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(晉州市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 河北晉州 052260)

數(shù)學(xué)思維的5個(gè)品質(zhì)
——以2013年中考典題的破解為例

●苑建廣

(晉州市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 河北晉州 052260)

數(shù)學(xué)與思維猶如一對夫妻，共同演繹著千古不朽的神話.“數(shù)學(xué)是思維的體操”，數(shù)學(xué)活動的核心是思維活動，數(shù)學(xué)的存在和發(fā)展離不開思維，都要通過思維來表現(xiàn).反過來，數(shù)學(xué)又是思維的工具.在探索、研究和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中，思維品質(zhì)也在發(fā)生著量和質(zhì)的變化，并因此標(biāo)志了數(shù)學(xué)修養(yǎng)之深淺.本文對數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的5個(gè)方面進(jìn)行剖析，并附例以2013年中考典題.望各位同仁窺斑見豹，體味數(shù)學(xué)思維的無窮魅力.

1 思維的深刻性

思維的深刻性是指在分析和解決問題的過程中，能夠透過表面現(xiàn)象認(rèn)識和把握問題的實(shí)質(zhì)及其相互關(guān)系，揭示規(guī)律，追根溯源，或?qū)⒁延蟹椒ê徒Y(jié)論拓展、變換、推廣，得到更深刻的結(jié)果，謂之“思維的洞察力和穿透力”.思維的深刻性是一切思維品質(zhì)的基礎(chǔ)，主要表現(xiàn)為以下幾個(gè)方面：

(1)對數(shù)學(xué)概念理解透徹，形成科學(xué)合理的概念域和概念系；對數(shù)學(xué)事實(shí)掌握清楚，形成科學(xué)合理的命題域和命題系.頭腦中內(nèi)化的數(shù)學(xué)知識是系統(tǒng)化和網(wǎng)絡(luò)化的，猶如一棵倒掛的樹：各知識點(diǎn)在這個(gè)網(wǎng)絡(luò)中處于一定位置，知識點(diǎn)之間呈現(xiàn)出可推理的結(jié)構(gòu)關(guān)系，并因此蘊(yùn)含了思維方法和策略.

(2)具備良好的數(shù)學(xué)交流能力和符號意識，可以自如地將其他語言等價(jià)翻譯為數(shù)學(xué)語言，發(fā)現(xiàn)或抽象出數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)橫向或縱向數(shù)學(xué)化.

(3)能自覺運(yùn)用分析、比較、抽象、概括等思維操作，發(fā)現(xiàn)形異質(zhì)同的數(shù)學(xué)對象之間的內(nèi)在聯(lián)系.

(4)即使解決問題的條件不是明確給定的，也能不受表面現(xiàn)象的困擾，從表象中挖掘隱含條件，為解決問題作出適當(dāng)?shù)匿亯|.

(5)在解決具體的問題后，能主動自覺地去尋找具有普遍意義的方法、模式，將思想、方法、結(jié)論等概括、遷移、推廣到一般情境中去.

(2013年山東省煙臺市數(shù)學(xué)中考試題)

圖1

分析通常采用割補(bǔ)法，化非標(biāo)準(zhǔn)圖形為標(biāo)準(zhǔn)圖形，按“S陰=S扇形BAC+S正方形EFGB+S△CEF-S△AGF”求解.設(shè)正方形EFGB的邊長為a，則

CE=4-a，AG=4+a，

于是

這個(gè)結(jié)果正好是扇形BAC的面積！那么，圖中陰影面積是否能轉(zhuǎn)化成扇形BAC的面積呢？容易想到聯(lián)結(jié)BF,AC，易證BF∥AC，可見△ACB與△ACF是“同底等高”的，面積也相等，于是S陰=S扇形BAC，思路被大大優(yōu)化.從中可知，陰影部分的面積與點(diǎn)E在線段BC上的位置(即正方形EFGB的大小)無關(guān)，是定值4π.繼續(xù)思考，還可發(fā)現(xiàn)：

變式1如圖2，把“點(diǎn)E在BC上”變?yōu)椤包c(diǎn)E在BC的延長線上”時(shí)，亦可得陰影部分的面積為4π.

圖2 圖3 圖4

變式2如圖3，當(dāng)四邊形ABCD和四邊形EFGB均為平行四邊形，且2個(gè)平行四邊形相似，點(diǎn)E在射線BC上運(yùn)動時(shí)，陰影部分的面積為平行四邊形ABCD面積的一半.

變式3如圖4，當(dāng)四邊形ABCD和四邊形EFGB均為等腰梯形，且2個(gè)等腰梯形相似，點(diǎn)E在射線BC上運(yùn)動時(shí)，陰影部分的面積等于△ABC的面積.

變式4如圖5，當(dāng)△ABC∽△EDB,點(diǎn)E在射線BC上運(yùn)動時(shí)，陰影部分的面積等于△ABC的面積.

這也是此類圖形的本質(zhì)所在.

圖5 圖6

變式5如圖6，有3個(gè)正方形ABCD，BEFG和CHIJ，其中正方形ABCD的邊長是a，正方形BEFG的邊長是b，當(dāng)點(diǎn)J在射線CD上運(yùn)動時(shí)，陰影部分的面積等于△CDF的面積,值為a2-ab.

繼續(xù)梳理上述問題的辯證關(guān)系，按照“從特例到一般”的順序，層層設(shè)問，不斷觸及問題的本質(zhì)，就能設(shè)計(jì)出一系列非常優(yōu)秀的探究性問題.

溯本窮源悟真知.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，善于透過現(xiàn)象看本質(zhì)，有利于實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)概念和命題的深刻理解.

2 思維的靈活性

思維的靈活性是指因題制宜，活用有關(guān)知識多角度尋求問題解決途徑的能力，謂之“思維的發(fā)散力和變通力”.主要表現(xiàn)為以下幾個(gè)方面：

(1)思維起點(diǎn)靈活.善于全面地看問題，能從與題目相關(guān)的各種角度和方向去考慮問題.

(2)心理轉(zhuǎn)向容易.從正向思維轉(zhuǎn)為反向思維，特別是對概念正反關(guān)系的認(rèn)識、公式的正反運(yùn)用、定理與逆定理的靈活使用、解題中分析法與綜合法交替使用時(shí)表現(xiàn)自如.

(3)思維轉(zhuǎn)換迅速.可以不受先前解題方法的影響，克服思維定勢的消極作用及自我心理限制，遇機(jī)而變，及時(shí)調(diào)整思路、方法、技巧，不拘一格、有的放矢地解決問題.

(4)思維過程中善于轉(zhuǎn)化.可以很容易地化生為熟，把幾個(gè)部分看成一個(gè)整體，或把一個(gè)整體分成幾個(gè)部分，也就是聚零為整，化整為零.

(5)概括、遷移能力強(qiáng).運(yùn)用規(guī)律熟練，善于組合分析，思維有彈性、能跳躍，既能注意把握事物的整體，又不忽視重要的細(xì)節(jié)，能夠從多層面上捕捉有效信息，廣泛地對比、聯(lián)想，在研究問題本身的同時(shí)，拓展到相關(guān)問題.

圖7

例2從棱長為2的正方體毛坯的一角，挖去一個(gè)棱長為1的小正方體，得到一個(gè)如圖7所示的零件，則這個(gè)零件的表面積為______．

(2013年山東省棗莊市數(shù)學(xué)中考試題)

分析整體觀察圖形，利用“平移”實(shí)現(xiàn)對問題解決過程的優(yōu)化，把求“表面積”的問題轉(zhuǎn)化成求“從上、下、左、右、前、后6個(gè)方向看到的視圖面積之和”的問題，極易得到這個(gè)零件的表面積為6×(2×2)=24.此時(shí)，視圖成為一種解題的工具，只要是從毛坯的一角，挖去一個(gè)(任意)長方體，則其表面積均為24，是不變的.解法的趣味性和靈活性都很強(qiáng).

3 思維的獨(dú)創(chuàng)性

思維的獨(dú)創(chuàng)性是指思維的結(jié)果相對于(自己)已有的認(rèn)識成果來說，具有獨(dú)特性和新穎性，是最難得的思維品質(zhì)，謂之“思維的發(fā)現(xiàn)力和創(chuàng)造力”.主要表現(xiàn)為以下幾個(gè)方面：

(1)從事數(shù)學(xué)活動時(shí)，能對數(shù)學(xué)對象進(jìn)行獨(dú)立的思考，善于發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題，勇于創(chuàng)新，敢于突破常規(guī)的思考方法和解題模式，大膽提出新見解和采用新方法

(2)能從與眾不同的全新角度觀察問題，能在貌似平常的信息中發(fā)現(xiàn)不尋常之所在，從而發(fā)現(xiàn)隱含的特殊聯(lián)系，產(chǎn)生與他人不同的思路和結(jié)論.

(3)富于聯(lián)想.在解題時(shí)主動聯(lián)系數(shù)學(xué)的不同分支、其他學(xué)科以及生活實(shí)際，以至思維跳躍，經(jīng)常產(chǎn)生有別于常規(guī)的、正統(tǒng)的、創(chuàng)造性的想法.

例3某數(shù)學(xué)活動小組在作三角形拓展圖形，研究其性質(zhì)時(shí)，經(jīng)歷了如下過程：

(1)操作發(fā)現(xiàn)：

在等腰△ABC中，AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖8所示，其中DF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥AC于點(diǎn)G，M是BC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)MD和ME，則下列結(jié)論正確的是______.

圖8 圖9

(2)數(shù)學(xué)思考：

在任意△ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖9所示，M是BC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)MD和ME，則MD和ME具有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請給出證明過程.

(3)類比探索：

在任意△ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，如圖10所示，M是BC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)MD和ME，試判斷△MED的形狀．

(2013年江西省南昌市數(shù)學(xué)中考試題)

圖10

分析常規(guī)思路自然是按部就班，依次完成題目設(shè)問，且通常是分別對MD和ME的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系予以說明.但是，顯然圖8是圖9的一種特殊情形，而圖9與圖10又屬于并列情形，題目本身呈現(xiàn)出“從特例推向一般”、“從一種情形(圖9中向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形)向另一種情形(圖10中向△ABC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形)拓展”的命題模式.參透了這一點(diǎn)，便能作如下處理：

欲證“△DME是等腰直角三角形”，若能證出“∠MDE=∠MED=45°”，則問題得以突破.

如圖9，取AB,AC的中點(diǎn)F,G，聯(lián)結(jié)DF,FM,EG,GM,DE. 易知∠FDA=∠GEA=45°，于是轉(zhuǎn)為證

∠ADE=∠FDM，∠AED=∠GEM.

設(shè)AB=2a,AC=2b，易得

于是

又易證 ∠DAE= 270°-∠BAC=

(180°-∠BAC)+90°=

∠AFM+∠AFD=∠DFM,

于是

△DAE∽△DFM,

故

∠ADE=∠FDM，

同理可證

∠AED=∠GEM.

到此，思路被打通.將其條件強(qiáng)化，則第(2)小題自然得證.

將之遷移到圖10中，易知∠FDA=∠GEA=45°，于是轉(zhuǎn)為證

∠ADE=∠FDM，∠AED=∠GEM.

仍設(shè)AB=2a,AC=2b，可得

于是

又易證 ∠DAE= (∠DAB+∠EAC)-∠BAC=

90°-∠BAC=90°-∠MFB=

∠DFM，

于是

△DAE∽△DFM，

故

∠ADE=∠FDM，

同理可證

∠AED=∠GEM.

到此，思路再次被打通.

如此處理，顯然超出了命題人所料，是極具創(chuàng)新味道的.正是善于查“平凡中之異象，平靜中之波瀾”，才成就了創(chuàng)新解法.由于特殊情形往往存有無關(guān)宏旨的枝節(jié)或表面現(xiàn)象，容易掩蓋問題的實(shí)質(zhì)，而一般情形則更能明確地表達(dá)問題的本質(zhì).因此，有時(shí)面對一般化的問題可能更容易求解.就此，希爾伯特有言：“在解決一個(gè)數(shù)學(xué)問題時(shí)，如果我們沒有獲得成功，原因常常在于我們沒有認(rèn)識到更一般的觀點(diǎn)，即眼下要解決的問題不過是一連串有關(guān)問題的一個(gè)環(huán)節(jié).”

4 思維的批判性

思維的批判性是指在思維活動中獨(dú)立思考，善于提出疑問，敢于發(fā)表不同的看法，嚴(yán)格客觀地評價(jià)思維的結(jié)果和精細(xì)地檢查思維過程的品質(zhì)，謂之“思維的診斷力和甄別力”.主要表現(xiàn)為以下幾個(gè)方面：

(1)不會不經(jīng)思考地附和他人的意見，能堅(jiān)持自己的合理看法，善于發(fā)現(xiàn)問題，明辨是非，不迷信書本和專家，敢于向教師提出質(zhì)疑;

(2)能夠比較不同對象之間的差異和相似性，辨析容易混淆的概念與形式，對數(shù)學(xué)對象進(jìn)行合理分類;

(3)能評估信息資源的可靠性，判斷從一個(gè)結(jié)論導(dǎo)出另一個(gè)結(jié)論的充分性，因而發(fā)現(xiàn)解題過程或結(jié)論中的錯(cuò)誤;

(4)能在有多種合情思路的情況下，對各種解題思路、方法、策略進(jìn)行比較，選擇更為合理的方案，從而找出最佳的方法或結(jié)論;

(5)在解題時(shí)能對全過程進(jìn)行監(jiān)控，經(jīng)?；仡^審視自己的解題過程，進(jìn)行有意識的自我調(diào)節(jié)，在自我檢查中修正論證的過程和結(jié)論．

(2013年福建省龍巖市數(shù)學(xué)中考試題)

題目難度較大.良好的“數(shù)感”固然是重要的，但不斷地對猜想所得進(jìn)行檢驗(yàn)和修正，以決定繼續(xù)進(jìn)行下去，還是另覓他徑，更顯重要.思維批判的對象不僅是他人，更是自己.善于自我監(jiān)控解答過程，“思必有的、有據(jù)、有序”，而不是瞎碰亂試，就可在一定程度上避免更多失誤，省時(shí)省力.

5 思維的敏捷性

思維的敏捷性是指智力活動的速度，在處理問題和解決問題的過程中，能夠適應(yīng)迫切的情況來積極地思考，并迅速地作出判斷，謂之“思維的自動化和果斷力”.主要表現(xiàn)為以下幾個(gè)方面：

(1)能夠較快且正確地完成對題目信息的理解;

(2)能夠自覺地運(yùn)用簡便方法，對數(shù)字進(jìn)行快速運(yùn)算，且“感覺良好”;

(3)能夠迅速地判別出題目的模式，從而縮短解題時(shí)間;

(4)能對最近做過的題目有清晰的記憶，迅速反應(yīng)出解題過程及結(jié)果;

(5)能夠迅速判斷，像電腦或機(jī)器一樣自動、果斷地執(zhí)行，在時(shí)間緊迫的情況下作出繼續(xù)下去或是放棄進(jìn)行的決策.

請根據(jù)以上結(jié)論，解答下列問題：

圖11 圖12 圖13

如圖12和圖13，BE,CF是△ABC的2條角平分線，過EF上一點(diǎn)P分別作△ABC三邊的垂線段PP1,PP2,PP3，交BC于點(diǎn)P1，交AB于點(diǎn)P2，交AC于點(diǎn)P3.

(1)若點(diǎn)P為線段EF的中點(diǎn)，如圖12，求證：PP1=PP2+PP3；

(2)若點(diǎn)P在線段EF上任意位置時(shí)，如圖13，試探究PP1,PP2,PP3的數(shù)量關(guān)系，并給出證明.

(2013年四川省樂山市數(shù)學(xué)中考試題)

分析題目給出了一個(gè)新命題(幾何模型)，思維的重點(diǎn)應(yīng)放在運(yùn)用新命題解決新問題上.如何“引經(jīng)據(jù)典”，快速完成向模型的化歸，有意識地把新知識、新模型移植轉(zhuǎn)用到新對象上是解決問題的關(guān)鍵.

運(yùn)用觀察、測量、比較、計(jì)算等手段可以“合情”地猜想第(1)小題中之結(jié)論可以遷移到第(2)小題中.因此這里我們直接面對第(2)小題，待之證明結(jié)束后，將條件強(qiáng)化，則第(1)小題自然得證.結(jié)合題設(shè)和待證結(jié)論，對比圖形構(gòu)成特點(diǎn)，容易想到如圖13所示的輔助線.設(shè)PF=c，PE=d，在梯形EFG1D1中，易得

又三角形可以看作退化的梯形(上底為0)，在△FED2和△EFG2中，易得

而ED1=ED2,FG1=FG2,故

PP1=PP2+PP3.

實(shí)際上，我們雖然分述了數(shù)學(xué)思維的5個(gè)品質(zhì)，并分別附例詮釋，但是這些品質(zhì)之間并不是相互分離和隔裂的.恰恰相反，它們是相互滲透、聯(lián)系和制約的統(tǒng)一體.深刻性是所有思維品質(zhì)的基礎(chǔ)，在其支撐下進(jìn)行發(fā)展，避免思維定勢的負(fù)面影響，靈活處理，才能產(chǎn)生獨(dú)創(chuàng)性見解.加上周密地思慮、批判性地認(rèn)知和合理地自我監(jiān)控與調(diào)節(jié)思維過程，就能形成全面準(zhǔn)確的判斷，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)和規(guī)律.而只有實(shí)現(xiàn)了深刻的理解、靈活而富有創(chuàng)造性地思考以及批判性地審問，才能達(dá)到心領(lǐng)神會、融會貫通，從而生發(fā)出真正的敏捷性，全面提升思維品質(zhì)，享受數(shù)學(xué)思維的無限樂趣.

對數(shù)學(xué)思維的研究永遠(yuǎn)是沒有止境的.本文僅僅是在專家理論研究的基礎(chǔ)上補(bǔ)例詮釋，為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)提供借鑒.不妥之處，誠請不吝賜教.

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