閆龍海， 李 強， 于麗艷

(黑龍江科技大學 理學院，哈爾濱 150022)

齒輪傳動是利用兩齒輪的輪齒嚙合傳遞運動和力的機械傳動，因其具有傳動可靠、效率高、壽命長等特點而被廣泛地應用。在機械傳動裝置中，齒輪最重要的部分為輪齒。它的失效形式主要有輪齒折斷、齒面磨損、齒面點蝕和齒面膠合四種。齒輪彎曲應力和變形計算有四種方法，即材料力學方法、彈性力學方法、實驗分析方法和數(shù)值方法。隨著計算技術的迅速發(fā)展與廣泛應用，以有限元法為代表的數(shù)值計算方法在齒輪應力和變形的計算中應用更為廣泛。國內很多學者采用該方法對齒輪的彎曲應力問題進行了深入研究[1－4]，取得了一定成果。正交實驗設計方法主要適用于水平數(shù)相同或不相同的實驗，是一種高效、快速、經(jīng)濟的實驗設計方法。近年來，該方法應用極為廣泛。筆者借助ANSYS軟件，采用正交實驗設計方法[5－6]研究齒寬、齒數(shù)及扭矩對變速器齒輪彎曲應力的影響，為齒輪傳動裝置的設計提供了有益參考。

1 齒輪彎曲應力理論

齒輪齒根應力的計算方法，最早于1982年由法國的Wilfrecd Lewis根據(jù)材料力學懸臂梁理論提出?，F(xiàn)代工業(yè)對齒輪制造精度的要求越來越高，客觀上就要求不斷提高齒輪齒根應力的計算精度，為此，研究者逐步引入了各種修正系數(shù)對齒輪齒根傳統(tǒng)計算公式進行修正。目前，相關國際標準較多[7]，其中，疲勞點蝕是輪齒失效的一種重要形式。而齒面彎曲應力是影響齒面疲勞接觸強度的主要因素。文中將赫茲應力公式作為傳統(tǒng)計算應力方法，計算中，將接觸點兩齒廓曲率半徑當作兩接觸圓柱體的半徑，如圖1 所示，計算式見式(1)～(3)[8]。

圖1 彎曲應力計算Fig.1 Bending stress calculation chart

兩齒面間接觸應力

式中:Pca——單位齒長上的計算載荷，N/m，Pca=KFt/(bcos α);

K——載荷系數(shù);

b——齒寬，m;

α——壓力角，(°);

Ft——分度圓上圓周力，N，F(xiàn)t=2T/d1;

T——小齒輪上的初始轉矩，N·m;

d1——齒輪分度圓直徑，m;

ρ∑ ——綜合曲率半徑，m;

E1、E2——圓柱體1、2 的彈性模量，GPa;

μ1、μ2——圓柱體 1、2 的泊松比。

節(jié)點嚙合綜合曲率半徑計算式為

式中:U——齒數(shù)比。

將式(2)代入式(1)得

2 齒輪彎曲應力仿真

2.1 靜力仿真

2.1.1 數(shù)值模型

利用ANSYS軟件中建模方法建立一對漸開線直齒圓柱齒輪的嚙合模型，兩齒輪的尺寸相同。齒輪材料為45#鋼，彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3，摩擦系數(shù)為0.1，齒輪的基本參數(shù)見表1。

表1 基本參數(shù)Table 1 Basic parameters

建立齒輪單齒有限元模型，如圖2所示。

圖2 齒輪單齒廓有限元模型Fig.2 Finite element model of gear tooth

2.1.2 結果分析

載荷可以根據(jù)設計承載的扭矩計算求得，施加圓周力Ft為5 428 N，徑向力Fr為1 976 N，利用ANSYS求解器對齒輪進行求解，采用通用后處理器顯示齒輪分析結果，如圖3、4所示。圖3為輪齒整體變形圖，圖4為輪齒上節(jié)點的等效應力值。

圖3 齒輪輪齒發(fā)生的變形Fig.3 Deformation of gear tooth

圖4 等效應力云圖Fig.4 Equivalent stress nephogram

由應力云圖可得齒輪應力集中的位置，即齒輪輪齒易發(fā)生折斷的位置。齒根處的應力值為44.9 MPa。按照式(3)計算，求得齒根應力為48.3 MPa，其與仿真分析結果的誤差在允許范圍內。

2.2 動力仿真

2.2.1 數(shù)值模型

選取三對齒進行研究，劃分網(wǎng)格得到有限元模型，如圖5所示。

圖5 動力分析有限元模型Fig.5 Finite element model of dynamic analysis

分析中，設定動力分析參數(shù)，施加載荷，其中，正力矩為455 N·m，負力矩為 －455 N·m，轉速為97.2 r/min。

2.2.2 結果分析

利用ANSYS軟件中的LS－DYNA進行求解，得到等效應力云圖，如圖6所示。

圖6 等效應力云圖Fig.6 Equivalent stress nephogram

由圖6可得，齒輪在外力的作用下最大應力為123 MPa，齒輪的許用彎曲應力為622 MPa，因此，符合強度要求。除了齒根上的最大應力，其他部分的應力分布遠遠小于許用應力。采用傳統(tǒng)方法(式(3))計算齒根彎曲應力，求得齒根彎曲疲勞強度為115 MPa。由此可知，ANSYS分析方法與傳統(tǒng)公式求得的結果均在許用應力范圍之內，且誤差不大。

3 正交實驗

3.1 實驗結果

齒輪損壞主要發(fā)生在其工作的動力狀態(tài)，因此，文中基于齒輪的動力學分析，選取齒輪的彎曲應力為實驗目標，進行正交實驗。根據(jù)彎曲應力的理論計算公式，選取齒寬(A)、齒數(shù)(B)、扭矩(C)為影響因素，忽略其他因素的影響，且每個因素選取三個水平，四因素三水平(L9(34))的正交實驗方案見表2。

表2 正交實驗結果Table 2 Orthogonal experimental data and result

由表2可知，對于齒輪彎曲應力而言，扭矩的極差最大，即對彎曲應力的影響最大。齒輪的彎曲應力伴隨扭矩的增大而增大;齒數(shù)次之，齒寬的極差為14，與扭矩和齒數(shù)的極差相比相差較大，因此，對齒輪彎曲應力的影響程度非常小，可忽略不計。

該實驗中，實驗指標是齒輪的彎曲應力，指標越小越好，所以應挑選每個因素的 K1、K2、K3(或 k1、k2、k3)中最小值對應的水平，由于A因素列:K2＜K3＜K1;B因素列:K1＜K2＜K3;C因素列:K1＜K2＜K3，所以，最優(yōu)方案為 A2B1C1，即齒寬為14 mm，齒數(shù)為27個，扭矩為450 N·m。

3.2 回歸分析

分別以齒輪齒寬、齒數(shù)及扭矩的水平為橫坐標，彎曲應力綜合平均值為縱坐標，作出評價指標(彎曲應力)與實驗因素(齒寬、齒數(shù)及扭矩)的趨勢圖，如圖7所示。

圖7 評價指標與實驗因素影響趨勢Fig.7 Tendency of influence of evaluating indicator and experimental factor

從圖7可以看出，扭矩對齒輪彎曲應力的影響最大，齒數(shù)次之，齒寬接近水平直線，對齒輪彎曲應力的影響較小。通過圖7也可以看出，齒輪彎曲應力與其顯著因子之間均存在著比較明顯的線性關系，故文中采用多元線性回歸模型進行分析計算。

設自變量x1為齒數(shù)，自變量x2為扭矩，因變量y為齒輪的彎曲應力，采用的多元線性回歸模型如下:

式中:β0——常數(shù)項;

β1、β2——y 對 x1和 x2的偏回歸系數(shù)，分別反映齒數(shù)和扭矩對齒輪彎曲應力的影響程度。

利用MATLAB軟件對實驗數(shù)據(jù)進行處理，得到二元線性回歸方程的回歸系數(shù)β0、β1和β2，分別為－3 730、7.5、8.0，由此得到理論回歸方程:

由該方程可以看出，彎曲應力與齒數(shù)、扭矩成正比。采用復相關系數(shù)法對回歸方程進行檢驗，經(jīng)計算，本例的復相關系數(shù)R為 0.997，當R越接近1時，相對誤差量就越接近0，說明回歸方程可靠性較好，在設計中具有參考價值。

4 結論

(1)利用ANSYS軟件建立圓柱齒輪模型施加動載，計算得齒輪最大應力為123 MPa，而傳統(tǒng)理論公式計算齒輪彎曲應力為115 MPa，兩者相差不大，表明仿真計算可行。

(2)采用正交實驗方法設計實驗，對實驗結果進行直觀分析，結果顯示，扭矩對齒輪彎曲應力的影響最大，齒數(shù)次之，齒寬對齒輪彎曲應力的影響較小，可忽略。

(3)根據(jù)多元線性回歸原理建立彎曲應力與扭矩、齒數(shù)的關系方程，計算結果驗證了回歸方程的可靠性。

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