測(cè)量中透視成像造成的誤差并提出了修正算法。但使用這些方法的前提條件是環(huán)節(jié)長(zhǎng)度已知，且至少有一個(gè)標(biāo)志點(diǎn)的空間位置是已知的。因此，當(dāng)拍攝物不是剛體時(shí)(例如人體組織)，上述方法則會(huì)失效。

本文將介紹兩種估測(cè)和修正透視誤差的方法，目的是為了說(shuō)明在影像測(cè)量過(guò)程中透視誤差不容忽視，我們可以通過(guò)簡(jiǎn)易可行的方法對(duì)其進(jìn)行修正。

1 透視誤差產(chǎn)生的原理及理論修正方法

對(duì)透視誤差大小的估測(cè)，最簡(jiǎn)便的方法就是利用相似三角形的原理(見(jiàn)圖1)。

圖1 透視誤差產(chǎn)生的原理圖

由圖1可以看出，設(shè)拍攝距離為b，透視距離為d，Pc為解析得到的物體垂直距離，Pa為實(shí)際的物體垂直距離，Pa與Pc的關(guān)系為:

則誤差e的值為:

設(shè) b=15m，d=0．15m，Pc=0．7m，則根據(jù)等式(1)和(2)可以求出:

若物體水平方向距離亦為0．7m，則總誤差et由此可以看出，在d和Pc不變的情況下，b的值越大(也就是拍攝距離越長(zhǎng))，誤差越小。但這只是理論分析的結(jié)果，在實(shí)際拍攝中，由于拍攝距離的增加，可能會(huì)影響人體成像的清晰度，因此拍攝距離的適宜長(zhǎng)度應(yīng)該在某一范圍之內(nèi)。

公式(1)和(2)說(shuō)明，估測(cè)和修正透視誤差的前提條件是，拍攝距離和透視距離必須已知。通常情況下拍攝距離可以直接測(cè)得，而透視距離也可以通過(guò)多種方法進(jìn)行估測(cè)。本文將介紹兩種估測(cè)透視距離的方法。第一種方法，是利用測(cè)力臺(tái)數(shù)據(jù)，對(duì)人體行走過(guò)程中透視距離進(jìn)行估測(cè)，用來(lái)計(jì)算關(guān)節(jié)作用力和肌肉力矩;第二種方法，是在對(duì)鉛球運(yùn)動(dòng)員的動(dòng)作技術(shù)進(jìn)行分析時(shí)，通過(guò)鉛球著地點(diǎn)的位置來(lái)估測(cè)透視距離。

2 修正實(shí)例

2．1 平面步態(tài)分析實(shí)例

在平面逆動(dòng)力學(xué)步態(tài)研究中，受試者的行走路線通常不會(huì)是一條嚴(yán)格的直線，會(huì)因左右搖擺而產(chǎn)生透視誤差。為研究此誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，我們對(duì)一名正常人行走過(guò)程進(jìn)行了拍攝。拍攝使用CASIO FH25數(shù)碼攝像機(jī)，拍攝頻率為120Hz;拍攝距離b=4．7m，身體重心至足底壓力中心的距離(透視距離)d=0．151m，腳的標(biāo)志點(diǎn)至視場(chǎng)邊緣的距離，即 pc=0．7m。

通過(guò)等式(1)和(2)可以算出，pa=0．722m，e=0．022m。若腳的標(biāo)志點(diǎn)與攝像機(jī)主光軸的水平距離同樣是0．7m，那么經(jīng)修正后，踝關(guān)節(jié)作用力的垂直分量和水平分量變化不明顯。其原因是上述兩個(gè)力的分量的計(jì)算取決于地面反作用力和重力，并不受透視誤差的影響。而肌肉力矩的計(jì)算結(jié)果受透視誤差影響較為明顯(見(jiàn)圖2)。例如，踝關(guān)節(jié)跖屈峰值力矩修正后比修正前增加了27%。在對(duì)膝關(guān)節(jié)和髖關(guān)節(jié)的逆動(dòng)力學(xué)計(jì)算過(guò)程中，也同樣出現(xiàn)了上述趨勢(shì)。

圖2 修正前后踝關(guān)節(jié)力矩比較

2．2 擲鉛球投擲距離實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

在對(duì)鉛球運(yùn)動(dòng)員的出手速度進(jìn)行分析時(shí)，如果鉛球出手點(diǎn)或鉛球飛行軌跡所在平面與標(biāo)定平面不一致，就會(huì)產(chǎn)生透視誤差，從而使根據(jù)視頻解析得到的出手速度等參數(shù)產(chǎn)生偏差。如圖3所示，若d為鉛球飛行過(guò)程中某點(diǎn)的透視距離(鉛球與標(biāo)定平面的垂直距離)，xL與yL為鉛球落地點(diǎn)相對(duì)標(biāo)定平面的位置坐標(biāo)。則根據(jù)相似三角形的理論，可以得到下述等式:

則透視距離

可將通過(guò)等式(5)計(jì)算得到的透視距離代入等式(1)和(2)中，以計(jì)算修正后的鉛球出手位置。

另一種推算透視距離d的方法，是假設(shè)投出的鉛球在空中的飛行軌跡不受空氣阻力的影響，呈拋物線軌跡飛行。因此，通過(guò)公式我們便可根據(jù)解析后計(jì)算得到的重力加速度與實(shí)際重力加速度進(jìn)行比較，利用最優(yōu)化算法，來(lái)準(zhǔn)確估算鉛球?qū)嶋H的出手位置。

圖3 鉛球投擲過(guò)程中的透視誤差示意圖

利用等式(3)、(4)、(5)可以很方便地估測(cè)出鉛球出手時(shí)刻的位置坐標(biāo)。當(dāng)鉛球經(jīng)過(guò)攝像機(jī)主光軸附近時(shí)，修正系數(shù)最小;隨著鉛球遠(yuǎn)離攝像機(jī)主光軸，修正系數(shù)逐漸增加。

為了驗(yàn)證上述修正方法在實(shí)際拍攝中的有效性，特邀請(qǐng)一名鉛球運(yùn)動(dòng)員(國(guó)家二級(jí)運(yùn)動(dòng)員，身高:1．83m;體重:89kg;試投次數(shù):14次)進(jìn)行投擲實(shí)驗(yàn)。拍攝采用一臺(tái)CASIO FH25數(shù)碼攝像機(jī)，拍攝頻率為120Hz。攝像機(jī)架設(shè)于運(yùn)動(dòng)員身體右側(cè)，主光軸垂直于運(yùn)動(dòng)平面X軸(見(jiàn)圖4)，拍攝距離為15m，機(jī)高1．2m。在運(yùn)動(dòng)員試投前對(duì)攝像機(jī)進(jìn)行標(biāo)定，標(biāo)定平面為XY平面。

圖4 擲鉛球?qū)嶒?yàn)拍攝現(xiàn)場(chǎng)示意圖

以第四次試投為例，在對(duì)解析得到的鉛球出手位置進(jìn)行修正后，鉛球的出手速度由解析時(shí)的10．58m/s增加到10．92m/s(3．2%)。修正值與實(shí)測(cè)值的誤差范圍在1cm以內(nèi)。14次試投中修正值與解析值的比較結(jié)果見(jiàn)圖5。平均修正值為0．54m。

圖5 鉛球投擲距離的解析值與修正值比較

3 討論

在多數(shù)情況下，研究者通常會(huì)忽略影像測(cè)量中的透視誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果帶來(lái)的影響，但是，這很有可能會(huì)使測(cè)量結(jié)果的精度下降或者得到完全錯(cuò)誤的結(jié)論。有 制 造 商 曾 經(jīng) (Motion AnalysisTM，Koff，1990)［5］指出，在進(jìn)行平面攝影測(cè)量時(shí)，系統(tǒng)誤差應(yīng)該在1mm以內(nèi)。如果透視誤差為15．1cm(拍攝距離的3%)，那么對(duì)踝關(guān)節(jié)標(biāo)志點(diǎn)位移坐標(biāo)的誤差可以達(dá)到透視誤差值的30倍。雖然3cm的位移誤差很小，但在對(duì)關(guān)節(jié)力矩進(jìn)行測(cè)量時(shí)，如果關(guān)節(jié)力臂誤差達(dá)到3cm，則會(huì)對(duì)測(cè)量結(jié)果產(chǎn)生很大影響;而對(duì)于關(guān)節(jié)作用力來(lái)說(shuō)，由于其不受力的作用位置的影響，因此透視誤差對(duì)其計(jì)算結(jié)果的影響不大。

在對(duì)擲鉛球的出手速度和投擲距離進(jìn)行估測(cè)時(shí)，鉛球出手位置的透視誤差對(duì)估測(cè)結(jié)果也會(huì)產(chǎn)生較大的影響。在此情況下，可以利用兩個(gè)與解析參數(shù)無(wú)關(guān)聯(lián)的參數(shù)(實(shí)測(cè)得到的鉛球落地位置坐標(biāo)和已知的重力加速度g)對(duì)透視誤差進(jìn)行修正。此方法可以有效地減小因透視誤差帶來(lái)的影響。實(shí)驗(yàn)證明，對(duì)鉛球落地位置的預(yù)測(cè)結(jié)果誤差在1cm以內(nèi)。

上述兩個(gè)例子說(shuō)明，利用非解析參數(shù)對(duì)透視距離d進(jìn)行估測(cè)，可以簡(jiǎn)單方便地減小此類(lèi)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。在對(duì)擲鉛球動(dòng)作進(jìn)行分析時(shí)，如果透視誤差可以被很好的修正，我們完全可以用一臺(tái)攝像機(jī)完成拍攝工作，且對(duì)鉛球飛行距離的預(yù)測(cè)結(jié)果誤差在1cm以內(nèi)。而這一精度很可能高于利用兩臺(tái)攝像機(jī)進(jìn)行三維測(cè)量時(shí)的測(cè)量精度。

［1］ 盧青．高速攝影影片數(shù)據(jù)的誤差源及其處理方法(一)［J］．江蘇體育科技，1984(5):21～24．

［2］ Li，JA，Bryant JT，Stevenson JM．Single camera photogrammetric technique for restricted 3D motion analysis［J］．Journal of Biomedical Engineering，1990(12):69 ～74．

［3］ Miller NR，Shapiro R，McLaughlin TM．A technique for obtaining spatial kinematic parameters of segments of biomechanical systems from cinematographic data［J］．Journal of biomechanics，1980(13):535～547．

［4］ 郭珩，趙海波，姜春寶．三維測(cè)量中透視成像造成的誤差及修正［J］．大視野，2008(7):35～36．

［5］ Koff DG．Accuracy and precision of the ExpertVision 3-D Motion Analysis Systems［J］．Motion Analysis Corporation，Santa Rosa，CA．1990．