潘曉麗,　趙永超

(1.黑龍江科技大學(xué) 理學(xué)院, 哈爾濱 150022; 2.東北農(nóng)業(yè)大學(xué) 工程學(xué)院, 哈爾濱 150030)

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一類(p1,…,pn)-Laplacian方程組三解的存在性

潘曉麗1,趙永超2

(1.黑龍江科技大學(xué) 理學(xué)院, 哈爾濱 150022; 2.東北農(nóng)業(yè)大學(xué) 工程學(xué)院, 哈爾濱 150030)

為了將(p,q)-Laplacian方程組解的部分結(jié)果推廣到(p1,…,pn)-Laplacian方程組,利用三臨界點(diǎn)定理和廣義Sobolev空間的一些性質(zhì),對(duì)一類含有(p1,…,pn)-Laplacian算子,并帶有Dirichlet邊界條件的擬線性橢圓方程組解的存在性進(jìn)行了探討。根據(jù)變分原理將方程組的能量泛函表示出來,在方程組滿足一定條件下,證明了該橢圓方程組三解的存在性。該研究推廣了已有的擬線性橢圓方程組解的存在性結(jié)果,為下一步證明該方程組解的其他性質(zhì)奠定了基礎(chǔ)。

三臨界點(diǎn)定理; 臨界點(diǎn); 多重結(jié)果; 三解; (p1,…,pn)-Laplacian

0　引　言

含有p-Laplacian的非線性橢圓方程問題產(chǎn)生于上世紀(jì)80年代末,最初用于研究非牛頓流體力學(xué)和多孔媒質(zhì)中氣體的湍流問題,近年來廣泛應(yīng)用于非線性彈性力學(xué)、非牛頓力學(xué)、人口生物學(xué)、天體物理學(xué)、燃燒理論、冰川學(xué)等多種問題的研究中。因此,對(duì)這類方程的研究具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。近年來,關(guān)于p-Laplacian方程特征值的Dirichet問題正解的存在性和多重性已取得大量的科研成果[1-6]。例如, 文獻(xiàn)[1]研究了一類含有p-Laplacian 算子的擬線性橢圓方程組:

(1)

至少有兩個(gè)不同的非平凡解。特別地, 文獻(xiàn)[12]討論了問題(1),證明了存在一個(gè)開區(qū)間Λ?[0,+∞)和正數(shù)ρ,使得對(duì)任意的λ∈Λ,問題(1)至少有三個(gè)弱解且范數(shù)小于ρ。

在已有關(guān)于含有(p,q)-Laplacian方程組的解的存在性研究的基礎(chǔ)上,筆者研究了一類含有(p1,…,pn)-Laplacian的非線性橢圓方程組

(2)

問題(2)的能量泛函為

u1(x),…,un(x))dx。

此外,u=(u1,u2,…,un)∈X是問題(2)的弱解當(dāng)且僅當(dāng)u是I的臨界點(diǎn)。即:對(duì)任意的v=(v1,v2,…,vn)∈X,滿足

1　預(yù)備知識(shí)

定理1[10]令X是可分的自反的實(shí)Banach空間,Φ:X→R是連續(xù)Gteaux可微且序列弱下半連續(xù)泛函,其Gteaux導(dǎo)算子在X*上有連續(xù)可逆算子,Ψ:X→R是連續(xù)Gteaux可微泛函且其Gteaux導(dǎo)算子是緊的。假設(shè)

并且存在連續(xù)凹泛函h:[0,+∞)→R,使得

則存在一個(gè)開區(qū)間Λ?[0,+∞)和一個(gè)正實(shí)數(shù)ρ,使得對(duì)每一個(gè)λ∈Λ,和帶有緊的導(dǎo)算子的C1泛函J:X→R,存在δ>0 滿足, 對(duì)每一個(gè)μ∈[0,δ],方程

Φ′(u)+λΨ′(u)+μJ′(u)=0,

在X上至少有三個(gè)范數(shù)小于ρ的解。

令

因?yàn)閜i>N,則s<+∞,此外,對(duì)于1≤i≤n,如下不等式成立[13]:

其中,Γ表示Gamma函數(shù),m(Ω)表示Ω的Lebesgue測(cè)度。

取x0∈Ω,r2>r1>0,滿足B(x0,r1)?B(x0,r2)?Ω。令

θi=θi(N,pi,r1,r2)=

1≤i≤n。

文中的主要結(jié)論還依賴如下引理。

(1)F(x,t1,…,tn)≥0,?(x,t1,…,tn)∈ΩB(x0,r1)×[0,d]×…×[0,d];

和

證明令

則(u1,u2,…,un)=(ω1,ω2,…,ωn)∈X,并且

‖,

因此,有

由引理1條件(1),得到

∫ΩB(x0, r2)F(x,ω1(x),…,ωn(x))dx+

∫B(x0, r2)B(x0, r1)F(x,ω1(x),…,ωn(x))dx≥0,

因此,由引理1假設(shè)(2),有

2　主要結(jié)論

(1)F(x,t1,…,tn)≥0,?(x,t1,…,tn)∈ΩB(x0,r1)×[0,d]×…×[0,d];

(5)存在一個(gè)開區(qū)間Λ?[0,+∞)和一個(gè)正實(shí)數(shù)ρ,使得對(duì)每一個(gè)λ∈Λ,對(duì)于所有的γ>0,

則存在δ>0,對(duì)每一個(gè)μ∈[0,δ],問題(1)在X上至少有三個(gè)范數(shù)小于ρ的解。

證明對(duì)任意的u∈X,令

顯然,Φ是連續(xù)Gteaux可微且序列弱下半連續(xù)泛函,其Gteaux導(dǎo)算子在X*上有連續(xù)可逆算子;Ψ和J是連續(xù)Gteaux可微泛函且其Gteaux導(dǎo)算子是緊的。特別,對(duì)任意的u=(u1,u2,…,un)∈X,v=(v1,v2,…,vn)∈X,

因此問題(2)的弱解正是方程

Φ′(u)+λΨ′(u)+μJ′(u)=0,

的解,由定理2(3), 對(duì)任意λ>0, 有

再由引理1,存在ω=(ω1,ω2,…,ωn)∈X,滿足

Φ(0,0,…,0),

對(duì)任意的u=(u1,u2,…,un),有

即

則

固定ρ,滿足

其中,h(λ)=λρ,則由定理1,結(jié)論成立,即問題(2)在X上至少有三個(gè)范數(shù)小于ρ的解。

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[13]TALENTI G. Some inequalities of sobolev type on two-dimensional spheres[M]//Walter W. General Inequalities 5. Boston: Birkhauser Basel, 1987: 401-408.

(編輯王冬)

Existence of three solutions for class of equations involving (p1,…,pn)-Laplacian

PANXiaoli1,ZHAOYongchao2

(1.School of Sciences, Heilongjiang University of Science & Technology, Harbin 150022, China; 2.College of Engineering, Northeast Agricultural University, Harbin 150030, China)

Aimed at promoting the partial results of the (p,q)-Laplacian equations to the (p1,…,pn)-Laplacian equations, this paper discusses a class of quasi-linear elliptic equations involving the (p1,…,pn)-Laplacian with Dirichlet boundary condition and proves the existence of at least three weak solutions via three critical points theorem and some other properties of generalized Sobolev spaces. The energy functional is expressed in some appropriate generalized Sobolev spaces according to the variational principle, and the existence of three solutions for the elliptic equations is proved under certain conditions. The study extending the previous results of the existence serves to prove other properties of the elliptic equations.

three critical points theorem; critical points; multiplicity results; three solutions; (p1,…,pn)-Laplacian

2013-04-17

黑龍江省教育廳海外學(xué)人科研資助項(xiàng)目(1153h02)

潘曉麗(1982-),女,達(dá)斡爾族,內(nèi)蒙古自治區(qū)莫旗人,講師,碩士,研究方向:偏微分方程,E-mail:panxiaoli006@163.com。

10.3969/j.issn.1671-0118.2013.03.022

O175.25

1671-0118(2013)03-0314-05

A