石惠敏, 王元恒

(浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

2個漸近擬偽壓縮型非自映像公共不動點的強收斂性定理*

石惠敏, 王元恒

(浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

在實Banach空間中引入了一種關(guān)于2個漸近擬偽壓縮型非自映像的新型帶誤差修正的混合Ishikawa迭代序列;并在適當?shù)臈l件下,巧妙證明了此迭代序列的強收斂性.所得結(jié)果改進和推廣了許多已有結(jié)果.

漸近擬偽壓縮;非自映像;帶誤差修正的Ishikawa 迭代;公共不動點

0 引 言

在非線性分析中,不動點問題是人們比較關(guān)注的重點問題之一,因為這類問題在微分方程、優(yōu)化理論、通訊工程、圖像處理和理論物理等方面都有著廣泛的應(yīng)用.近年來,人們分別從空間、 映像以及映像滿足的條件等方面對不動點的問題做了進一步的研究,并得到了許多結(jié)果[1-7].2003年,Chidume等[8]在一致凸Banach空間中首先提出了漸近非擴張非自映像的概念.之后,許多學者研究了漸近非擴張非自映像、漸近偽壓縮自或非自映像不動點的強收斂性問題.2008年,文獻[9]引入漸近擬偽壓縮型映像,并得到以下結(jié)果:

定理1[9]設(shè)X是任意實Banch空間,K是X的非空凸集,T:K→K是一致L-Lipschitz的漸近擬偽壓縮型映像,其漸近系數(shù)為kn≥1.假設(shè)αn,βn,γn,δn是[0,1]中的實序列,且滿足以下條件:

1)αn+γn≤1,βn+δn≤1;

給定x0∈K,{xn}是帶誤差的修改的Ishikawa迭代序列.任給x*∈F(T),則{xn}強收斂于x*的充要條件是存在一嚴格增加函數(shù)φ:[0,∞)→[0,∞),φ(0)=0,使得

受以上文獻的啟發(fā),本文在任意實Banach空間中,對于2個漸近擬偽壓縮型非自映像的公共不動點,引入一種新型帶誤差修正的Ishikawa迭代序列,并在適當?shù)臈l件下,巧妙利用該迭代格式的特征證明了它的強收斂性.

因為本文所研究的是2個映像T1和T2的公共不動點,研究的映像是非自映像(包括自映像),其迭代格式是2個映像混合的修正的新Ishikawa迭代格式,所以本文結(jié)果在一定程度上改進和推廣了文獻[1-6,8-9]的結(jié)果.

1 預(yù)備知識

設(shè)X是一個實Banach空間,其對偶空間為X*,〈5,5〉表示X與X*之間的廣義配對.J:X→2X*是由下列定義的正規(guī)對偶映像:

J(x)={f∈X*:〈x,f〉=‖x‖‖f‖,‖x‖=‖f‖},?x∈X.

設(shè)K是實Banach空間X的非空子集.若存在從X到K上的連續(xù)映像P,使得Px=x,?x∈K,則稱K為是X的收縮核,稱P為X到K上的收縮映像.

定義1設(shè)K是實Banach空間X的收縮核,具有收縮映像P:X→K,T是從K到X的映像.

〈T(PT)n-1x-T(PT)n-1y,j(x-y)〉≤kn‖x-y‖2,

則稱T為廣義漸近偽壓縮的非自映像.

2)若對?x,y∈K,存在L≥1,使得

‖T(PT)n-1x-T(PT)n-1y‖≤L‖x-y‖,

則稱T為廣義一致L-lipschitz的非自映像.

則稱T為廣義漸近偽壓縮型非自映像.

則稱T為廣義漸近擬偽壓縮型非自映像.

注1由定義1知,廣義漸近偽壓縮非自映像和廣義漸近偽壓縮型非自映像都是廣義漸近擬偽壓縮型非自映像的推廣.

定義2設(shè)X是實Banach空間,K是X的收縮核,具有收縮映像P:X→K,映像T1,T2都是廣義一致L-Lipschitz的非自映像,且T1是廣義漸近擬偽壓縮型非自映像.

稱由下式定義的序列{xn}為新型帶誤差修正的混合Ishikawa迭代序列:

式(1)中:{αn},{βn},{γn},{α′n},{β′n},{γ′n}都是[0,1]中的數(shù)列;{μn},{υn}有界.

引理1[9]設(shè)φ(s)是實的[0,+∞]上的嚴格增加函數(shù),且φ(0)=0,n0是一個非負整數(shù).若當n≥n0時,An,Bn,Cn,εn和αn都是非負整數(shù)并且滿足如下條件:

1)An+1≤(1+Bn)An-αnφ(An+1)+αnεn+Cn;

2 主要結(jié)果

給定x1∈K,{xn}由迭代序列(1)生成.對于x*∈F, 有如下結(jié)果:

(3)

則{xn}強收斂于x*.

②反之,若{xn}強收斂于x*,則存在非負增函數(shù)φ:[0,∞)→[0,∞),且φ(0)=0,使得式(3)成立.

證明 ①設(shè)ε′n=inf[〈T1(PT1)n-1xn+1-x*,j(xn+1-x*)〉-kn‖xn+1-x*‖2+φ(‖xn+1-x*‖)],εn=max{ε′n,0}+1/n,則存在j(xn+1-x*)∈J(xn+1-x*),使得

〈T1(PT1)n-1xn+1-x*,j(xn+1-x*)〉-kn‖xn+1-x*‖2+φ(‖xn+1-x*‖)<ε′n+1/n≤εn.

‖δn-x*‖≤β′n‖T2(PT2)xn-x*‖+(1-β′n)‖xn-x*‖≤β′nL‖xn-x*‖+‖xn-x*‖;

‖yn-x*‖≤(1-α′n-γ′n)‖xn-x*‖+α′nL‖δn-x*‖+γ′n‖υn-x*‖≤

‖xn-x*‖+α′nβ′nL2‖xn-x*‖+α′nL‖xn-x*‖+γ′nM=

(1+α′nβ′nL2+α′nL)‖xn-x*‖+γ′nM≤(1+L+L2)‖xn-x*‖+M;

‖σn-x*‖≤βn‖T1(PT1)n-1yn-x*‖+(1-βn)‖yn-x*‖≤

βnL‖yn-x*‖+‖yn-x*‖≤(1+L)(1+L+L2)‖xn-x*‖+(1+L)M;

‖yn-xn+1‖≤αnL‖σn-x*‖+αn‖xn-x*‖+α′nL‖δn-x*‖+

α′n‖xn-x*‖+(γn+γ′n)‖xn-x*‖+(γn+γ′n)M≤

αnL[(1+L)(1+L+L2)‖xn-x*‖+(1+L)M]+

α′nL[(1+β′nL)‖xn-x*‖]+(αn+α′n+γn+γ′n)‖xn-x*‖+(γn+γ′n)M≤

[αnL(1+L)(1+L+L2)+α′nL(1+β′nL)+αn+α′n+γn+γ′n]‖xn-x*‖+

(αnL(1+L)+γn+γ′n)M;

‖σn-xn+1‖≤‖yn-xn+1‖+βn‖T1(PT1)n-1yn-yn‖≤sn‖xn-x*‖+tn.

其中:

sn=αnL(1+L)(1+L+L2)+α′nL(1+β′nL)+αn+α′n+γn+γ′n+βn(1+L)(1+L+L2);

tn=[αnL(1+L)+γn+γ′n+βn(1+L)]M.

于是:

2αn〈T1(PT1)n-1σn-T1(PT1)n-1xn+1,j(xn+1-x*)〉≤

2αnL‖xn+1-x*‖‖σn-xn+1‖≤2αnL‖xn+1-x*‖[sn‖xn-x*‖+tn];

(4)

‖xn+1-x*‖2≤(1-αn-γn)2‖xn-x*‖2+

2αn〈T1(PT1)n-1σn-x*,j(xn+1-x*)〉+2γn〈μn-x*,j(xn+1-x*〉≤

(1-αn-γn)2‖xn-x*‖2+2αn〈T1(PT1)n-1σn-T1(PT1)n-1xn+1,j(xn+1-x*)〉+

2αn〈T1(PT1)n-1xn+1-x*,j(xn+1-x*)〉+2γnM‖xn+1-x*‖.

(5)

對于式(5)右邊第3項,有

2αn〈T1(PT1)n-1xn+1-x*,j(xn+1-x*)〉=2αndn+2αn[kn‖xn+1-x*‖2-φ(‖xn+1-x*‖)]≤

2αnεn+2αn[kn‖xn+1-x*‖2-φ(‖xn+1-x*‖)].

其中,

dn=〈T1(PT1)n-1xn+1-x*,j(xn+1-x*)〉-kn‖xn+1-x*‖2+φ(‖xn+1-x*‖)≤εn.

把式(4)代入式(5)并化簡得

‖xn+1-x*‖2≤(1-αn)2‖xn-x*‖2+2αnεn+2αnkn‖xn+1-x*‖2-2αnφ(‖xn+1-x*‖)+

2αnL(sn‖xn-x*‖+tn)‖xn+1-x*‖+2γnM‖xn+1-x*‖.

(6)

引入下列記號:

ξn=Lαnsn=L2α2n(1+L)(1+L+L2)+αnα′nL2(1+β′nL)+α2nL+

αnα′nL+Lαnγn+Lαnγ′n+Lαnβn(1+L)(1+L+L2);

(7)

ρn=Lαntn+Mγn=[α2nL2(1+L)+Lαnγn+Lαnγ′n+αnβn(L+L2)]M+γnM.

(8)

則式(6)化簡為

An+1≤(1-αn)2An+2αnεn+2αnknAn+1-αnφ(An+1)+2(ξn‖xn-x*‖+ρn)‖xn+1-x*‖.

利用不等式2ab≤a2+b2得

An+1≤(1-αn)2An+2αnεn+2αnknAn+1-αnφ(An+1)+ξn(An+An+1)+ρn(1+An+1)=

(1-2αn+α2n+ξn)An+(2αnkn+ξn+ρn)An+1-αnφ(An+1)+2αnεn+ρn.

(9)

根據(jù)假設(shè)條件,由式(7)和式(8)得

當n≥n0時,0≤Bn≤2[2αn(kn-1)+α2n+2ξn+ρn],0≤Cn≤2ρn,由式(9)得

An+1≤(1+Bn)An-αnφ(An+1)+4αnεn+Cn,?n≥n0.

‖xn-x*‖2=0.

②設(shè){xn}強收斂于x*∈F,由于xn∈K,且T:K→X是廣義漸近擬偽壓縮型非自映像,根據(jù)廣義漸近擬偽壓縮型非自映像的定義,有

注2由于具有不動點的廣義漸近偽壓縮型非自映像是廣義漸近擬偽壓縮型非自映像的特例,所以對于漸近偽壓縮型非自映像也有相應(yīng)結(jié)論成立.

注3顯然,定理2中,若非自映像T1,T2:K→K是自映像,則可以在迭代式(1)中取非擴張收縮映像P=I為恒等映像,式(1)即為自映像的新型帶誤差修正的混合Ishikawa迭代序列;若再對于2個映像有T1=T2=T,則式(1)即為自映像的新型帶誤差修正的Ishikawa迭代序列;若再進一步有βn=β′n=0,則式(1)即為通常的自映像的帶誤差的Ishikawa迭代序列.特別當T1=T2=T:K→K是自映像,P=I為恒等映像,βn=β′n=0時,定理 2 就是文獻[9]中的定理 3.1(即本文的定理1).因此,本文的結(jié)果在一定程度上推廣和改進了許多已有的結(jié)果,例如文獻[1-6,8-9]的結(jié)果.

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(責任編輯 陶立方)

Strongconvergencetheoremsforcommonfixedpointsoftwoasymptoticallyquasipseudo-contractivetypenonself-mappings

SHI Huimin, WANG Yuanheng

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)

It was introduced a new modified hybrid Ishikawa iterative sequence with error for common fixed points of two asymptotically quasi pseudo-contractive type nonself-mappings in a real Banach space. By manipulating the iterative format, some strong convergence theorems were proved under suitable assumptions. The results improved and generalized the existed results in literatures.

asymptotically quasi pseudo-contractive type; nonself-mapping; modified Ishikawa iteration with error; common fixed point

O177.91

A

1001-5051(2013)04-0396-05

2013-09-03

國家自然科學基金資助項目(11271330);浙江省自然科學基金資助項目(Y6110270)

石惠敏(1987-),女,河南焦作人,碩士研究生.研究方向：非線性泛函分析.

王元恒.Email: yhwang@zjnu.cn