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(錦屏中學(xué) 浙江奉化 315500)

一道希望杯培訓(xùn)題的探究

●傅前達(dá)

(錦屏中學(xué) 浙江奉化 315500)

第23屆希望杯全國數(shù)學(xué)邀請賽培訓(xùn)題初一年級第69題：

從學(xué)生的練習(xí)解答情況看，大多數(shù)填“1”．課堂上分析此題時，請學(xué)生介紹了各自的思路、解法，很受啟發(fā)．

學(xué)生1：用特殊值法，令x=y=z=w=1，使連等式成立，因此w2x2y2z2=1．

有學(xué)生質(zhì)疑：此解法不符合條件(要求w,x,y,z互不相等)，且選取不同的特殊值，結(jié)果可能不同．答案正確純屬巧合．

學(xué)生2：這是一個不定方程組，有無數(shù)組解，可以用某個未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知數(shù)，再代入求解．對于客觀題，我嘗試用賦值法，減少運算量．

令x=1，則

解得

從而

wxyz=-1,

即

w2x2y2z2=1．

(該生有非常扎實的代數(shù)基礎(chǔ)知識和基本技能.)

學(xué)生3：根據(jù)經(jīng)驗，輪換式通常整體考慮，采取全加、全乘的策略，我嘗試后，沒有成功．聯(lián)想起一道輪換式競賽題，是用輪減法解決的，模仿后居然有了驚喜．

全乘得

(w-x)(x-y)(y-z)(z-w)=

因為(w-x)(x-y)(y-z)(z-w)≠0，所以

w2x2y2z2=1．

(此法與組委會提供的參考解法一致，此學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)可見一斑.)

學(xué)生4：順著前一種解題的思路，我進(jìn)行了簡化操作．

式(1)，式(2)相乘,得

因為(w-y)(x-z)≠0，所以

wxyz=-1，

從而

w2x2y2z2=1．

(教室里先是鴉雀無聲，很快響起了熱烈的掌聲，學(xué)生們由衷欽佩的目光聚焦在這位學(xué)生的身上.)

在課后的反思中，筆者聯(lián)想起了2003年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的最后一題：

該題在起初求解時遇到了極大的困難，通過輾轉(zhuǎn)代換消元，歷經(jīng)復(fù)雜的運算、因式分解、分類討論解答．如果采用學(xué)生4的結(jié)論，結(jié)合學(xué)生3的經(jīng)驗，可以這樣解答：

解全乘得

輪乘后再全加,得

又因為abcd=-1，所以

x4-4x2+4=0，

解得

回顧本題的解決過程，學(xué)生始終處于舞臺的中央，真正成為學(xué)習(xí)的主人.學(xué)生熱情高漲，積極參與到數(shù)學(xué)活動中去，獨立思考、自主探索、合作交流、共同發(fā)展，體驗到了數(shù)學(xué)的魅力、思維的樂趣，增強(qiáng)了自信心．教師成為了組織者、合作者、學(xué)習(xí)者，同樣收獲頗豐：在數(shù)學(xué)資優(yōu)生培養(yǎng)中，要相信學(xué)生，放手讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)，大膽嘗試先學(xué)后教，即先布置學(xué)習(xí)任務(wù)獨立探索，再在課堂上讓學(xué)生暢所欲言，教師認(rèn)真聽，積極捕捉學(xué)生的閃光點，放大并完善它，若能有畫龍點睛之舉則更妙．