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(秀州中學(xué)分校 浙江嘉興 314000)

平面幾何中線段“和差倍分”問題的證明

●倪建榮

(秀州中學(xué)分校 浙江嘉興 314000)

線段“和差倍分”問題是幾何證明的重要內(nèi)容之一，這類問題的證明方法靈活多變、技巧性強(qiáng)，且沒有固定的解題模式，在各級(jí)各類數(shù)學(xué)競(jìng)賽中出現(xiàn)的頻率較高．解決線段“和差倍分”問題的基本原則是轉(zhuǎn)化，即通過對(duì)原問題中相關(guān)線段的變形，實(shí)現(xiàn)矛盾的轉(zhuǎn)移，從而達(dá)到化未知為已知、化難為易、化繁為簡(jiǎn)的目的.本文擬對(duì)這類問題的常用解法作一些探討．

1 合理割補(bǔ),水到渠成

割補(bǔ)法(截長(zhǎng)補(bǔ)短法)是證明線段“和差倍分”問題的一種重要方法，它通過“分割”或“添補(bǔ)”，在相關(guān)線段或其延長(zhǎng)線上構(gòu)造能夠表示線段“和差倍分”的新線段，從而將多線段問題轉(zhuǎn)化為2條線段問題，促使原問題的解決．

圖1圖2圖3

證法1如圖2，在BE上截取EF=AE，聯(lián)結(jié)DC，DB，DF.易知DE垂直平分線段AF,則DF=DA.又由∠DFA=∠DAF=∠DAG，得∠DFB=∠DAC.而∠DBF=∠DCA，從而△DBF≌△DCA，得BF=AC，即AB-AC=2AE.

證法2如圖3，延長(zhǎng)CA至點(diǎn)G，使AG=AE，聯(lián)結(jié)DC,DB,DG.易證△ADE≌△ADG，從而可證△BDE≌△CDG,得BE=CG，即AB-AC=2AE.

評(píng)注證法1在較長(zhǎng)線段上截取，證明剩余部分相等；證法2則相反，將較短線段延伸再證明相等．證法1與證法2正好是“割”與“補(bǔ)”的2種方法.

例2在銳角△ABC中，∠ACB=60°，O為△ABC外接圓的圓心，H為垂心，OH的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)P，其反向延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)Q.求證：AP+BQ=PQ.

證明如圖4，延長(zhǎng)BO交⊙O于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)CG,AG,CH,AH.可證四邊形AHCG為平行四邊形，得AG=CH.由∠ACB=60°及BG為直徑，得AG=CO,從而CH=CO.延長(zhǎng)CH交⊙O于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)CO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)EF，則EF∥AB，從而證得△CPH≌△CQO，因此△CPQ為等邊三角形.再證明AP=PH，同理可得HQ=QB，于是AP+BQ=PQ.

評(píng)注本例巧妙地運(yùn)用了圓的性質(zhì)，通過構(gòu)建平行四邊形和全等三角形，將2條不共線的線段長(zhǎng)度之和轉(zhuǎn)化為一條線段的長(zhǎng)度．

圖4 圖5

2 構(gòu)建平行,迎刃而解

利用“平行線間距離相等”、“夾在平行線間的平行線段相等”等定理，可通過添加平行線,將某些線段“送”到恰當(dāng)位置，從而獲得證題思路．

例3在△ABC中,BD,CE為角平分線,P為ED上任意一點(diǎn)．過點(diǎn)P分別作AC,AB,BC的垂線,點(diǎn)M,N,Q為垂足．求證：PM+PN=PQ．

證明如圖5，過點(diǎn)P作AB的平行線交BD于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作BC的平行線分別交PQ,AC于點(diǎn)K,G,聯(lián)結(jié)PG．由BD平分∠ABC,知點(diǎn)F到AB，BC的距離相等，從而KQ=PN．

PM+PN=PK+KQ=PQ．

評(píng)注本例通過添加平行線,將PQ“掐開”成2段,證得PM=PK，于是PM+PN=PQ，體現(xiàn)了傳遞的思想，證法非常簡(jiǎn)捷．

證明如圖6，過點(diǎn)B作AC的平行線交ND的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．聯(lián)結(jié)ME，則△BED≌△CND，從而BE=NC．又因?yàn)镸D為EN的中垂線，所以EM=MN．由

BM2+BE2=BM2+NC2=DN2+MD2=MN2=EM2,

知△BEM為直角三角形,即∠MBE=90°，從而

∠ABC+∠ACB=∠ABC+∠EBC=90°,

于是∠BAC=90°．故

評(píng)注本例通過添加AC的平行線,將BC“以D為中點(diǎn)”的性質(zhì)傳遞給EN，為解題找到思路．

圖6 圖7

3 運(yùn)用比例,巧妙騰挪

探尋與所求證結(jié)論有關(guān)的比例式，通過對(duì)比例式變形或重新組合，從而得出線段之間的“和差倍分”關(guān)系．

證明如圖7，過點(diǎn)D,E分別作DM∥AB，EN∥AB，點(diǎn)M,N分別在EF和BC上，得平行四邊形ADMF和平行四邊形BFEN，從而

EM=EF-AD，CN=BC-EF，

DM=AF=AD，EN=BF=BC．

因?yàn)椤鱀ME∽△ENC，所以

即

從而

當(dāng)點(diǎn)P在CE上時(shí)，

同理可知當(dāng)點(diǎn)P在DE上時(shí)，

故

評(píng)注通過添加平行線構(gòu)建三角形相似,從而產(chǎn)生比例線段,再結(jié)合平行線分線段成比例，巧妙騰挪,問題迎刃而解..

例6設(shè)M,N為△ABC邊BC上的2個(gè)點(diǎn)，且滿足BM=MN=NC．一平行于AC的直線分別交AB,AM,AN于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，求證：EF=3DE．

證明如圖8，過點(diǎn)N,M分別作AC的平行線交AB于點(diǎn)H,G，NH交AM于點(diǎn)K，從而BG=GH=HA，于是

因此

HK∶KN=1∶3.

又因?yàn)镈F∥HN，所以

DE∶EF=HK∶KN=1∶3，

從而

EF=3DE．

評(píng)注由于“平行于三角形一邊的直線截其他2邊所得對(duì)應(yīng)線段成比例”,在一些問題中,可以通過添加平行線,實(shí)現(xiàn)某些線段比的良性轉(zhuǎn)化，這在平面幾何證題中經(jīng)常遇到．

圖8 圖9

4 轉(zhuǎn)化面積，豁然開朗

根據(jù)有關(guān)線段與圖形面積之間的關(guān)系，把證明線段的比例關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明面積的比例關(guān)系，然后通過面積求算，從而得證．

例7如圖9，設(shè)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AP,BP,CP與對(duì)邊分別交于點(diǎn)D,E,F．求證：

評(píng)注此結(jié)論即為塞瓦定理，用面積轉(zhuǎn)化是較快的解決方法.

圖10 圖11

評(píng)注面積法是平面幾何中應(yīng)用十分廣泛的一種重要方法．例7和例8利用線段比與面積比的相互轉(zhuǎn)化，簡(jiǎn)化了證題過程．

5 構(gòu)造輔圓,探囊取物

在某些數(shù)學(xué)競(jìng)賽問題中,巧妙添置輔助圓?？梢詼贤ㄖ本€和圓的內(nèi)在聯(lián)系,通過圓的有關(guān)性質(zhì)找到解題途徑．

例9AD是Rt△ABC斜邊BC上的高,∠B的平分線交AD于點(diǎn)M,交AC于點(diǎn)N．求證：

AB2-AN2=BM·BN．

證明如圖11，因?yàn)?/p>

∠ANB+∠ABN=∠CBN+∠BMD=90°,

又

∠ABN=∠CBN,∠AMN=∠BMD,

所以

∠AMN=∠ANB．

從而

AM=AN．

以AM長(zhǎng)為半徑作⊙A,交AB于點(diǎn)F,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，從而

AE=AF=AN．

由割線定理，得

BM·BN=BF·BE=(AB+AE)(AB-AF)=

(AB+AN)(AB-AN)=

AB2-AN2，

即AB2-AN2=BM·BN．

評(píng)注AB2-AN2=(AB+AN)(AB-AN)=BM·BN,而由題設(shè)易知AM=AN,聯(lián)想割線定理,構(gòu)造輔助圓即可證得結(jié)論．

圖12

例10四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,延長(zhǎng)AB和DC相交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)AD和BC相交于點(diǎn)F,EP和FQ分別切⊙O于點(diǎn)P,Q．求證：EP2+FQ2=EF2．

證明如圖12，作△BCE的外接圓交EF于點(diǎn)G,聯(lián)結(jié)CG．因?yàn)椤螰DC=∠ABC=∠CGE,所以點(diǎn)F,D,C,G共圓．由切割線定理,得

EF2= (EG+GF)·EF=EG·EF+GF·EF=

EC·ED+FC·FB=EP2+FQ2,

即

EP2+FQ2=EF2．

評(píng)注通過分析問題所提供的信息,恰當(dāng)補(bǔ)出輔助圓,并合理挖掘圖形隱含的性質(zhì),從而使題設(shè)和結(jié)論的邏輯關(guān)系明朗化．