樓吉輝，胡文成，趙辟，張解放2，

(1.浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江金華321004;2.浙江傳媒學(xué)院互聯(lián)網(wǎng)與社會(huì)研究中心，浙江杭州310018)

(2+1)維非線性薛定諤方程的線畸形波及其傳播特性

樓吉輝1，胡文成1，趙辟1，張解放2，1

(1.浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江金華321004;2.浙江傳媒學(xué)院互聯(lián)網(wǎng)與社會(huì)研究中心，浙江杭州310018)

采用一個(gè)通用的理論，即用相似變換的方法，研究構(gòu)建了(2+1)維非線性薛定諤方程的精確畸形波解，并進(jìn)一步討論了一階、二階光學(xué)畸形波的傳輸特性，我們提出的線畸形波概念在理論和應(yīng)用方面都具有啟迪價(jià)值.

(2+1)維;非線性薛定諤方程;相似變換;線畸形波

0 引言

畸形波首先是在海洋中[1－3]發(fā)現(xiàn)的，是一種目前尚無(wú)法全面解釋和預(yù)測(cè)的突然出現(xiàn)的大浪，其波高明顯大于甚至數(shù)倍于相鄰波，波峰高而陡且常以單峰出現(xiàn)，存在時(shí)間很短[4].因其突發(fā)時(shí)的強(qiáng)危害性、目前的不可預(yù)測(cè)性及出現(xiàn)頻次迅速增加的趨勢(shì)，已經(jīng)引起了全世界涉海工作人員的重視[5－7].一般而言，調(diào)制不穩(wěn)定性(MI)被認(rèn)為是畸形波產(chǎn)生的主要機(jī)制;另外孤子的碰撞，由于伴隨著能量的交換，也會(huì)產(chǎn)生畸形波[8].目前畸形波動(dòng)力學(xué)特征的物理模型大多采用非線性薛定諤方程來(lái)表征.自20世紀(jì)80年代以來(lái)，非線性薛定諤方程(NLSE)已成為非線性科學(xué)中一個(gè)重要的基本方程，它出現(xiàn)在很多領(lǐng)域中，如水動(dòng)力學(xué)、非線性量子場(chǎng)論、等離子體物理、非線性光學(xué)、流體動(dòng)力學(xué)等.幾十年來(lái)不同學(xué)科的研究者用不同方法對(duì)非線性薛定諤方程(NLSE)的求解及其動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了系統(tǒng)而全面的研究.在非線性光學(xué)中，非線性薛定諤方程可以很好地描述單模光纖中光孤子的傳播行為，而且可以傳播無(wú)限長(zhǎng)的距離而不會(huì)有信息失真和波形畸變，具有很高的傳輸碼率.鑒于不同物理圖景都可以有非線性薛定諤方程描述，因此隨著對(duì)畸形波研究的深入，相繼在玻色－愛(ài)因斯坦凝聚[9－11]、非線性光學(xué)[12－13]等領(lǐng)域被開(kāi)拓討論.1995年畸形波在挪威開(kāi)放海域的石油平臺(tái)上被首次觀測(cè)，其后在光學(xué)系統(tǒng)和玻色－愛(ài)因斯坦凝聚中，畸形波的實(shí)現(xiàn)也不斷報(bào)道[10，14].

因?yàn)閷?shí)際的物理問(wèn)題都是高維的，本文旨在構(gòu)建(2+1)維非線性薛定諤方程的精確畸波解，并進(jìn)一步討論線畸形波的傳播特性.

1 (2+1)維非線性薛定諤方程精確畸形波解

(2+1)維常系數(shù)非線性薛定諤方程具有如下形式:

其中u(z，x，y)是光脈沖波包的電場(chǎng)強(qiáng)度分量，z是歸一化后的傳播距離，x和y是歸一化后傳播平面上的兩個(gè)直角坐標(biāo)分量.

為了研究光學(xué)畸形波的動(dòng)力學(xué)特性，我們對(duì)方程(1)中的u進(jìn)行相似變換:

其中，函數(shù)ρ(z)和φ(z，x，y)分別代表了解的振幅和相位，實(shí)函數(shù)X(z，x，y)是相似變量，關(guān)于歸一化傳播距離的實(shí)函數(shù)的Z(z)在這里代表有效傳播距離.將方程(2)代入方程(1)，我們就可以得到復(fù)函數(shù)U(Z，X)將會(huì)滿足常系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)非線性薛定諤方程:

將相似變換(2)代入方程(1)的過(guò)程中，我們得到各變換系數(shù)函數(shù)必須滿足的一組微分方程:

由方程(8)，我們不妨定義相似變量有如下的函數(shù)形式:

式中，k，l和p都是待定的關(guān)于傳播距離的實(shí)函數(shù)，將方程(9)代入方程(5)可以得到:

其中，φ0(z)，k(z)，l(z)和p(z)可以通過(guò)將方程(10)代入方程(6)得到.經(jīng)代數(shù)運(yùn)算后我們可以得到上述四個(gè)實(shí)函數(shù)有如下的函數(shù)形式:

式中，k0，l0，c0，c1，c2是實(shí)常數(shù).這里需要說(shuō)明的是c1同輸入脈沖的初始啁啾參數(shù)有關(guān).通過(guò)將方程(10)－(14)代入方程(4)和方程(7)，我們便得到了振幅ρ和有效傳播距離Z的表達(dá)式:

我們之所以把方程(1)通過(guò)相似變換，化到方程(3)，是因?yàn)閷?duì)于方程(3)學(xué)界已有諸多的解析解研究成果，諸如行波解、亮孤子解和暗孤子解和有理數(shù)解等等.這里，我們將考慮由D.H.Peregrine在1983年提出的振蕩有理解[3].我們對(duì)其一階解作伽利略變換[3，22]可以得到U(Z，X)具有如下的解的形式:

其中Zc和v是兩個(gè)任意常數(shù)，Xc=v(Z－Zc)是畸形波的中心位置，Z=Zc是畸形波出現(xiàn)的位置.將方程(17)代入相似變換方程(2)，我們就可得到方程(1)的一階振蕩有理解:

這個(gè)解我們稱之為一階二維光學(xué)畸形波解.因?yàn)榉匠?3)還存在更高階的有理解，同樣可以求出方程(1)的高階二維光學(xué)畸形波解.方程(3)的二階Peregrine孤子解是:

表達(dá)式中的G，H和D分別為:

類似于一階解的處理方式，對(duì)二階Peregrine孤子解進(jìn)行伽利略變換，可以求出方程(3)的二階二維光學(xué)畸形波解:

其中φ，φ，Z和X有方程(6)到(9)給出.

值得指出，這里得到的精確二維畸形波解(18)和(20)是關(guān)于線性組合坐標(biāo)和傳播距離表示的一階和二階二維有理形式解.但考慮到實(shí)際物理背景，只有在平面上討論方程(1)的解才有意義，如光學(xué)上就是波導(dǎo)介質(zhì)截面，水動(dòng)力學(xué)就是水平面.在下節(jié)，類比于KP方程的線孤子解，我們?cè)谄矫嫔涎芯?2+1)維非線性薛定諤方程的精確畸形波解，并分析其動(dòng)力學(xué)傳播特性.

圖1 1階二維光學(xué)畸形波在線性且合坐和有效傳播距離坐標(biāo)上的圖像.其參數(shù)為:k=2，l=1，c1=0，Zc=10，v=0.1，Z0=0

2 二維線畸形波的演化傳輸特性

下面我們將對(duì)無(wú)初始啁啾(c1=0)的二維光學(xué)畸形波的傳輸特性進(jìn)行討論.為簡(jiǎn)潔起見(jiàn)，令c0=1，Z0=0就有:

從方程(2)、(17)和(21)中，我們可以得到無(wú)啁啾光學(xué)脈沖的中心位置為Xc=v(Z－Zc).而且，從方程(22)中，可以看出此時(shí)有效傳播距離Z是歸一化傳播距離z的一次函數(shù).考慮到知道方程(1)中初始光脈沖u(z，x，y)的演化是由相似變換后方程(3)所描述的初始脈沖U(0，X)的演化決定的，我們可以知道這兩者的演化是等價(jià)的.因此，如果Z＜Zc或Z＜Zc，則畸形波將不會(huì)被激發(fā)(將被抑制)，因?yàn)閺姆匠?3)中可以看出畸形波在Z=Zc處才具有最大波幅.當(dāng)然，我們也可以通過(guò)將方程(22)與方程(19)代入到解的表達(dá)式(17)中，來(lái)研究具有初始啁啾的光學(xué)畸形波，本文中限于篇幅不予討論.

當(dāng)Z=(k2+l2)z+Z0=Zc即z=(Zc－Z0)/(k2+l2)時(shí)，光脈沖的振幅迅速達(dá)到最大值，然后振幅迅速減小.

圖2 1階二維光學(xué)畸形波在x－y平面上隨歸一化傳播距離z的演化圖像(其參數(shù)同圖1).

圖3 2階二維光學(xué)畸形波在線性組合坐標(biāo)和有效傳播距離坐標(biāo)上的圖像.其參數(shù)為:k=2，l=1，c1=0，Zc=10，v=0.1，Z0=0

圖4 2階二維光學(xué)畸形波在x－y平面上隨歸一化傳播距離z的演化圖像(其參數(shù)同圖1)

圖1、圖3分別為一階二階二維光學(xué)畸形波在線性組合坐標(biāo)和有效傳播距離坐標(biāo)上的圖像.圖2、圖4給出了對(duì)應(yīng)的畸形波在真實(shí)的x－y平面上隨歸一化傳播距離z的演化圖像.可以看出，在真實(shí)的x－y平面上，二維畸形波呈現(xiàn)出線孤子的形態(tài)，但與孤子不同的是，其最大峰值極大，保持了畸形波的獨(dú)有性質(zhì)，所以我們可以稱這樣的波為線畸形波.

3 結(jié)語(yǔ)

總之，本文構(gòu)建了(2+1)維非線性薛定諤方程精確畸形波解，即有理形式解，同時(shí)發(fā)現(xiàn)二維畸形波具有KP方程線孤子解的特征，因此我們提出了線畸形波的概念，并討論了一階、二階線畸形波的傳播特性.這些結(jié)果豐富了我們對(duì)畸形波的認(rèn)識(shí)和了解.值得指出，本文的處理方法還可以用來(lái)降低維數(shù)，減少了研究高維問(wèn)題的復(fù)雜性，這為討論高維問(wèn)題提供了一個(gè)有啟迪的途徑.

[1] Osborne Z R.Nonlinear Ocean Waves[M].Academic Press，New York，2009.

[2] Kharif C，Pelinovsky E，Slunyaev A.Rogue Waves in the Ocean，Observation，Theories and Modeling[M].Springer，New York，2009.

[3] Muller P，Garrett C，Osborne A.Rogue Waves:The Fourteenth'Aha Huliko'a Hawaiian Winter Workshop[J].Oceanography，2005，18:66.

[4] 陶愛(ài)峰，胡國(guó)棟.災(zāi)害性異常浪特性及研究方法綜述[J].自然災(zāi)害學(xué)報(bào)，2008，17:01.

[5] Akhmediev N，Ankiewicz A，Taki M.Waves That Appear from Nowhere and Disappear without a Trace[J].Phys.Lett.A.，2009，373:675－678.

[6] Ankiewicz A，Devine N，Akhmediev N.Are rogue waves robust against perturbations[J].Phys.Lett.A.，2009，373 3997－4000.

[7] 李俊，陳剛，楊建民，深水畸形波的實(shí)驗(yàn)室物理模擬[J].中國(guó)海洋平臺(tái)，2009，24:03.

[8] 謝濤，南撐峰，曠海蘭，鄒光輝，等.反常波海面參數(shù)計(jì)算方法及其色散關(guān)系[J].物理學(xué)報(bào)，2009，58:4001.

[9] Dalfovo F，Giorgini S，Pitaevskii L P，Stringari S.Theory of Bose－Einstein condensation in trapped gases[J].Rev.Mod.Phys.，1999，71:463－512.

[10] Bludov Y V，Konotop V V，Akhmedicv N.Matter rogue waves[J].Phys.Rev.A.，2009，80:033610.

[11] Liu W M，Wu B，Niu Q.Nonlinear Effects in Interference of Bose－Einstein Condensates[J].Phys.Rev.Lett.，2000，84:2294－2297.

[12] Ponomarenko S A，Agrawal G P.Nonlinear interaction of two or more similaritons in loss－and dispersion－managed fibers[J].J.Opt.Soc.Am.B.，2008，25:983－989.

[13] Tian Q，Yang Q，Dai C Q，Zhang J F.Controllable optical rogue waves:Recurrence，annihilation and sustainment[J].Opt.Commun.，2011，284:2222－2225.

[14] Solli D R，Ropers C，Koonath P，Jalal B.Optical rogue waves[J].Nature.，2007，450:1054－1057.

[15] Peregrine D H.Water waves，nonlinear Schr?dinger equations and their solutions[J].J.Australian Math.Soc.Ser.B.，1983，25:16－43.

[16] Ohta Y，Yang J K.General high－order rogue waves and their dynamics in the nonlinear Schr?dinger equation[J].Proc.R.Soc.A.，2012，468:1716－1740.

[17] Serkin V N，Hasegawa A.Novel Soliton Solutions of the Nonlinear Schr?dinger Equation Model[J].Phys.Rev.Lett.，2000，85:4502.

[18] Ponomarenko S A，Agrawal G P.Interactions of chirped and chirp－free similaritons in optical fiber amplifiers[J].Opt.Express.，2007，15:2963－2973.

[19] Kruglov V I，Peacock A C，Dudley J M，Harvey J D.Self－similar propagation of high－power parabolic pulses in optical fiber amplifiers[J].Opt.Lett.，2000，25:1753－1755.

[20] Yan ZY.Nonautonomous“rogons”in the inhomogeneous nonlinear Schr?dinger equation with variable coefficients[J].Phys.Lett.A.，2010，374:672－679.

[21] Moores J D.Nonlinear compression of chirped solitary waves with and without phase modulation[J].Opt.Lett.，1996，21:555–557.

[22] Dai C Q，Zhu S Q，Wang L L，Zhang J F.Exact spatial similaritons for the generalized(2+1)－dimensional nonlinear Schr?dinger equation with distributed coefficients[J].Europhys.Lett.，2010，92:24005.

Line rogue wave solution of(2+1)dimensional nonlinear Schr?dinger equation and its propagation characteristic

LOU Jihui1，HU Wencheng1，ZHAO Bi1，ZHANG Jiefang2，1
(1.Institute of Nonlinear Physics，Zhejiang Normal University，Jinhua 321004，China;2.Center of Internet and Society Zhejiang University of Media and Communications，Hangzhou 310018，China)

We propose a unified theory，that is similarity transformation，to construct exact optical rogue wave solutions of(2+1)dimensional nonlinear Schr?dinger equation.Moreover，we investigate propagation dynamics of the first－order and second－order optical rogue wave in the optical fiber amplifier.Finally，we introduce the concept of linear rouge wave which will give edification in theory and practical application.

(2+1)－dimensions;similarity transformation;nonlinear Schr?dinger equation;line rogue wave

O411.1

A

1672－3600(2013)06－0034－05

2013－03－19;

2013－04－15

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(No.11072219)

樓吉輝(1987－)，男，浙江余姚人，浙江師范大學(xué)碩士研究生，主要從事非線性物理的研究.

張解放(1959－)，男，浙江義烏人，浙江傳媒學(xué)院教授，博士，蘇州大學(xué)兼職博士生導(dǎo)師，主要從事非線性波、光孤子動(dòng)力學(xué)、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)等方面的研究.

【責(zé)任編輯:徐明忠】