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(臺州市教育局教學研究室 浙江臺州 318000)

一道新定義幾何題的“前生、今世、未來”

●蔣榮清

(臺州市教育局教學研究室 浙江臺州 318000)

碰到一道好的數學題，看過、做過、反思過之后，猶如品茶的3種境界——得到、得韻、得味．近幾年在初中畢業(yè)生學業(yè)考試中，新定義的試題屢見不鮮，這些題往往讓人眼前一亮，頗具匠心．2011年臺州市初中畢業(yè)生學業(yè)考試中一道新定義的幾何題，給筆者留下了深刻的印象．

圖1 圖2 圖3

(1)如圖2，已知在Rt△ABC中，∠A=30°，求λA,λB.

(2)在每個小正方形邊長均為1的4×4方格紙上(如圖3)，畫一個△ABC，使其頂點在格點(格點即每個小正方形的頂點)上，且λA=2，面積為2.

(3)判斷下列3個命題的真假(真命題打“√”，假命題打“×”)：

①若△ABC中λA<1，則△ABC為銳角三角形；

( )

②若△ABC中λA=1，則△ABC為直角三角形；

( )

③若△ABC中λA>1，則△ABC為鈍角三角形．

( )

(2011年臺州市初中畢業(yè)生學業(yè)考試數學試題)

1 此題的“前生”

此題的“前生”為2003年安徽省數學中考試題的第24題：

圖4

例2如圖4，等腰三角形與正三角形的形狀有差異，我們把等腰三角形與正三角形的接近程度稱為“正度”．在研究“正度”時，應保證相似三角形的“正度”相等．設等腰三角形的底和腰分別為a,b，底角和頂角分別為α,β，要求“正度”的值是非負數．

學生甲認為：可用|a-b|來表示“正度”，|a-b|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形.

學生乙認為：可用式子|α-β|來表示“正度”，|α-β|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形．

探究(1)他們的方案哪個較合理，為什么？

(2)對你認為不夠合理的方案，請加以改進(給出式子即可).

(3)請再給出一種衡量“正度”的表達式．

此題構思之妙，讓人拍案叫絕！該題給筆者的感受有以下4點：

(1)課改理念到位.新課程改革中一方面要關注學生創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，關注學生自我學習能力的養(yǎng)成；另一方面既要重視結果性評價，也要重視過程性評價．該題很好地體現了課改理念，值得一提的是，本題在如何考查學生“發(fā)現問題和提出問題能力、分析問題和解決問題能力”給出了很好的樣板．

第(1)小題要求學生能從已知中發(fā)掘出“正度”定義的合理性，即相似三角形“正度”的不變性．這對學生的發(fā)現問題能力進行了有效的考查．第(2)小題要求考生對不合理的方案能加以修正，正是對學生分析問題和解決問題能力的很好考查．第(3)小題直接考查學生提出問題的能力．

(2)背景熟悉明了.對于三角形、等腰三角形、正三角形的概念在義務教育數學課程第一、二學段就有介紹，三角形相似則在第三學段出現，因此這樣的背景對學生來說是熟悉的．

(3)梯度設置合理.試題解決過程的思維呈線性上升，環(huán)環(huán)相扣．要解決第(2)小題,需有解決第(1)小題的能力．而第(3)小題更是一個綜合的要求，只有透徹理解“正度”的概念，才有可能提出新的“正度”表達方式．

(4)構思可以類比.類比是發(fā)現和提出新問題的重要途徑．命題也是如此，類比是其常用的法寶．該題給命題者留有很大的創(chuàng)造空間．如三角形類比為四邊形、五邊形等．接近度適用的范圍就很廣了，是極限的雛形．等腰三角形與正三角形接近度可類比一般三角形與等腰三角形接近度，正是源于這樣的想法，才構造出例1．

2 此題的今世

此題的“十月懷胎”過程有點曲折，差點“流產”，下面慢慢道來．

類比例2，設想命制一個關于一般三角形與等腰三角形接近度這樣一個新定義的題．問題的任務具有一定的層次性，設計若干個由淺入深的問題，難度在0.5～0.6之間．各小題之間的聯(lián)系緊密，問題的設置由易到難，環(huán)環(huán)相扣，要求學生對這個新概念有不同的認知需求．具體讓學生經歷閱讀理解、計算、作圖等一系列操作以及綜合判斷的過程，從而加深新定義的理解和應用．希望體現對過程與方法、數學思考、創(chuàng)新思維、學習能力的考查.這也是選拔性考試的需要．

圖5

(具體解答略.)

三稿決定不出現偏度這個概念，這樣有效地避免了對定義的望文生義，產生不必要的糾纏．

四稿對于這個比值作了一個特別的補充，這也是數學定義中經常采用的方法．增加“特別地，當點D，E重合時，規(guī)定λA=0”，主要考慮到當點D，E重合時，DE如何算的問題．

至于后面3個問題的設計，是關注學生的層次性，前面問題的解決將為后面的問題提供思路，思維的要求由低到高．其設計思路沿襲了2009年臺州市初中畢業(yè)生學業(yè)考試數學試題第23題的形式．第(1)小題只要能理解這個定義，直接運用定義即可；第(2)小題是定義的逆向運用，對于定義的內涵要有更深層次的理解；第(3)小題要求對前2個小題進行概括和提煉，設計成是非題是為了降低難度，提高得分率，當然對于該小題的信度有微小的影響．

第(2)小題的難度也可調整，如果改變條件讓畫出的結果不唯一，或者附加另外一些條件都將增加思維的深度和廣度．

第(3)小題若題論題，則不到對數學更高層次的解讀．在第(3)小題中，3個命題囊括了銳角三角形、直角三角形、鈍角三角，并且就用本題定義的比值來判定，更妙的是分類的界點是1，因此從形式上給人以數學美的享受．

第(3)小題更一般的結論如下：

①△ABC為銳角三角形?λA,λB,λC的值均屬于區(qū)間(0,1)(特別地，當λA,λB,λC均為0時，△ABC為正三角形)；

②△ABC為直角三角形?λA,λB,λC的值恰有一個為1，另2個比值小于1；

③△ABC為鈍角三角形?λA,λB,λC的值恰有一個大于1，另2個比值小于1.

3 此題的未來

多數學生進入高中后，早已忘卻初中階段的試題．其實例1與高中教材中的圓錐曲線有相似之處．因為圓錐曲線分成橢圓、拋物線、雙曲線，以離心率e與1的大小進行分類：橢圓的離心率01．這種相似性，體現了數學的結構美與統(tǒng)一美．

從上述對一個題目編制過程的反思，對于新定義型試題的命制，所呈現的素材不能隨意捏造，要符合數學內部系統(tǒng)的規(guī)范性、科學性、嚴謹性.問題設置也要符合學生的認知規(guī)律，只有充分考慮到以上各種因素，才能使這類試題既有助于推進命題技術的進步，又能為實施素質教育和培養(yǎng)創(chuàng)新能力帶來新的導向.