于月民， 閆魯華

(黑龍江科技大學 理學院，哈爾濱 150022)

0 引言

高精度和高分辨率的精密微位移系統(tǒng)在近代尖端工業(yè)產(chǎn)品和科學研究領域內(nèi)占有極其重要的地位。微動平臺是微位移系統(tǒng)的核心，主要由微位移驅(qū)動器和導軌等部件構成。柔性鉸鏈是一種具有特定形狀的精密傳動機構，僅存在彈性材料內(nèi)部分子之間的內(nèi)摩擦、無間隙及運動靈敏度高，作為柔性支承導軌可以達到極高的分辨率，且柔性支承導軌結構緊湊、體積小、質(zhì)量輕及不需要潤滑，在精密微位移工作臺、微夾持和精密定位系統(tǒng)與微裝配等應用領域得到了廣泛的應用[1－6]，對柔性鉸鏈的研究也逐漸成為柔性機構研究中的一個熱點。

目前，典型的一維微動平臺定位機構有單平行四桿機構、雙平行四桿機構和Scott-Russell位移放大機構。單平行四桿機構微動平臺的輸出位移存在交叉耦合。雙平行四桿機構微動平臺結構雖然消除了位移耦合，但是結構復雜。Scott-Russell位移放大機構微動平臺雖然結構緊湊，可以實現(xiàn)單驅(qū)動多自由度運動，但其輸入輸出存在非線性[7－11]。

為此，筆者設計一種新型的一維微動平臺，主要特點是采用對稱的S型柔性鉸鏈為定位機構，采用壓電堆棧作為驅(qū)動器，結構簡單，消除了輸出位移的耦合。首先利用能量法研究S型柔性鉸鏈的剛度特性，其次基于S型柔性鉸鏈設計一維微動平臺，最后對一維微動平臺進行動力性能仿真分析。

1 S型柔性鉸鏈的剛度特性

1.1 模型

S型柔性鉸鏈作為傳遞微位移的關鍵部件，其剛度性能直接影響微動平臺的輸出定位，對S型柔性鉸鏈進行理論計算與分析是十分必要的。圖1為S型柔性鉸鏈的幾何結構示意圖。鉸鏈各部分截面形狀相同，根據(jù)S型柔性鉸鏈的變形特點，對S型柔性鉸鏈作如下假設:(1)材料為均勻的各向同性材料;(2)材料變形為彈性小變形;(3)忽略S型柔性鉸鏈自身重力的影響。

圖1 S型柔性鉸鏈Fig.1 S type flexure hinge

根據(jù)S型柔性鉸鏈在一維微動平臺中的受力特點，將S型柔性鉸鏈簡化為一端固定，另一端受沿x方向的力F作用的S型懸臂梁，研究其在x方向的剛度，如圖2所示。

圖2 S型懸臂梁Fig.2 S type cantilever

1.2 剛度特性

S型懸臂梁在力F作用下，由卡氏第二定理[9]可知，x方向上的位移為

式中:U——S型懸臂梁在力F作用下的變形能。

由線彈性理論，S型柔性鉸鏈的剛度kx可表示為

將S型懸臂梁分成五個部分，分別計算各部分的變形能，可得S型懸臂梁在x方向上的位移為

式中:E——材料的彈性模量;

A——橫截面面積;

I——橫截面的慣性矩。

由卡氏定理可得S型柔性鉸鏈的剛度計算公式:

基于S型柔性鉸鏈在一維微動平臺中的具體應用，確定S型柔性鉸鏈的具體尺寸:長度l=10 mm，寬度b=5 mm，厚度d=0.4 mm，拐角長度a=4 mm。材料屬性:彈性模量E=210 GPa，泊松比μ=0.3，密度 ρ=7 200 kg/m3，許用應力[σ]=340 MPa。

2 平臺設計

一維微動平臺結構如圖3所示。結構尺寸187 mm×150 mm×25 mm，其特點是四個S型柔性鉸鏈的二端分別與可動平臺和固定外框固結，柔性鉸鏈對稱放置，可以消除輸出位移耦合。壓電堆棧驅(qū)動器可放置于微動平臺的中間卡槽內(nèi)，控制壓電堆棧驅(qū)動器的輸入電壓，可獲得需要的驅(qū)動力。在驅(qū)動力作用下，引起S型柔性鉸鏈發(fā)生變形，實現(xiàn)一維微動平臺的位移輸出，壓電堆棧驅(qū)動器性能參數(shù):自由位移 δf=60 μm，長度 l=71 mm，電容 C=71 nF，剛度 ks=120 N/μm，共振頻率 f=27 kHz。

圖3 微動平臺Fig.3 Micro-motion stage

2.1 固有頻率

微動平臺不僅應具有足夠的輸出位移，還需要具備快速響應和抗干擾能力，因此需要對微動平臺的動力學性能進行分析。根據(jù)偽剛體模型理論，將微動平臺機構的四個S型柔性鉸鏈簡化為彈簧，微動平臺機構的動力學模型見圖4所示。

圖4 微動平臺動力學模型Fig.4 Dynamics model

在力F驅(qū)動下，微位移機構產(chǎn)生的位移為x，則工作臺的平動動能:

微動平臺的等效質(zhì)量me為

系統(tǒng)的勢能:

微動平臺的等效剛度Ke為

可得固有頻率:

2.2 動力學分析

壓電堆棧驅(qū)動器驅(qū)動一維微動平臺可簡化圖5所示的彈簧、質(zhì)量和阻尼單自由度系統(tǒng)[12]。c為阻尼系數(shù)，k為壓電堆棧驅(qū)動器的剛度。

圖5 壓電驅(qū)動微動平臺模型Fig.5 Model of micro-motion stage actuated by PZT

一維微動平臺的動力學方程為

在階躍位移輸入x0條件下，輸出x:

式中:ω0——單自由度系統(tǒng)的固有角頻率;

ξ——阻尼比。

當系統(tǒng)達到穩(wěn)定后，一維微動平臺的輸出位移為

由式(4)可知，該微動平臺的穩(wěn)定輸出位移與壓電堆棧驅(qū)動器輸入位移呈線性關系，表明基于壓電堆棧驅(qū)動和S型柔性鉸鏈為定位機構設計的一維微動平臺可以獲得穩(wěn)定位移輸出。

3 一維微動平臺仿真分析

3.1 靜態(tài)仿真

根據(jù)微動平臺的實際尺寸建立微動平臺的有限元模型，采用Solid45單元，對模型進行網(wǎng)格劃分，生成的網(wǎng)格劃分模型，如圖6所示。對一維微動平臺施加7.2 kN的驅(qū)動力，經(jīng)ANSYS10.0后處理得到的位移云圖，如圖7所示。由圖7位移云圖可知，微動平臺x向輸出的最大位移為46.8 μm。

圖6 網(wǎng)格劃分模型Fig.6 Meshing

圖7 x軸方向位移云圖Fig.7 Displacement of x

經(jīng)ANSYS10.0后處理得應力云圖，如圖8所示。微動平臺的最大應力為37MPa，遠小于材料的許用應力340 MPa，所設計的一維微動平臺滿足強度設計要求。

圖8 應力云圖Fig.8 Principal stress

為研究一維微動平臺的輸出位移和最大應力與驅(qū)動力之間的關系，通過ANSYS10.0有限元分析軟件分析在1.2、2.4、3.6、4.8和6 kN 驅(qū)動載荷下，微動平臺的輸出位移和最大應力。利用Origin軟件繪出不同驅(qū)動載荷下，微動平臺的輸出位移曲線，如圖9所示。最大等效應力曲線如圖10所示。

從輸出位移和最大應力隨載荷變化的圖10可知:在不超過許用應力的范圍下，一維微動平臺的x向輸出位移和最大等效應力與驅(qū)動載荷成線性關系，輸入與輸出呈線性關系與動力學分析的結論一致。

圖9 x軸方向位移與載荷的關系Fig.9 x displacement vs load

圖10 等效應力與載荷的關系Fig.10 Mises stress and load

3.2 動態(tài)仿真

一維微動平臺在工作中應避免共振現(xiàn)象的發(fā)生，以保證結構不會破壞。通過模態(tài)分析可以得到微動平臺在工作中可能發(fā)生的行為，分析S型柔性鉸鏈的位置和質(zhì)量分布是否合理。對微動平臺進行模態(tài)分析，前六階模態(tài)云圖如圖11所示。一維微動平臺的各階固有頻率都遠小于壓電驅(qū)動器的共振頻率，遠離共振點，微動平臺處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)。

圖11 模態(tài)Fig.11 Modes

4 結束語

利用能量法的卡氏定理推導出S型柔性鉸鏈的x向剛度計算公式。在此基礎上設計了一維微動平臺，推導出該平臺固有頻率計算公式。利用 ANSYS10.0有限元分析軟件對壓電堆棧驅(qū)動一維微動平臺進行了動力學分析。結果表明:微動平臺的最大應力遠小于材料的許用應力，滿足強度設計要求;微動平臺的各階固有頻率都遠小于壓電驅(qū)動器的共振頻率，遠離共振點，微動平臺處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)。微動平臺的x向輸出位移和最大等效應力與驅(qū)動載荷成正比。在實際應用中，可根據(jù)位移與載荷的關系，控制壓電堆棧的驅(qū)動電壓以輸出相應的驅(qū)動力，獲得需要的微動平臺輸出位移。

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