翟 峰， 汪 娟

(浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

基于石墨烯塊材料的谷過濾器*

翟 峰， 汪 娟

(浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

綜述了石墨烯谷電子學的部分研究進展；探討了在二端石墨烯塊材料中產生谷極化電流的可能性.在塊材料中，有2種與谷自由度直接耦合的勢能：應變產生的贗矢量勢和依賴于子晶格的靜電勢(交錯勢能).對稱性分析表明，僅靠這2種勢能的作用不能產生谷極化的輸出電流.若將這2種勢能分別和普通的磁電壘聯合，就能獲得顯著的谷過濾效應.利用交錯勢能和磁電壘聯合調制產生的谷電流可通過逆谷Hall效應測量.

石墨烯；谷電子學；谷過濾器；應變；交錯勢能

0 引 言

石墨烯中的電子具有多個內稟自由度，除了通常的自旋和電荷自由度外，還包括谷自由度(源于2個不等價的Dirac點)和贗自旋自由度(源于2套不等價的子晶格).借鑒半導體電子學中對電子自旋自由度的研究思路[1]，石墨烯能帶的二重谷簡并特性已被用于設計電子器件,谷電子學應運而生.石墨烯的2個谷(K和K′ 谷)由時間反演操作聯系在一起.石墨烯塊材料中“谷”間散射源于短程無序勢(附加原子、點缺陷等)，其平均自由程可達到1 μm.谷電子學的基本問題之一是如何產生谷極化的電子分布.基于具有zigzag邊界的石墨烯條帶和靜電調制，Beenakker研究小組[2]設計了一種只允許某個谷的電子通過的器件.2個平行排列的“谷”過濾器則構成1個“谷”閥門.“谷”閥門的電流抑制源于zigzag型石墨烯條帶中電子隧穿的宇稱效應.K和K′谷在zigzag型條帶中是獨立的，在armchair型條帶中混合在一起.2種納米條帶的雜合提供了一種調制谷極化的可能途徑[3].這些設計方案需要精確控制石墨烯條帶的邊界,很難得到廣泛應用.在遠離Dirac點處，由于石墨烯能譜的三角彎曲效應，電子的群速度依賴于谷自由度.這個特性可用于產生高度谷極化的電子束[4].

以上這些研究都側重于谷極化的電場控制.本文將基于石墨烯塊材料，探討谷極化的磁場調控.這種研究思路可移植到硅烯、MoS2等新興材料中.

1 模型和公式

磁場在自旋電子學[1]和谷電子學中扮演的角色不同.在自旋電子學中,磁場是控制自旋的常用手段.外磁場可通過塞曼效應極化電子自旋，在具有大因子的半導體中,這種自旋-磁場耦合作用表現更為明顯.對于方向隨空間變化的非均勻磁場，電子的不同自旋分量還會發(fā)生混合.相比之下，石墨烯中的谷間散射和能級的谷劈裂即使在磁場達到104T時也可以忽略.自旋電子學中的自旋軌道耦合提供了一種通過改變載流子的軌道運動來調節(jié)其自旋態(tài)的途徑.當二端波導體系的輸出端處于單通道輸運區(qū)時，由于時間反演對稱，單獨靠自旋軌道耦合不能在波導體系中產生自旋極化[5].在谷電子學中，有2種機制類似于自旋電子學中的自旋軌道耦合，它們是平面應變和子晶格依賴的靜電勢UAB.

由哈密頓 (1) 配合適當的邊界條件可構成一個散射問題.它的求解通常比較復雜.本文只考慮體系沿某個方向平移不變的簡單情形.若將這個方向取為y軸，則動量分量py=?ky守恒.對位于τ谷、能量為E、橫向波矢為ky的電子，其波函數可寫為[11]

式(2)中：旋量ψτ(x,ky)滿足Hτ(ky)ψτ(x,ky)=Eψτ(x,ky)；τ谷電子的哈密頓量Hτ為

對此散射問題，電子的透射幾率T=Tτ(E,ky)可通過散射矩陣的數值方法[12]來計算.對于給定的費米能EF，在低溫TK(絕對溫度的單位為E0/kB)下，谷相關的電導表達式為

式(4)中:f(E)={1+exp[(E-EF)/TK]}-1是費米-狄拉克分布函數;Tτ(E,ky)=|tτ(E,ky)|2為透射幾率;Ly是樣品沿y方向的尺寸.以下數值計算中將電導單位取為G0=e2Ly/(2π2?).體系的總電導和谷極化的表達式為

2 對稱性分析

當磁壘不存在時，哈密頓量(3)滿足對稱性[13]

這意味著Tτ(E,ky)=T-τ(E,-ky)，即K′谷電子的透射譜可由K谷電子的透射譜經過相對ky=0 的鏡像對稱操作得到.結合式(4)～式(5)，給出谷極化P=0.因此，對我們考慮的體系，磁壘是產生谷極化的必要條件，僅靠彈性形變和交錯勢不能夠在二端石墨烯器件中產生谷極化.值得指出的是，若不施加局域磁場和應變場，則τ谷電子的透射譜自身相對ky=0具有鏡像對稱[14]，即

當磁壘和襯底應變同時作用到石墨烯薄膜上時，K谷和K′谷在倒空間將發(fā)生大小不相等的位移.這足以產生谷過濾.不施加應變，僅靠磁壘和均勻的交錯勢UAB能否產生谷極化?為了回答這個問題，筆者寫出ψτ=(ψτ+,ψτ-)T的2個分量在ASy≡0時滿足的微分方程[13]

當?xUAB=?xU=0時，F±τ=0，方程(10)與谷指標無關.因此,這種情形不能產生谷極化.若想利用磁壘和均勻的交錯勢產生谷極化，還需靜電調制(?xU≠0).

3 數值結果和討論

以2個簡單的體系為例，說明利用應變場與局域磁場的組合、交錯勢能與局域磁場的組合來產生谷過濾的可行性.

圖1 給出了第1個體系的結構示意圖,應變發(fā)生在寬度為LS的區(qū)域.寬度為LS的鐵磁條沉積在介電層(圖中的灰色層)上，產生局域磁場.這是一個應變石墨烯谷過濾器，局域磁場由磁化強度沿x軸的鐵磁條產生.為簡單起見，相應的磁矢勢以及應變產生的規(guī)范勢近似取為

式(11)中:AM和LM分別表示磁勢壘的強度和寬度;xM=LS+D;D是磁勢壘和應力區(qū)間的距離;Θ(x)是Heaviside臺階函數.標量勢U在應力區(qū)和磁壘區(qū)的高度均為US，在其他區(qū)域為零.為了減少可調參數的數目，統(tǒng)一選取結構參數為LM=LS=D=1，設定磁壘高度AM=2.

圖1 應變石墨烯谷過濾器

圖2 電子透射幾率隨入射能量和入射角的變化

圖2給出了谷相關的透射幾率Tτ隨入射角θ=arcsin(ky/E)和入射能量E的變化.圖2中,US= 3，應變強度AS從上到下分別取值4，2，1.從圖2中觀察到透射幾率的角各向異性和共振隧穿.這可從磁壘和應力區(qū)域存在的衰減模來理解[15].由于這種情況對矢勢分布有很強的依賴性，所以K和K′谷的電子透射譜會有很大的差異.實際上，在圖2中也看到,入射能量E在某些范圍內，K谷的電子能夠在很寬的θ區(qū)域內透射穿過系統(tǒng)，而K′谷的電子卻在所有的θ區(qū)域內全部反射回去.電子傳輸也可以由應變強度AS來調制.AM遠大于AS的情況下，傳輸的各向異性主要由磁勢引起.當AS遠大于AM時，傳輸的各向異性則主要由應變引起.這種特征可由E<0的傳輸譜看出.在給定的參數條件下，對正能量入射，AS=AM時,K谷和K′谷的電子傳輸差別最顯著.

圖3 谷相關的電導和谷極化隨費米 能量EF 的變化(溫度TK = 0.5)

圖3是針對圖1中的體系計算谷相關的電導和谷極化隨費米能量EF的變化.K谷和K′谷的電子傳輸差異在電導上也可以反映出來.圖3給出了谷相關的電導和相應的谷極化曲線.共振傳輸的存在使零溫電導存在強烈的振蕩.這種振蕩在相對高的溫度TK= 0.5時就被消除了.由圖2可知,EF<0 時,電導主要決定于max(AS,AM)，而且對谷的依賴比較小.因此,主要集中討論EF>0的情況.EF>US時,K谷電子的電導普遍大于K′谷電子的電導.這個現象可以從磁壘區(qū)和應力區(qū)狄拉克點的位置移動(δkM和δkS)來理解.在K谷，狄拉克點的位移δkM和δkS是同方向的，而在K′谷，位移δkM和δkS是反方向的.δkM和δkS平行移動的情況比反平行移動的情況具有更多的傳播通道.當傳播通道被矢勢耗盡時，電導Gτ受到抑制.注意到在很寬的能量區(qū)域中，電導G+1顯著不為零而電導G-1接近零.基于這個特征，筆者提出的器件能過濾出K′ 谷的電流而產生谷極化電流.在總電導比較顯著的某些區(qū)域可得到超過80%的谷極化.類似于自旋流，谷電流在線性響應區(qū)可由ΔG=G+1-G-1表征.在費米能較高的區(qū)域ΔG隨EF變化很小，而此時極化P單調減小.

上述模型計算表明，利用應變場與局域磁場的組合可在石墨烯塊材料中產生具有顯著谷極化的電流.改變應變AS的符號或反轉鐵磁條的磁化方向都會改變谷極化的極性.如何探測輸出電流的谷極化？目前提出的探測機制有2種：1)石墨烯在正常區(qū)/超導區(qū)的Andreev反射[16]；2)石墨烯空間反演破缺時的逆谷Hall效應[9].若利用這2種機制來探測圖 1 中體系產生的谷極化，都需另行設計精巧的實驗裝置.這也是目前多數谷過濾方案面臨的問題.對谷電子學而言，最好能在同一個體系中實現谷極化的產生和探測.為此,筆者考慮均勻的交錯勢能與局域磁場的組合,在石墨烯的絕緣層上沉積鐵磁金屬條或超導金屬條可獲得所需的局域磁場.圖4是基于交錯勢和局域磁場調制的石墨烯谷過濾器，陰影區(qū)域為介電層.輸出電流的谷極化可用逆谷Hall效應測量.靜電調制由在金屬柵極上施加電壓產生,在樣品的兩側接上電壓探針.當右側的輸出端電流存在谷極化時，電壓探針將發(fā)生偏轉[9].

圖4 交錯勢和局域磁場調制的石墨烯谷過濾器

圖5 電子透射幾率隨橫向波矢ky的變化

對圖4的體系，在磁場和電勢都是矩形分布的情形下，即

筆者可給出透射幾率的解析表達式.式(12)中的BS,US都是常數，BS>0,UAB>0.在磁壘區(qū)0

對給定的入射能E>UAB或E<-UAB，波矢ki,k0實際上不依賴于谷指標τ.引入符號

其中Dp(X)是p階拋物圓柱函數.τ谷電子的透射幾率可寫為

式(18)中:k-i=ki-ikyi；k+0=k0+iky0.這個表達式對谷指標τ的依賴來自參數γτ.當US=0時，顯然有T+=T-.這和前面的對稱分析是一致的.

對矩形的磁電壘，圖5 畫出了透射幾率(式18)隨橫向波矢ky的變化曲線.圖5中交錯勢能取為UAB=4，入射能量取為E=7，結構參數為L=2，US=±15.5,BS=0,1,2,3.透射曲線相對ky=0是鏡像對稱的.這是因為，當矢勢Ay(x)關于某條中心線x=xc呈反對稱分布(同時電勢呈對稱分布)時，操作σzRx將Hτ(ky)變?yōu)镠τ(-ky).此處Rx是反射操作x→2xc-x.當BS=0時,透射幾率不依賴于谷指標 ,見圖5(a).從圖5(a)還可看出，當US>2UAB，即電子發(fā)生帶間隧穿時，透射曲線上可能出現顯著的Fabry-P′erot共振峰.對小的BS，透射幾率的谷簡并被解除，原來的共振峰將發(fā)生劈裂.隨著磁壘高度BS的增大,見圖5(b)～圖5(d)，一些共振峰向|ky|大的方向移動并最終消失，T+,T-的差別可能增大.相對帶內隧穿(US<0)而言，帶間隧穿(US>2Δ)可導致更顯著的谷差異.這可從γ±對磁壘和電壘高度的依賴關系來理解.由于零溫電導G±正比于T±對ky的積分，圖5(b)～圖5(d)展示的透射幾率曲線意味著非零的谷極化.

4 結 論

本文基于二端石墨烯塊材料，討論了谷極化電流產生的可能性.筆者考慮了2種谷相關的勢能：應變產生的贗矢量勢和依賴于子晶格的靜電勢(交錯勢能).對稱性分析給出了利用這2種勢能產生谷極化的必要條件.通過2個具體模型的計算，發(fā)現這2種勢能和局域磁場、靜電勢能的聯合可能產生顯著的谷過濾效應.利用交錯勢能與磁電壘聯合調制產生的谷極化可通過逆谷Hall效應測量.

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(責任編輯 杜利民)

Valleyfiltersbasedonbulkgraphene

ZHAI Feng, WANG Juan

(CollegeofMathematics，PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)

It was reviewed some progresses in graphene valleytronics. The feasibility of generating a valley-polarized current in two-terminal bulk graphene systems was discussed. It was showed that there existed two kinds of potentials coupling directly with the valley degree of freedom: strain-induced pseudo vector potential and sublattice-dependent electrostatic potential (staggered potential). It was found from the symmetry analysis that the two potentials alone could not produce a valley polarization in the output current. It was also found that remarkable valley filtering could be achieved when electrons in bulk graphene were modulated by the combination of a conventional magnetic-electric barrier with either of the two potentials. The valley current obtained from the combination of a staggered potential and a magnetic-electric barrier could be detected by means of the inverse valley Hall effect.

graphene; valleytronics; valley filter; strain; staggered potential

O488；O484

A

1001-5051(2013)04-0386-06

2013-05-30

國家自然科學基金資助項目(11174252)

翟 峰(1976-)，男，湖北應城人，副教授，博士.研究方向：理論凝聚態(tài)物理.