繆油花　胡大鈞　閆春宇

摘 要：隨著汽車性能和速度的提高，對變速箱齒輪也提出了更高的要求。為較好地改善齒輪傳動性能，有必要對齒輪進(jìn)行靜力學(xué)以及動力學(xué)分析。對于齒輪的靜力學(xué)分析，本文利用ANSYS對齒輪進(jìn)行了齒根彎曲應(yīng)力分析以及齒輪接觸應(yīng)力分析。對于齒輪的動力學(xué)分析，本文利用ANSYS對其進(jìn)行了模態(tài)分析，提取了齒輪的前十階固有頻率和固有振型。最后實驗表明，基于ANSYS的齒輪彎曲應(yīng)力和接觸應(yīng)力相比較傳統(tǒng)方法具有一定的裕度，而模態(tài)分析能較形象地展現(xiàn)其振型。

關(guān)鍵詞：齒輪；彎曲應(yīng)力；接觸應(yīng)力；模態(tài)分析

引言

隨著汽車性能和速度的提高，對變速箱齒輪也提出了更高的要求。改善齒輪傳動性能成為齒輪設(shè)計中的重要內(nèi)容。為了避免由于齒輪接觸疲勞而引發(fā)的行駛事故，有必要對齒輪的齒根彎曲應(yīng)力和齒面接觸應(yīng)力進(jìn)行分析和評估。同理，為避免由于齒輪共振引起的輪體破壞，有必要對齒輪進(jìn)行固有特性分析，通過調(diào)整齒輪的固有振動頻率使其共振轉(zhuǎn)速離開工作轉(zhuǎn)速。

齒輪的工作壽命與最大彎曲應(yīng)力值的六次方成反比，因此最大彎曲應(yīng)力略微減小，齒輪工作壽命即會大大提高[1]。齒輪的最大彎曲應(yīng)力往往出現(xiàn)在齒輪的齒根過渡曲線處，因此精確計算漸開線齒輪齒根過渡曲線處的應(yīng)力，進(jìn)而合理設(shè)計過渡曲線，對延長齒輪工作壽命、提高齒輪承載能力至關(guān)重要。

為了進(jìn)行齒面接觸強(qiáng)度計算，分析齒面失效和潤滑狀態(tài)，必須分析齒面的接觸應(yīng)力。經(jīng)典的齒面接觸應(yīng)力計算公式是建立在彈性力學(xué)基礎(chǔ)上，而對于齒輪的接觸強(qiáng)度計算均以兩平行圓柱體對壓的赫茲公式為基礎(chǔ)。但由于齒輪副嚙合齒面的幾何形狀十分復(fù)雜，采用上面的方法準(zhǔn)確計算輪齒應(yīng)力和載荷分配等問題非常困難甚至無法實現(xiàn)。隨著計算機(jī)的普及，齒輪接觸問題的數(shù)值解法獲得了越來越廣泛的應(yīng)用。

齒輪副在工作時，在內(nèi)部和外部激勵下將發(fā)生機(jī)械振動。振動系統(tǒng)的固有特性，一般包括固有頻率和主振型，它是系統(tǒng)的動態(tài)特性之一，同時也可以作為其它動力學(xué)分析的起點，對系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)、動載荷的產(chǎn)生與傳遞以及系統(tǒng)振動的形式等都具有重要的影響。

本文應(yīng)用有限元分析法分析齒輪的彎曲應(yīng)力、接觸應(yīng)力以及齒輪的模態(tài)。首先介紹一下為建立齒輪的三維實體模型；其次為齒輪的彎曲應(yīng)力分析；再次為齒輪的接觸應(yīng)力分析；然后為齒輪的模態(tài)分析；最后為實驗結(jié)果與分析。

1 齒輪三維實體建模

雖然ANSYS 軟件本身具有建模功能，但是其建模能力非常有限，只能處理一些相對簡單的模型。與此對比的是Pro/E擁有強(qiáng)大的參數(shù)化設(shè)計能力，可以進(jìn)行復(fù)雜的實體造型。所以，利用ANSYS 與Pro/E軟件之間的模型數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換，就可以充分發(fā)揮Pro/E 軟件強(qiáng)大的造型能力與ANSYS 軟件強(qiáng)大的分析功能。

1.1 齒輪參數(shù)化建模的基本過程

（1） 創(chuàng)建齒輪參數(shù)及驅(qū)動方程，并繪制齒輪基本圓。

（2） 創(chuàng)建一個漸開線齒廓曲線

繪制出一側(cè)的漸開線后即可“鏡像”出齒輪另一側(cè)的漸開線，從而生成漸開線齒廓曲線。然后對齒廓曲線進(jìn)行“倒角”等處理，繼而由“拉伸”和“實體化”功能，可產(chǎn)生第一個齒形輪廓的完整三維實體造型。

（3） 創(chuàng)建完整的直齒輪

運用“特征操作”“復(fù)制”命令將創(chuàng)建的一個齒糟繞齒輪中心軸旋轉(zhuǎn)360/Z創(chuàng)建副本，然后利用“陣列”命令生成其它的齒廓。然后可以利用“拉伸工具”“去除材料”命令，創(chuàng)建齒輪輪轂和腹板等。再開鍵槽、倒角，最終生成直齒輪模型。

（4） 實現(xiàn)齒輪參數(shù)化的自動生成。

1.2 利用Pro/E對齒輪進(jìn)行裝配

（1） 裝配前的準(zhǔn)備。啟動Pro/E之后，建立一個新文件，文件類型選擇為組件，子類型為實體。接著創(chuàng)建2條相互平行的線AA_1和AA_2，2條線之間的距離為d=■m（z1+z2）。

（2） 齒輪的裝配。首先調(diào)入齒輪1，使齒輪1的軸線與AA_1對齊，中心面和FRONT面對齊。接著調(diào)入齒輪2，使齒輪2的軸線與AA_2對齊，并且使齒輪2的中心面和FRONT面對齊即可。

2 齒輪彎曲應(yīng)力分析

目前的齒輪彎曲強(qiáng)度計算公式是以路易斯所提出的計算公式為基礎(chǔ)，采用各種系數(shù)修正材料強(qiáng)度和齒輪的載荷，并考慮齒輪精度的影響，以接近臨界載荷的計算法作為主要的方法[2]。本文中的大小齒輪材料相同，小齒輪的齒根應(yīng)力均大于大齒輪的齒根應(yīng)力，所以在進(jìn)行齒根彎曲強(qiáng)度校核的時候只需對小齒輪進(jìn)行校核即可。

齒輪彎曲應(yīng)力的限元分析的步驟[3]為：（1）選擇材料及網(wǎng)格單元劃分；（2）約束條件和施加載荷。（3）計算求解及后處理。

2.1 選擇材料及網(wǎng)格單元劃分

根據(jù)本文需要的精度要求以及計算機(jī)的性能，本文選擇的單元類型為8節(jié)點四面體單元So1id45；同時，定義彈性模量E=206Gpa，泊松比v=0.28，密度？籽=7.8×103kg/cm3；齒輪的網(wǎng)格單元劃分選擇自由網(wǎng)格劃分方式。

2.2 約束條件和施加載荷

施加位移約束：對齒輪內(nèi)孔分別對X、Y、Z三個方向上的平動和轉(zhuǎn)動進(jìn)行約束。輪齒在受載時，齒根所受的彎矩最大。根據(jù)分析，齒根所受的最大彎矩發(fā)生在輪齒嚙合點位于單對嚙合區(qū)最高點。因此，齒根彎曲強(qiáng)度也應(yīng)該按載荷作用于單對嚙合區(qū)最高點來計算。為了便于計算和施加載荷，通常將全部載荷作用于齒頂，作用方向為齒頂圓壓力角。

2.3 計算求解及后處理

ANSYS提供了2個后處理器：通用后處理器和時間歷程后處理器。本文對齒輪進(jìn)行的是靜態(tài)分析，采用通用后處理器對求解結(jié)果進(jìn)行后處理。

3 齒輪接觸應(yīng)力分析

彈性接觸問題屬于邊界非線性問題，其中既有接觸區(qū)變化引起的非線性，又有接觸壓力分布變化引起的非線性以及摩擦作用產(chǎn)生的非線性，求解過程是搜尋準(zhǔn)確的接觸狀態(tài)的反復(fù)迭代過程[4]。為此，需要先假定一個可能的接觸狀態(tài)，然后帶入定解條件，得到接觸點的接觸內(nèi)力和位移，判斷是否滿足接觸條件。當(dāng)不滿足接觸條件時修改接觸點的接觸狀態(tài)重新求解，直到所有接觸點都滿足接觸條件為止。

3.1 ANSYS的接觸類型與接觸方式

ANSYS軟件提供了兩種接觸類型[5]：剛體一柔體接觸與柔體一柔體接觸。剛體一柔體接觸，適用于兩接觸面的剛度相差較大的物體間接觸；柔體一柔體接觸是一種更普遍的類型，適用于兩個彈性模量和結(jié)構(gòu)剛性比較接近的物體間接觸。本文中分析的一對嚙合齒輪材料相同，有近似的剛度，故采用柔體一柔體接觸。

ANSYS軟件支持三種接觸方式[5]：點點接觸、點面接觸與面面接觸。圓柱齒輪傳動過程中，由于接觸部剛度的變化，導(dǎo)致齒面的接觸實際上是發(fā)生在接觸線附近有限的面上，故本文選用面面接觸進(jìn)行齒輪的接觸分析。

3.2 ANSYS接觸算法選擇

ANSYS在對接觸問題的求解上提供三類算法[6]：拉格朗日乘子，罰函數(shù)法和增廣拉格朗日乘子法。

對于齒輪接觸問題的求解算法，最適合的應(yīng)該是增廣拉格朗日乘子法。此算法通過拉格朗日乘子迭代，最終求得滿足精度要求的接觸力，而在整個過程中不增加總體方程的未知數(shù)個數(shù)，而且通過迭代求解大大降低了對罰剛度值選取的要求，同時數(shù)值實施較方便，接觸條件能精確滿足。

3.3齒輪有限元接觸分析步驟

齒輪接觸應(yīng)力的限元分析的步驟為：（1）定義單元屬性和網(wǎng)格劃分；（2）定義接觸對；（3）約束條件和施加載荷；（4）定義求解和載荷步選項及后處理。

3.3.1 定義單元屬性和網(wǎng)格劃分

選用六面體八節(jié)點單元solid45進(jìn)行網(wǎng)格劃分。其力學(xué)特性為彈性模量E=206GPa，泊松比v=0.28，密度？籽=7.8×103kg/cm3，摩擦系數(shù)為f=0.3。采用自由劃分，并利用網(wǎng)格劃分控制對局部網(wǎng)格尺寸進(jìn)行控制。

3.3.2 定義接觸對

計算該對齒輪的重合系數(shù)？著，重合度公式為：

（1）

式中：Z1、Z2分別為齒輪1和齒輪2的齒數(shù)；？墜a1和？墜a2分別為齒輪1和齒輪2的齒頂圓壓力角；？墜'為該對齒輪的嚙合角。

將數(shù)據(jù)代入式（1）得到重合系數(shù)ε=1.65。在齒輪傳動過程中有1.3個齒輪處于單齒嚙合區(qū)，有0.35個齒輪處于雙齒嚙合區(qū)。因此設(shè)置2對齒輪接觸對（2個面為目標(biāo)單元面，另2個面為接觸單元面）。

利用接觸對導(dǎo)向來創(chuàng)建接觸對，創(chuàng)建一對接觸對。接著，采用相同的方向來創(chuàng)建另一對接觸對。

3.3.3 約束條件和施加載荷

根據(jù)齒輪運動規(guī)律，在從動輪中心孔處的所有節(jié)點施加全約束，在主動輪中心孔處的所有節(jié)點施加約束和切向力，施加約束和載荷結(jié)果。

3.3.4 定義求解和載荷步選項及后處理

打開求解控制器，定義分析選項選為靜態(tài)大變形分析，并將將載荷步設(shè)置為20。之后可進(jìn)行非線性求解，求解。待求解結(jié)束后，可用通用后處理器采用圖和列表的形式查看求解結(jié)果。

4 齒輪模態(tài)分析

靜力學(xué)分析能夠確保結(jié)構(gòu)可以承受穩(wěn)定載荷的條件，但是這些遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，在靜力學(xué)分析的基礎(chǔ)上，還有必要了解齒輪的動力學(xué)性能。而模態(tài)分析是動力學(xué)分析的起點。模態(tài)分析用于確定設(shè)計結(jié)構(gòu)振動的固有特性，即結(jié)構(gòu)的固有頻率和主振型，它們是動態(tài)載荷結(jié)構(gòu)設(shè)計中的重要參數(shù)。齒輪傳動是重要的機(jī)械傳動形式，為了避免在機(jī)械振動過程中發(fā)生嚴(yán)重破壞，有必要對整個齒輪傳動系統(tǒng)進(jìn)行模態(tài)分析，求出固有頻率和主振型。在進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計時，使激振力的頻率與系統(tǒng)的固有頻率錯開，可以有效的避免共振的發(fā)生。

模態(tài)分析過程主要由四個步驟組成：建模、網(wǎng)格劃分、加載及求解、查看結(jié)果和后處理。

4.1 定義單元屬性和網(wǎng)格劃分

本文選用六面體八節(jié)點單元solid45進(jìn)行網(wǎng)格劃分。其力學(xué)特性為彈性模量和靜力學(xué)分析時相同。網(wǎng)格劃分采用自由劃分，并利用網(wǎng)格劃分控制對局部網(wǎng)格尺寸進(jìn)行控制。對總體單元大小和面單元大小的長度設(shè)置為3。

4.2 加載及求解

模態(tài)分析中唯一有效的“載荷”是零位移約束，如果在某個自由度處指定了一個非零位移約束，程序?qū)⒁粤阄灰萍s束替代在該自由度處的設(shè)置。為了正確的施加位移約束，將節(jié)點坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)到柱坐標(biāo)系下，則X、Y、Z分別代表R（徑向）、？茲（周向）、Z（軸向）。對齒輪內(nèi)圈表面上的其中一個節(jié)點施加所有位移約束。

進(jìn)入求解器，設(shè)定分析類型為模態(tài)分析，提取前10階模態(tài)。在不考慮預(yù)應(yīng)力的影響，采用稀疏矩陣求解器求解。查看求解選項確認(rèn)無誤后進(jìn)行求解。

4.3 查看結(jié)果以及后處理

查看結(jié)果和后處理包括讀入載荷步數(shù)據(jù)；列出所有固有頻率；動畫顯示振動模態(tài)；列出主自由度。

5 實驗結(jié)果與分析

5.1 齒輪彎曲應(yīng)力分析

對于齒輪彎曲應(yīng)力分析，本文得到的結(jié)果如圖1所示。其中圖1（a）、（b）、（c）分別為X、Y、Z三個方向的彎曲應(yīng)力分布情況。

為比較該方法的效果，本文還將該方法與傳統(tǒng)方法進(jìn)行了對比。表1為用這兩種方法求得的結(jié)果。

表1 結(jié)果比較

由表1可知，有限元法分析的是整個輪齒的應(yīng)力分布情況，而傳統(tǒng)方法只能計算齒根處的彎曲應(yīng)力，沒有將齒頂處的應(yīng)力集中考慮在內(nèi)；對于齒根處的彎曲應(yīng)力，從表1中可以看出齒根處得應(yīng)力為223.023左右，而傳統(tǒng)方法計算為454MPa，用傳統(tǒng)方法得到的結(jié)果具有一定的裕度。

5.2 齒輪接觸應(yīng)力分析

對于齒輪接觸應(yīng)力分析，最后得到的接觸應(yīng)力分布如圖2所示。

同理，為驗證有限元分析的效果，本文還將其與傳統(tǒng)方法進(jìn)行了比較。表2為用這兩種方法求得的結(jié)果。

表2 接觸應(yīng)力比較

由表2可知ANSYS分析的結(jié)果明顯小于赫茲公式求得的結(jié)果。這可能是由以下原因造成的：ANSYS分析的是接觸應(yīng)力分布情況，而赫茲公式求得的是齒面接觸疲勞強(qiáng)度，還考慮了疲勞破壞的因素。ANSYS分析方法與赫茲公式求得的結(jié)果都在許用應(yīng)力范圍之內(nèi)，但是赫茲公式求得的結(jié)果具有較大的裕度。

5.3 齒輪模態(tài)分析實驗

利用ANSYS通用后處理器方便地對其進(jìn)行觀察和分析，并可以對各階模態(tài)振型進(jìn)行動畫顯示。

本文主要是對汽車變速器中的齒輪進(jìn)行了彎曲應(yīng)力、接觸應(yīng)力以及模態(tài)分析?；贏NSYS的建模能力不是很強(qiáng)，本文使用Pro/E對其進(jìn)行建模；對于彎曲應(yīng)力，小齒輪的齒根應(yīng)力均大于大齒輪的齒根應(yīng)力，所以在進(jìn)行齒根彎曲強(qiáng)度校核的時候只需對小齒輪進(jìn)行校核即可；對于齒輪接觸應(yīng)力，其求解過程為非線性過程，最后能得到接觸應(yīng)力的應(yīng)力分布；模態(tài)分析是齒輪進(jìn)行后續(xù)動力學(xué)分析的基礎(chǔ)，利用ANSYS可提取其振型。

參考文獻(xiàn)

[1]林吉靚，等.基于ANSYS的齒輪參數(shù)化建模和彎曲應(yīng)力分析[J].制造業(yè)信息化，2007.

[2]王建敏.大模數(shù)漸開線直齒圓柱齒輪彎曲強(qiáng)度研究[J].鄭州機(jī)械研究所，2006.

[3]楊創(chuàng)創(chuàng)，等.有限元軟件ANSYS11.0上機(jī)指導(dǎo)[J].陜西：西北農(nóng)林科技大學(xué)機(jī)電學(xué)院，2010.

[4]黃亞玲.基于ANSYS的斜齒輪接觸非線性有限元分析[J].理論與探索，2006.

[5]ANSYS接觸分析實例[EB/OL]http：//www.docin.com/p-26093486.html.

[6]雷鐳，等.基于ANSYS有限元軟件的直齒輪接觸應(yīng)力分析[J].機(jī)械傳動，2006.

3.1 ANSYS的接觸類型與接觸方式

ANSYS軟件提供了兩種接觸類型[5]：剛體一柔體接觸與柔體一柔體接觸。剛體一柔體接觸，適用于兩接觸面的剛度相差較大的物體間接觸；柔體一柔體接觸是一種更普遍的類型，適用于兩個彈性模量和結(jié)構(gòu)剛性比較接近的物體間接觸。本文中分析的一對嚙合齒輪材料相同，有近似的剛度，故采用柔體一柔體接觸。

ANSYS軟件支持三種接觸方式[5]：點點接觸、點面接觸與面面接觸。圓柱齒輪傳動過程中，由于接觸部剛度的變化，導(dǎo)致齒面的接觸實際上是發(fā)生在接觸線附近有限的面上，故本文選用面面接觸進(jìn)行齒輪的接觸分析。

3.2 ANSYS接觸算法選擇

ANSYS在對接觸問題的求解上提供三類算法[6]：拉格朗日乘子，罰函數(shù)法和增廣拉格朗日乘子法。

對于齒輪接觸問題的求解算法，最適合的應(yīng)該是增廣拉格朗日乘子法。此算法通過拉格朗日乘子迭代，最終求得滿足精度要求的接觸力，而在整個過程中不增加總體方程的未知數(shù)個數(shù)，而且通過迭代求解大大降低了對罰剛度值選取的要求，同時數(shù)值實施較方便，接觸條件能精確滿足。

3.3齒輪有限元接觸分析步驟

齒輪接觸應(yīng)力的限元分析的步驟為：（1）定義單元屬性和網(wǎng)格劃分；（2）定義接觸對；（3）約束條件和施加載荷；（4）定義求解和載荷步選項及后處理。

3.3.1 定義單元屬性和網(wǎng)格劃分

選用六面體八節(jié)點單元solid45進(jìn)行網(wǎng)格劃分。其力學(xué)特性為彈性模量E=206GPa，泊松比v=0.28，密度？籽=7.8×103kg/cm3，摩擦系數(shù)為f=0.3。采用自由劃分，并利用網(wǎng)格劃分控制對局部網(wǎng)格尺寸進(jìn)行控制。

3.3.2 定義接觸對

計算該對齒輪的重合系數(shù)？著，重合度公式為：

（1）

式中：Z1、Z2分別為齒輪1和齒輪2的齒數(shù)；？墜a1和？墜a2分別為齒輪1和齒輪2的齒頂圓壓力角；？墜'為該對齒輪的嚙合角。

將數(shù)據(jù)代入式（1）得到重合系數(shù)ε=1.65。在齒輪傳動過程中有1.3個齒輪處于單齒嚙合區(qū)，有0.35個齒輪處于雙齒嚙合區(qū)。因此設(shè)置2對齒輪接觸對（2個面為目標(biāo)單元面，另2個面為接觸單元面）。

利用接觸對導(dǎo)向來創(chuàng)建接觸對，創(chuàng)建一對接觸對。接著，采用相同的方向來創(chuàng)建另一對接觸對。

3.3.3 約束條件和施加載荷

根據(jù)齒輪運動規(guī)律，在從動輪中心孔處的所有節(jié)點施加全約束，在主動輪中心孔處的所有節(jié)點施加約束和切向力，施加約束和載荷結(jié)果。

3.3.4 定義求解和載荷步選項及后處理

打開求解控制器，定義分析選項選為靜態(tài)大變形分析，并將將載荷步設(shè)置為20。之后可進(jìn)行非線性求解，求解。待求解結(jié)束后，可用通用后處理器采用圖和列表的形式查看求解結(jié)果。

4 齒輪模態(tài)分析

靜力學(xué)分析能夠確保結(jié)構(gòu)可以承受穩(wěn)定載荷的條件，但是這些遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，在靜力學(xué)分析的基礎(chǔ)上，還有必要了解齒輪的動力學(xué)性能。而模態(tài)分析是動力學(xué)分析的起點。模態(tài)分析用于確定設(shè)計結(jié)構(gòu)振動的固有特性，即結(jié)構(gòu)的固有頻率和主振型，它們是動態(tài)載荷結(jié)構(gòu)設(shè)計中的重要參數(shù)。齒輪傳動是重要的機(jī)械傳動形式，為了避免在機(jī)械振動過程中發(fā)生嚴(yán)重破壞，有必要對整個齒輪傳動系統(tǒng)進(jìn)行模態(tài)分析，求出固有頻率和主振型。在進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計時，使激振力的頻率與系統(tǒng)的固有頻率錯開，可以有效的避免共振的發(fā)生。

模態(tài)分析過程主要由四個步驟組成：建模、網(wǎng)格劃分、加載及求解、查看結(jié)果和后處理。

4.1 定義單元屬性和網(wǎng)格劃分

本文選用六面體八節(jié)點單元solid45進(jìn)行網(wǎng)格劃分。其力學(xué)特性為彈性模量和靜力學(xué)分析時相同。網(wǎng)格劃分采用自由劃分，并利用網(wǎng)格劃分控制對局部網(wǎng)格尺寸進(jìn)行控制。對總體單元大小和面單元大小的長度設(shè)置為3。

4.2 加載及求解

模態(tài)分析中唯一有效的“載荷”是零位移約束，如果在某個自由度處指定了一個非零位移約束，程序?qū)⒁粤阄灰萍s束替代在該自由度處的設(shè)置。為了正確的施加位移約束，將節(jié)點坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)到柱坐標(biāo)系下，則X、Y、Z分別代表R（徑向）、？茲（周向）、Z（軸向）。對齒輪內(nèi)圈表面上的其中一個節(jié)點施加所有位移約束。

進(jìn)入求解器，設(shè)定分析類型為模態(tài)分析，提取前10階模態(tài)。在不考慮預(yù)應(yīng)力的影響，采用稀疏矩陣求解器求解。查看求解選項確認(rèn)無誤后進(jìn)行求解。

4.3 查看結(jié)果以及后處理

查看結(jié)果和后處理包括讀入載荷步數(shù)據(jù)；列出所有固有頻率；動畫顯示振動模態(tài)；列出主自由度。

5 實驗結(jié)果與分析

5.1 齒輪彎曲應(yīng)力分析

對于齒輪彎曲應(yīng)力分析，本文得到的結(jié)果如圖1所示。其中圖1（a）、（b）、（c）分別為X、Y、Z三個方向的彎曲應(yīng)力分布情況。

為比較該方法的效果，本文還將該方法與傳統(tǒng)方法進(jìn)行了對比。表1為用這兩種方法求得的結(jié)果。

表1 結(jié)果比較

由表1可知，有限元法分析的是整個輪齒的應(yīng)力分布情況，而傳統(tǒng)方法只能計算齒根處的彎曲應(yīng)力，沒有將齒頂處的應(yīng)力集中考慮在內(nèi)；對于齒根處的彎曲應(yīng)力，從表1中可以看出齒根處得應(yīng)力為223.023左右，而傳統(tǒng)方法計算為454MPa，用傳統(tǒng)方法得到的結(jié)果具有一定的裕度。

5.2 齒輪接觸應(yīng)力分析

對于齒輪接觸應(yīng)力分析，最后得到的接觸應(yīng)力分布如圖2所示。

同理，為驗證有限元分析的效果，本文還將其與傳統(tǒng)方法進(jìn)行了比較。表2為用這兩種方法求得的結(jié)果。

表2 接觸應(yīng)力比較

由表2可知ANSYS分析的結(jié)果明顯小于赫茲公式求得的結(jié)果。這可能是由以下原因造成的：ANSYS分析的是接觸應(yīng)力分布情況，而赫茲公式求得的是齒面接觸疲勞強(qiáng)度，還考慮了疲勞破壞的因素。ANSYS分析方法與赫茲公式求得的結(jié)果都在許用應(yīng)力范圍之內(nèi)，但是赫茲公式求得的結(jié)果具有較大的裕度。

5.3 齒輪模態(tài)分析實驗

利用ANSYS通用后處理器方便地對其進(jìn)行觀察和分析，并可以對各階模態(tài)振型進(jìn)行動畫顯示。

本文主要是對汽車變速器中的齒輪進(jìn)行了彎曲應(yīng)力、接觸應(yīng)力以及模態(tài)分析?；贏NSYS的建模能力不是很強(qiáng)，本文使用Pro/E對其進(jìn)行建模；對于彎曲應(yīng)力，小齒輪的齒根應(yīng)力均大于大齒輪的齒根應(yīng)力，所以在進(jìn)行齒根彎曲強(qiáng)度校核的時候只需對小齒輪進(jìn)行校核即可；對于齒輪接觸應(yīng)力，其求解過程為非線性過程，最后能得到接觸應(yīng)力的應(yīng)力分布；模態(tài)分析是齒輪進(jìn)行后續(xù)動力學(xué)分析的基礎(chǔ)，利用ANSYS可提取其振型。

參考文獻(xiàn)

[1]林吉靚，等.基于ANSYS的齒輪參數(shù)化建模和彎曲應(yīng)力分析[J].制造業(yè)信息化，2007.

[2]王建敏.大模數(shù)漸開線直齒圓柱齒輪彎曲強(qiáng)度研究[J].鄭州機(jī)械研究所，2006.

[3]楊創(chuàng)創(chuàng)，等.有限元軟件ANSYS11.0上機(jī)指導(dǎo)[J].陜西：西北農(nóng)林科技大學(xué)機(jī)電學(xué)院，2010.

[4]黃亞玲.基于ANSYS的斜齒輪接觸非線性有限元分析[J].理論與探索，2006.

[5]ANSYS接觸分析實例[EB/OL]http：//www.docin.com/p-26093486.html.

[6]雷鐳，等.基于ANSYS有限元軟件的直齒輪接觸應(yīng)力分析[J].機(jī)械傳動，2006.

3.1 ANSYS的接觸類型與接觸方式

ANSYS軟件提供了兩種接觸類型[5]：剛體一柔體接觸與柔體一柔體接觸。剛體一柔體接觸，適用于兩接觸面的剛度相差較大的物體間接觸；柔體一柔體接觸是一種更普遍的類型，適用于兩個彈性模量和結(jié)構(gòu)剛性比較接近的物體間接觸。本文中分析的一對嚙合齒輪材料相同，有近似的剛度，故采用柔體一柔體接觸。

ANSYS軟件支持三種接觸方式[5]：點點接觸、點面接觸與面面接觸。圓柱齒輪傳動過程中，由于接觸部剛度的變化，導(dǎo)致齒面的接觸實際上是發(fā)生在接觸線附近有限的面上，故本文選用面面接觸進(jìn)行齒輪的接觸分析。

3.2 ANSYS接觸算法選擇

ANSYS在對接觸問題的求解上提供三類算法[6]：拉格朗日乘子，罰函數(shù)法和增廣拉格朗日乘子法。

對于齒輪接觸問題的求解算法，最適合的應(yīng)該是增廣拉格朗日乘子法。此算法通過拉格朗日乘子迭代，最終求得滿足精度要求的接觸力，而在整個過程中不增加總體方程的未知數(shù)個數(shù)，而且通過迭代求解大大降低了對罰剛度值選取的要求，同時數(shù)值實施較方便，接觸條件能精確滿足。

3.3齒輪有限元接觸分析步驟

齒輪接觸應(yīng)力的限元分析的步驟為：（1）定義單元屬性和網(wǎng)格劃分；（2）定義接觸對；（3）約束條件和施加載荷；（4）定義求解和載荷步選項及后處理。

3.3.1 定義單元屬性和網(wǎng)格劃分

選用六面體八節(jié)點單元solid45進(jìn)行網(wǎng)格劃分。其力學(xué)特性為彈性模量E=206GPa，泊松比v=0.28，密度？籽=7.8×103kg/cm3，摩擦系數(shù)為f=0.3。采用自由劃分，并利用網(wǎng)格劃分控制對局部網(wǎng)格尺寸進(jìn)行控制。

3.3.2 定義接觸對

計算該對齒輪的重合系數(shù)？著，重合度公式為：

（1）

式中：Z1、Z2分別為齒輪1和齒輪2的齒數(shù)；？墜a1和？墜a2分別為齒輪1和齒輪2的齒頂圓壓力角；？墜'為該對齒輪的嚙合角。

將數(shù)據(jù)代入式（1）得到重合系數(shù)ε=1.65。在齒輪傳動過程中有1.3個齒輪處于單齒嚙合區(qū)，有0.35個齒輪處于雙齒嚙合區(qū)。因此設(shè)置2對齒輪接觸對（2個面為目標(biāo)單元面，另2個面為接觸單元面）。

利用接觸對導(dǎo)向來創(chuàng)建接觸對，創(chuàng)建一對接觸對。接著，采用相同的方向來創(chuàng)建另一對接觸對。

3.3.3 約束條件和施加載荷

根據(jù)齒輪運動規(guī)律，在從動輪中心孔處的所有節(jié)點施加全約束，在主動輪中心孔處的所有節(jié)點施加約束和切向力，施加約束和載荷結(jié)果。

3.3.4 定義求解和載荷步選項及后處理

打開求解控制器，定義分析選項選為靜態(tài)大變形分析，并將將載荷步設(shè)置為20。之后可進(jìn)行非線性求解，求解。待求解結(jié)束后，可用通用后處理器采用圖和列表的形式查看求解結(jié)果。

4 齒輪模態(tài)分析

靜力學(xué)分析能夠確保結(jié)構(gòu)可以承受穩(wěn)定載荷的條件，但是這些遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，在靜力學(xué)分析的基礎(chǔ)上，還有必要了解齒輪的動力學(xué)性能。而模態(tài)分析是動力學(xué)分析的起點。模態(tài)分析用于確定設(shè)計結(jié)構(gòu)振動的固有特性，即結(jié)構(gòu)的固有頻率和主振型，它們是動態(tài)載荷結(jié)構(gòu)設(shè)計中的重要參數(shù)。齒輪傳動是重要的機(jī)械傳動形式，為了避免在機(jī)械振動過程中發(fā)生嚴(yán)重破壞，有必要對整個齒輪傳動系統(tǒng)進(jìn)行模態(tài)分析，求出固有頻率和主振型。在進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計時，使激振力的頻率與系統(tǒng)的固有頻率錯開，可以有效的避免共振的發(fā)生。

模態(tài)分析過程主要由四個步驟組成：建模、網(wǎng)格劃分、加載及求解、查看結(jié)果和后處理。

4.1 定義單元屬性和網(wǎng)格劃分

本文選用六面體八節(jié)點單元solid45進(jìn)行網(wǎng)格劃分。其力學(xué)特性為彈性模量和靜力學(xué)分析時相同。網(wǎng)格劃分采用自由劃分，并利用網(wǎng)格劃分控制對局部網(wǎng)格尺寸進(jìn)行控制。對總體單元大小和面單元大小的長度設(shè)置為3。

4.2 加載及求解

模態(tài)分析中唯一有效的“載荷”是零位移約束，如果在某個自由度處指定了一個非零位移約束，程序?qū)⒁粤阄灰萍s束替代在該自由度處的設(shè)置。為了正確的施加位移約束，將節(jié)點坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)到柱坐標(biāo)系下，則X、Y、Z分別代表R（徑向）、？茲（周向）、Z（軸向）。對齒輪內(nèi)圈表面上的其中一個節(jié)點施加所有位移約束。

進(jìn)入求解器，設(shè)定分析類型為模態(tài)分析，提取前10階模態(tài)。在不考慮預(yù)應(yīng)力的影響，采用稀疏矩陣求解器求解。查看求解選項確認(rèn)無誤后進(jìn)行求解。

4.3 查看結(jié)果以及后處理

查看結(jié)果和后處理包括讀入載荷步數(shù)據(jù)；列出所有固有頻率；動畫顯示振動模態(tài)；列出主自由度。

5 實驗結(jié)果與分析

5.1 齒輪彎曲應(yīng)力分析

對于齒輪彎曲應(yīng)力分析，本文得到的結(jié)果如圖1所示。其中圖1（a）、（b）、（c）分別為X、Y、Z三個方向的彎曲應(yīng)力分布情況。

為比較該方法的效果，本文還將該方法與傳統(tǒng)方法進(jìn)行了對比。表1為用這兩種方法求得的結(jié)果。

表1 結(jié)果比較

由表1可知，有限元法分析的是整個輪齒的應(yīng)力分布情況，而傳統(tǒng)方法只能計算齒根處的彎曲應(yīng)力，沒有將齒頂處的應(yīng)力集中考慮在內(nèi)；對于齒根處的彎曲應(yīng)力，從表1中可以看出齒根處得應(yīng)力為223.023左右，而傳統(tǒng)方法計算為454MPa，用傳統(tǒng)方法得到的結(jié)果具有一定的裕度。

5.2 齒輪接觸應(yīng)力分析

對于齒輪接觸應(yīng)力分析，最后得到的接觸應(yīng)力分布如圖2所示。

同理，為驗證有限元分析的效果，本文還將其與傳統(tǒng)方法進(jìn)行了比較。表2為用這兩種方法求得的結(jié)果。

表2 接觸應(yīng)力比較

由表2可知ANSYS分析的結(jié)果明顯小于赫茲公式求得的結(jié)果。這可能是由以下原因造成的：ANSYS分析的是接觸應(yīng)力分布情況，而赫茲公式求得的是齒面接觸疲勞強(qiáng)度，還考慮了疲勞破壞的因素。ANSYS分析方法與赫茲公式求得的結(jié)果都在許用應(yīng)力范圍之內(nèi)，但是赫茲公式求得的結(jié)果具有較大的裕度。

5.3 齒輪模態(tài)分析實驗

利用ANSYS通用后處理器方便地對其進(jìn)行觀察和分析，并可以對各階模態(tài)振型進(jìn)行動畫顯示。

本文主要是對汽車變速器中的齒輪進(jìn)行了彎曲應(yīng)力、接觸應(yīng)力以及模態(tài)分析?；贏NSYS的建模能力不是很強(qiáng)，本文使用Pro/E對其進(jìn)行建模；對于彎曲應(yīng)力，小齒輪的齒根應(yīng)力均大于大齒輪的齒根應(yīng)力，所以在進(jìn)行齒根彎曲強(qiáng)度校核的時候只需對小齒輪進(jìn)行校核即可；對于齒輪接觸應(yīng)力，其求解過程為非線性過程，最后能得到接觸應(yīng)力的應(yīng)力分布；模態(tài)分析是齒輪進(jìn)行后續(xù)動力學(xué)分析的基礎(chǔ)，利用ANSYS可提取其振型。

參考文獻(xiàn)

[1]林吉靚，等.基于ANSYS的齒輪參數(shù)化建模和彎曲應(yīng)力分析[J].制造業(yè)信息化，2007.

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[6]雷鐳，等.基于ANSYS有限元軟件的直齒輪接觸應(yīng)力分析[J].機(jī)械傳動，2006.