張一方

(云南大學物理系，云南 昆明 650091)

0 引言

粒子物理和場論中的動力學研究長期以來一直是一個重要問題．僅在《Physical Review D》中2006年標題含動力學的論文就有68篇，2007年有59篇．Sannino等比較了不同夸克場散射振幅與手征動力學的關系［1］．Jain等討論了由一個任意弱長程吸引力經(jīng)變分方法導致的動力學手征對稱性破缺［2］．Fraga等研究了純SU(2)規(guī)范理論中退耦相變的Langevin動力學［3］．Doff探討了標準模型SU(3)LU(1)X推廣的動力學對稱性破缺和TeV能量標度［4］．Hong等從弦論研究了重子的手征動力學［5］．BABAR協(xié)作組研究了B介子衰變到p珋ph末態(tài)的衰變動力學［6］．Dittrich等從Regge作用研究了線性化的動力學［7］．Aharony等介紹了動力學超對稱破缺的某些簡單的弦模型［8］．Antebi等構造了動力學超對稱破缺的一個簡單的SU(5)局域模型［9］．基于粒子的動力學模型及其拉氏量和方程，筆者進行了某些數(shù)學研究，探討了相關的應用，并定量討論了強子質(zhì)量．

1 拉氏量和動力學模型

粒子物理中的拉氏量，最廣泛的是相互作用統(tǒng)一及其破缺的拉氏量［10］．它們基本由三類組成:自由場及其自相互作用項、彼此相互作用項和質(zhì)量項．非Abel規(guī)范理論具有嚴格的定域?qū)ΨQ性，則規(guī)范場的質(zhì)量一定是零．但一般粒子都有質(zhì)量，這表示定域?qū)ΨQ性被破壞，質(zhì)量常常由相互作用導致．它包括旋量場ψ、標量場φ和矢量場Aμ等．ψ可以描述自旋為1/2的基態(tài)粒子(包括輕子、夸克、重子)，方程是有相互作用的Dirac方程．而自旋為0的介子相應于標量場φ和Klein－Gordon(KG)方程．標量場也可以描述對稱性破缺并獲得質(zhì)量的Higgs場，決定自旋相同的強子之間彼此的縱規(guī)律．無質(zhì)量時其對應Goldstone粒子．矢量場Aμ描述矢介子，它是弱相互作用的中間矢量玻色子，或者夸克相互作用的膠子，質(zhì)量為零時可以是光子，對應電磁相互作用．其對應自旋不同的粒子之間的橫規(guī)律．

Weinberg－Salam弱電統(tǒng)一理論［10］的運動方程為:

SU(3)對稱性的拉氏量已經(jīng)包含在相互作用統(tǒng)一的拉氏量中．由后者可以導出動力學模型(DM)［11］及相應的各種公式，Higgs的拉氏量等．

動力學模型的拉氏量為［12］:

于是，運動方程為［12］:

在動力學模型中，重子能級由ψ場方程導出，標量介子的能級由φ場方程導出，而矢量介子的能級由Aμ場方程導出．φ和Aμ場方程代入ψ場分別得到重子的縱、橫規(guī)律:粒子規(guī)律表中的音階諧振子和GMO質(zhì)量公式及我們提出的對基態(tài)強子完全符合實驗的修改的質(zhì)量公式［11，13］:

最近筆者由一般的具有振動和轉(zhuǎn)動兩種運動狀態(tài)的突現(xiàn)弦(emergence string)方程就可以得到粒子的GMO質(zhì)量公式及(6)，并研究了對稱的強子壽命公式［14］．

φ場方程代入Aμ場方程是矢量介子的縱規(guī)律．Aμ場方程代入φ場方程得到標量介子的橫規(guī)律．φ場導致對稱性破缺，并由此獲得質(zhì)量．對φ－ψ場，Higgs破缺對稱性時是孤子解，說明基態(tài)、縱規(guī)律穩(wěn)定;對Aμ－ψ場則是類孤子解，說明共振態(tài)、橫規(guī)律不穩(wěn)定．各種具體機制的區(qū)別主要是φ和ψ場相互作用的具體形式．動力學模型符合SU(3)理論的結果，認為強子只是同一粒子的超多重態(tài)，僅僅量子數(shù)S、I不同而質(zhì)量有所差異．

2 動力學模型的某些應用

ψ=Aμ=0時，簡化后的動力學模型方程為［11］:

這與SLAC袋模型方程φ=4λ(φ2－f2)φ完全相同，其靜態(tài)解為

方程可以再簡化為□φ=0，這是一次近似，類似袋模型內(nèi)部的場方程□φ=0，對應于Goldstone粒子．對球?qū)ΨQ二維方程是

完全類似弦方程

Lorentz條件下，φ=0時，(5)化為

積分一次可得

積分常數(shù)C=B2/2μ2時，方程的解為

這種解不是波動方程型的Green解．但Aμ方程的精確解代入ψ方程(3)，非相對論近似時也是Morse勢和GMO公式及(6)，取近似時化為諧振子勢及其能級．

對稱陀螺型的轉(zhuǎn)動［15］，能級是

C=2A時與介子的推廣的GMO公式［11］完全相同．相應的方程化為

其解可以化為超比函數(shù)．進一步，由方程可以導出Goldstone超導解，Higgs渦線解(對應弦)，又類似超導渦線．

3 動力學模型的若干具體結果

短程時標量場的解為

此勢在r→0時為－∞，即斥力無窮大;在r比較大時為0，這表示短程相互作用．而近似解是電磁場的庫侖勢、常數(shù)勢及弦勢等之和．方程的孤子解和Green解統(tǒng)一．近似時各是庫侖勢φ∝1/r和弦勢φ∝r．這聯(lián)系于決定 ψ =c珋c 質(zhì)量的唯象勢［16，17］

后者是線性勢，而前者聯(lián)系于庫侖勢，所以此時電磁相互作用應該取一定作用．此勢對應于夸克具有的漸近自由和紅外奴役二重性．弦、袋等模型為此引入唯象的非線性自相互作用的Higgs標量場．粲素的非相對論勢

也是符合QCD漸近自由的勢，其中［18］V0= －0.76 GeV，αs=0.27，g=0.25 GeV，二者數(shù)值近似相等．(17)式中μ2=－2，則完全一致．

動力學模型可以簡化為振動－轉(zhuǎn)動模型［11，19，20］，此時不同粒子是各種振動－轉(zhuǎn)動能量的函數(shù)．它是把粒子內(nèi)部特性的量子數(shù)歸為一般時空或者特殊時空(如S－I或Q－U時空)的運動狀態(tài)．介子質(zhì)量公式的參數(shù)B為負說明轉(zhuǎn)動使質(zhì)量變小，這種反常似乎表明轉(zhuǎn)動不是在一般的空間中．而一般弦也可以有振動－轉(zhuǎn)動，由此導致相同的質(zhì)量公式［14］．

按照振動－轉(zhuǎn)動模型，重子只有一個穩(wěn)定的核心(質(zhì)子p)，其余只是外層不斷增大的重子，至多是某些軌道比較穩(wěn)定．而外圍增大時通常更加不穩(wěn)定，這應該是共振態(tài)壽命特別短的原因．SU(4)等夸克模型中必然存在udc等粲重子．如果二者統(tǒng)一，則粲重子就是軌道特別穩(wěn)定的粒子．介子無穩(wěn)定核心，它們經(jīng)Ross公式穩(wěn)定于μ子、電子e．粒子在基態(tài)低能時SU(3)符合最好，而高能激發(fā)態(tài)時，由于各種因素增多符合變差．一般而言，重子、介子的核心分別是p和π，它們分別對應于Dirac方程和KG方程．

動力學模型最后簡化為諧振子模型時，質(zhì)量公式近似等距．動力學弦是聯(lián)系各種粒子的機制，是使粒子激發(fā)到各種振動－轉(zhuǎn)動態(tài)的場，如此則更類似弦，而整個粒子結構類似袋．袋也導致Regge極．

已知Regge極S=AJ+B，我們曾提出對稱的寬度公式Γ=aJ+b［11］．二者結合可以得到公式

共振態(tài)的質(zhì)量平方和寬度是線性關系．QCD等把漸近自由歸為耦合常數(shù)，動力學模型是把其歸為勢．如此則與短程相互作用剛好相反，是一種特殊的相互作用．

質(zhì)量公式(6)可以化為S、I完全對稱的形式:

它實質(zhì)上反映的是強子對稱群的關系．按上述公式，對介子A=0，JPC=1－－的 ρ，K*，ω，φ，由 m(ρ)=775.5=M0+2B和m(K*)=894=M0+B/4，可得參數(shù)B= －67.7和M0=910.9(S=0，I=0)≈［m(ω)+m(φ)］/2=(783+1019)/2=901．質(zhì)量、壽命的精確公式必須包括二次項，也許只能作為微擾引入．

實際上，動力學模型只是討論已知粒子之間的關系，特別是由動力學方程導致質(zhì)量公式．這類似解Schrodinger方程導出氫原子的能級．最基本的粒子:質(zhì)子p，電子e，它們的質(zhì)量只能由基本參數(shù)決定，在Dirac方程中它們是給定的．而其它粒子的質(zhì)量則由相互作用決定，如對標量場方程:

動力學模型中，Morse勢為:

當r→∞時，U=D是常數(shù)，表示強相互作用是勢阱．Morse勢和諧振子勢當r→r0時，都有U=0，這表示漸近自由，指出粒子在核心處無相互作用．

進一步，Morse勢加諧振子勢為:

相應的方程為:

其能級近似為:

由上述能級可知，量子數(shù)n可以加不同系數(shù)，由此可以認為它們就是不同量子數(shù)，二者之比是．新量子數(shù)決定質(zhì)量等距．它可能是C、B等量子數(shù)．

粒子結構本身及其量子數(shù)說明其具有振動－轉(zhuǎn)動態(tài)．這一特性在實驗中應該有所反映．動力學模型經(jīng)拉氏量可以和很多模型互相結合．動力學模型應該隨拉氏量及其方程發(fā)展．拉氏量有所不同時，許多結果仍然相同．這說明拉氏量具有一定的任意性，但其中又有統(tǒng)一性．拉氏量都包含相互作用．其中φ場的孤子解幾乎都可以化為指數(shù)形式，其近似時正比于r．這說明表面神秘的類似性可能都是源于指數(shù)形式的短程相互作用．

一般假設對稱性推廣到SU(4)時出現(xiàn)新的量子數(shù)C．動力學模型推廣到SU(4)，可以認為是新的振動自由度，或者SU(4)時破缺不同，質(zhì)量公式不同．動力學模型主要就是導出勢，如Morse函數(shù)U(r)等．進一步，動力學模型及振動－轉(zhuǎn)動模型也許可以應用于分子、原子核等理論中．

引入色的截面比R=σ(e+e－→h)/σ(e+e－→μ+μ－)和π0→γγ都是與夸克數(shù)、電荷有關．這類似磁矩與電荷有關．它們隨能量E增高而變大，則部分子－夸克數(shù)N也應該隨之增多，這樣N是E的函數(shù)．動力學模型能量增大，方程及其破缺具有更大的對稱性SU(3)→SU(4，5，6)等．但是無矢量場時，QCD的SU(n)方程、拉氏量都相同．能量不同，有新量子數(shù)C似乎可以歸為破缺不同．動力學模型應該與MSM、統(tǒng)計模型相結合．統(tǒng)計方程與拉氏量結合．

QCD、拉氏量有所不同的主要是矢量場、膠子場及其相互作用項．當Aμ=0時，拉氏量為:

由此就可以得到Dirac方程．動力學模型中，動力學破缺對稱性，再加標量場及其相互作用項．勢V(r)代人Schrodinger方程:

可以化為常微分方程:

設y'=yu(x)，得黎卡提方程:

歐勒型方程r2R″+rR'－n2R=0的解R=Crn+D/rn，n=1時即上述勢(17)(18)．

4 強子的質(zhì)量

基態(tài)介子是π，K，η(JPC=0－+)，它們的數(shù)目分別是3、2、1個，一共有6個粒子．

基態(tài)重子是N，Λ，Σ，Ξ(JP=(1/2)+)，它們一共是8個粒子．對JP=(3/2)+的重子 Δ，Σ，Ξ，Ω，它們的數(shù)目分別是 4、3、2、1 個，一共有10 個．

對JP=(1/2)+的基態(tài)重子，N(939)躍遷到最低激發(fā)態(tài)(1/2)+的N(1445±25)，質(zhì)量差為506;躍遷到下一個激發(fā)態(tài)(3/2)－的N(1445±25)，質(zhì)量差為581．Λ(1115)躍遷到最低激發(fā)態(tài)(1/2)－的Λ(1406±4)，質(zhì)量差為291．Σ+(1189)躍遷到最低激發(fā)態(tài)(3/2)+的Σ+(1382)，質(zhì)量差為193．Ξ－(1321)躍遷到最低激發(fā)態(tài)(3/2)+的Ξ－(1535)，質(zhì)量差為214．對JP=(3/2)+的重子，Δ(1232)躍遷到最低激發(fā)態(tài)(1625±75)，質(zhì)量差為393．Ω(1672)躍遷到最低激發(fā)態(tài)(2252 ±9)，質(zhì)量差為580［21］．它們的質(zhì)量差之比近似為:5∶6∶3∶2∶2∶4∶6．

對JP=0－的基態(tài)介子，π(140)躍遷到最低激發(fā)態(tài)的介子η(548)，質(zhì)量差為408．K(496)躍遷到最低激發(fā)態(tài)(894)，質(zhì)量差為 398．對輕子，e(0．511)躍遷到下一個激發(fā)態(tài) μ(105．658)，質(zhì)量差為 105［21］．它們的質(zhì)量差之比近似為:4∶4∶1．

Kunstmann等提出相對論自旋1/2粒子的基本質(zhì)量量子［22］．他們引入M=α－1me=70 MeV，m(μ)≈1．5 M=105 MeV，m(τ)≈ =25.5M=1785 MeV，對輕子是半整數(shù)．推廣到介子是整數(shù)，m(π±)=2M=140 MeV，m(K±)≈7M=490 MeV，m(η)≈8M=560 MeV，m(D±)≈27M=1890 MeV．對重子是半整數(shù)，m(n)≈13．5 M=945 MeV．但 m(Λ)≈16M=1120 MeV．

筆者曾探討過代的結構關系和重味強子的質(zhì)量公式等［23］．但隨著重味強子的不斷增多，其質(zhì)量關系也越來越復雜．對重味夸克介子和族具有極好的對稱性，都符合QCD，兩方面基本類似［24］．

5 動力學模型可能的發(fā)展

筆者探討了粒子物理中的各種統(tǒng)一．它們包括相互作用統(tǒng)一和規(guī)范場，場、粒子及其方程的統(tǒng)一，低高能時的統(tǒng)一，統(tǒng)一和非線性理論的關系等．并且提出它們也許可以統(tǒng)一到統(tǒng)計性［25］．粒子物理中一般的拉氏量必須包含五類場:ψB(重子，夸克)、ψL(輕子)、Aμ(超強相互作用的膠子，電磁相互作用的光子)、Bμ(弱相互作用的中間矢量玻色子)和φ(Higgs粒子，強相互作用介子)及各種場量的組合對應的各種粒子間的相互作用．這些就是相互作用統(tǒng)一的拉氏量及相應的群．

假設介子的核是輕子時，相應的方程是Dirac方程;附加旋量場導致振動，產(chǎn)生介子及相應的質(zhì)量公式，再以此為核心形成振動－轉(zhuǎn)動態(tài)的各介子．由此形成e→μ→π→其它介子的結構，定量的質(zhì)量關系就是推廣的 Rosen －Ross公式［11］m=me(1+n/2α)．

動力學破缺的動力學模型的數(shù)學結果是唯一的，但其可以有不同的簡化結果．進一步的發(fā)展可以聯(lián)系于:(1)夸克、部分子模型，QCD假設夸克－膠子存在，其對稱性破缺后是動力學模型，由此導出弦、袋等夸克幽禁的勢;或者一開始就假設動力學破缺，夸克不一定存在;或者是幻夸克的MSSM［11］．(2)動力學破缺是Higgs機制加鬼場．Higgs破缺導出粒子質(zhì)量，鬼場對應Goldstone玻色子．(3)規(guī)范場及相互作用統(tǒng)一及其破缺，這聯(lián)系于流代數(shù)、Higgs力學、Goldstone粒子等．(4)QCD、QFD，QCD對稱性被Higgs機制或動力學破缺．(5)Regge極與Veneziano模型，包括胡寧等的諧振子理論［26］，它們都統(tǒng)一在拉氏量及方程中．(6)雙關模型及弦、袋等．(7)孤子、二維Sine－Gordon方程等價于Thirring模型．目前似乎主要只有統(tǒng)計模型及其碰撞理論還與此無關．

按照動力學模型基態(tài)粒子的各組成部分彼此接近，所以是弱相互作用及其衰變;而共振態(tài)橫振動的各部分距離較遠，所以是強相互作用及其衰變．對粒子的砂子－軟物質(zhì)(soft matter)模型，大量砂子構成粒子的軟物質(zhì)模型．由此可以對應粒子流體力學模型;流動的顆?？梢孕纬深惞伦?，這又對應夸克－部分子．這即砂子流動或運動時形成夸克．

按照振動－轉(zhuǎn)動模型，粒子衰變應該有一個核．不同衰變道即從同一高激發(fā)態(tài)躍遷到不同的低激發(fā)態(tài)．這類似于原子的光子輻射．不同的光譜系對應于不同的衰變道．量子力學中的能量對應于衰變道、分支比中的寬度．不同類的衰變道類似不同類的光譜．衰變道可以由此結合統(tǒng)一的衰變公式［11］．由此修改、發(fā)展及結合動力學模型的拉氏量有可能導致衰變及相應的流代數(shù)等．按照動力學模型基態(tài)粒子的各組成部分彼此接近，所以是弱相互作用及其衰變;而共振態(tài)橫振動的各部分距離較遠，所以是強相互作用及其衰變．由此修改、發(fā)展及結合動力學模型的拉氏量應可以導致衰變及相應的流代數(shù)等．

總之，對稱性及其破缺已經(jīng)由實驗證實是粒子物理中一個極其重要的特性．其中動力學破缺應當是一個非常具有豐富內(nèi)容的發(fā)展方向．

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