太陽帆懸浮軌道的動力學(xué)特性分析

陳翠紅, 和興鎖, 宋明

(西北工業(yè)大學(xué) 工程力學(xué)系, 陜西 西安 710129)

2012-06-04;

2012-09-17; < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時間

時間:2012-12-11 12:16

國家自然科學(xué)基金資助(10672133)

陳翠紅(1985-),女，湖北云夢人，碩士研究生，研究方向為航天器動力學(xué)與控制。

太陽帆懸浮軌道的動力學(xué)特性分析

陳翠紅, 和興鎖, 宋明

(西北工業(yè)大學(xué) 工程力學(xué)系, 陜西 西安 710129)

研究了太陽帆懸浮軌道的動力學(xué)特性,主要分析了穩(wěn)定性條件。首先建立垂直于太陽-行星連線的懸浮軌道模型,在柱坐標(biāo)系下,依據(jù)Hamilton原理得到懸浮軌道角動量與太陽光壓的關(guān)系。然后,針對小擾動情況運動方程,分析懸浮軌道線性與非線性穩(wěn)定性條件。最后,運用Hamilton-Jacobi理論進(jìn)行變量分離,得到物理意義明顯的動力學(xué)方程。仿真結(jié)果表明,選取合適的初始值,可以實現(xiàn)穩(wěn)定的太陽帆懸浮軌道。

太陽帆; 懸浮軌道; 穩(wěn)定性; Hamilton原理

0 引言

太陽帆本質(zhì)上是連續(xù)小推力推進(jìn)方式,可形成許多獨特的非開普勒軌道, 如日心懸浮軌道、行星懸浮軌道、人工拉格朗日點軌道等[1]。NASA,ESA等航天機構(gòu)早在20世紀(jì)70年代就開始進(jìn)行相關(guān)研究,但限于幾項關(guān)鍵技術(shù)未突破,大型太陽帆飛行任務(wù)尚未得以成功實施。隨著太陽帆技術(shù)的快速發(fā)展,人們更多地關(guān)注小型太陽帆[2]。小型太陽帆與大型太陽帆本質(zhì)上無區(qū)別,但更易工程實現(xiàn)。日美兩國已在2010年先后成功實施各自的小型太陽帆空間飛行試驗。

在太陽帆懸浮軌道穩(wěn)定性領(lǐng)域,文獻(xiàn)[3-5]對日心懸浮軌道、行星懸浮軌道和拉格朗日點上的太陽帆編隊穩(wěn)定性進(jìn)行了研究,取得了較好的結(jié)果?；谝陨涎芯?本文采用Hamilton動力學(xué)方程和Hamilton-Jacobi理論對太陽帆懸浮軌道的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析。

1 垂直太陽-行星連線的行星懸浮軌道

太陽帆位于非開普勒軌道,忽略地球引力位函數(shù)高階項和其他星體引力攝動。懸浮軌道垂直于太陽-行星連線,太陽光壓力假設(shè)為常量,行星懸浮軌道如圖1所示。

使用歸一化單位(太陽帆的質(zhì)量為單位質(zhì)量m,地球繞太陽的公轉(zhuǎn)角速度為單位角速度ω,地球到太陽的距離為單位長度L),太陽帆的軌道動力學(xué)方程在慣性坐標(biāo)系下用柱坐標(biāo)(ρ,θ,z)可表示為[6]:

(1)

h=ωρ2=ω0ρ02

圖1 行星懸浮軌道示意圖

2 Hamilton運動方程

太陽帆的在軌運行,除大氣耗散因素影響外,對應(yīng)的是Hamilton系統(tǒng),還可以用Hamilton力學(xué)中的變換方法來建立相應(yīng)運動方程。觀察式(1),動力學(xué)方程可以表示為:

(2)

根據(jù)Hamilton正則運動方程:

1+ρ6κ2/h4=(1/3)κρ2

(3)

由式(3)求得:

當(dāng)h>hmax時,系統(tǒng)不平衡,不能產(chǎn)生懸浮軌道;當(dāng)h

圖2 平衡位置圖

3 懸浮軌道動力學(xué)特性分析

3.1 線性穩(wěn)定條件

假設(shè)fρ=h2/ρ3-ρ/r3,fz=-z/r3+κ;增加一小擾動ρ=ρ0+δρ,z=z0+δz泰勒展開,得到線性方程為:

(4)

忽略高階項,其中A11,A12,A21,A22表示偏導(dǎo)?fρ/?ρ,?fρ/?z,?fz/?ρ,?fz/?z。懸浮軌道各個偏導(dǎo)數(shù)分別為:

(5)

擾動用向量δQ表示,δQ=[δρ,δz]T,方程(4)的矩陣形式為:

(6)

常系數(shù)方程可以假設(shè)|δQ|=Q0exp(λt),λ為常系數(shù)。帶入方程(6),特征多項式為:

(7)

圖3 線性穩(wěn)定懸浮軌道

圖4 線性不穩(wěn)定懸浮軌道

3.2 非線性穩(wěn)定條件

U(ρ,z)=h2/2ρ2-1/r-κz

(8)

若定義Uρρ,Uzz,Uρz分別為對函數(shù)U(ρ,z)的二階偏導(dǎo)和二階混合偏導(dǎo),則當(dāng)Uρρ>0,Uzz>0,UρρUzz-Uρz>0時，勢能函數(shù)的局部極小值對應(yīng)穩(wěn)定的懸浮軌道。

(9)

非線性穩(wěn)定和不穩(wěn)定懸浮軌道如圖5和圖6所示。

圖5 非線性穩(wěn)定懸浮軌道

圖6 非線性不穩(wěn)定懸浮軌道

2/(ξ2+η2)-κ(ξ2-η2)/2

(10)

其中:

Hamilton主函數(shù)設(shè)為S(ξ,η,t)=-Et+pθθ+S(ξ)+S(η)。寫Hamilton-Jacobi方程為:

(11)

分離變量,則有:

(12)

β為任意常數(shù)[8]。于是,給定一系列的初始值,E,pθ,β可以計算,令pξ,pη為零,解方程(12),得到ξ,η的值。

(13)

圖7和圖8為穩(wěn)定和不穩(wěn)定軌道區(qū)域圖。

圖7 穩(wěn)定軌道區(qū)域圖

圖8 不穩(wěn)定軌道區(qū)域圖

運用Hamilton-Jacobi理論分析太陽帆懸浮軌道的軌道系數(shù),在拋物線坐標(biāo)系下,β約為0.225時軌道系數(shù)ξ,η可以趨近于零(此時κ=1.054 5×10-4);軌道系數(shù)ξ,η在β為另一數(shù)值時是發(fā)散的(此時κ=2.348 0×10-4),趨于無窮。

4 結(jié)束語

本文研究太陽帆的動力學(xué)特性,通過重點分析垂直于太陽行星連線的行星懸浮軌道,利用Hamilton方程和Hamilton-Jacobi理論分析太陽帆懸浮軌道的穩(wěn)定性,實現(xiàn)線性和非線性穩(wěn)定性條件。由Hamilton-Jacobi理論分析得到物理意義明顯的動力學(xué)方程,可以實現(xiàn)太陽帆行星懸浮軌道穩(wěn)定,為該領(lǐng)域的進(jìn)一步研究提供了依據(jù)。

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Analyzingdynamiccharacteristicsofthedisplacedorbitaboveaplanetwithsolarsail

CHEN Cui-hong, HE Xing-suo, SONG Ming

(Department of Engineering Mechanics, NWPU, Xi’an 710129, China)

This article studies kinetic characteristic of solar sail displaced orbit and analyses stability conditions. Firstly, by establishing displaced orbit model which is normal to sun-planet and assuming solar radiation pressure as constant, the relationship between displaced orbit angular momentum and solar radiation pressure can be derived through Hamilton dynamics method. Considering small perturbations of motion equation, the stability condition of linear and nonlinear displaced orbit can be derived. Finally, using Hamilton-Jacobi theory, the kinetic equation with significance physical meaning can be derived by variable separation. Simulation results show that stable solar sail displaced orbit can be realized by choosing proper initial value.

solar sail; displaced orbit; stability; Hamilton principle

V412.41

A

1002-0853(2013)01-0065-04

(編輯：方春玲)