劉 文 邊玉芳 陳玲麗 陽碧云

1 引言

與經(jīng)典測量理論相比，項目反應理論（IRT）采用非線性的模型建立被試在項目上的得分與潛在特質(zhì)之間的關(guān)系，具有題目參數(shù)的跨群體不變性、能力參數(shù)與項目難度參數(shù)定義在同一個量表上等優(yōu)良性質(zhì)，這為項目反應理論的推廣應用奠定堅實的基礎。但是由于項目反應理論模型的復雜性，帶來相應的參數(shù)（題目參數(shù)、能力參數(shù)）估計相對困難，在進行參數(shù)估計時通常要經(jīng)過多次復雜的迭代運算，進行運算時通常要求較大的樣本容量，并且還有可能的情況是得到的結(jié)果不收斂。

人工神經(jīng)網(wǎng)絡（Artificial Neural Networks，ANN）也稱為“神經(jīng)網(wǎng)絡”或類神經(jīng)網(wǎng)絡，是一種應用類似于人類大腦神經(jīng)突觸聯(lián)接的方式進行信息處理的數(shù)學模型，它是以對大腦的勝利研究成果為基礎，通過模擬大腦的某些機制，從而實現(xiàn)特定的功能，它是當前國內(nèi)外研究的一個前沿領(lǐng)域。人工神經(jīng)元是人工神經(jīng)網(wǎng)絡基本的信息處理單元，人工神經(jīng)網(wǎng)絡通過對大量人工神經(jīng)元按照一定的拓撲結(jié)構(gòu)組織起來，形成群體并行式處理的計算結(jié)構(gòu)。神經(jīng)網(wǎng)絡已經(jīng)應用于模式識別、圖像處理、控制和優(yōu)化、預報和智能信息管理、通信、空間科學等領(lǐng)域，顯示出無可比擬的優(yōu)勢和應用前景。BP神經(jīng)網(wǎng)絡是一種多層前饋型神經(jīng)網(wǎng)絡，可以實現(xiàn)從輸入值到輸出值的任意非線性映射，其權(quán)值的調(diào)整采用反向轉(zhuǎn)播學習算法，目前在神經(jīng)網(wǎng)絡的實際應用中，絕大部分的神經(jīng)網(wǎng)絡模型都采用BP網(wǎng)絡及其變化形式。在IRT參數(shù)估計時，也有學者運用神經(jīng)網(wǎng)絡進行IRT的參數(shù)估計[1-4]，神經(jīng)網(wǎng)絡對于小樣本的參數(shù)估計也能適用[5，6]，這些方法在使用神經(jīng)網(wǎng)絡時通常以經(jīng)典測量理論中的通過率P作為難度的輸入值、點二列相關(guān)系數(shù)rpb作為區(qū)分度的輸入值、題目平均得分作為能力的輸入值，相應的IRT參數(shù)b、a、θ作為神經(jīng)網(wǎng)絡的輸出值來訓練神經(jīng)網(wǎng)絡，然后使用訓練好的神經(jīng)網(wǎng)絡進行新項目的參數(shù)估計，采用訓練好的神經(jīng)網(wǎng)絡進行IRT的參數(shù)估計也能達到一定的誤差要求。

文中提出根據(jù)經(jīng)典測量理論計算的難度、區(qū)分度進行相應的轉(zhuǎn)換，在BP神經(jīng)網(wǎng)絡中運用與前人研究不同的輸入值估計IRT的項目參數(shù)的新方法，試圖減少參數(shù)估計的誤差，提高參數(shù)估計的精度。

2 IRT模型

項目反應理論通常使用一定的數(shù)學模型來刻畫被試的得分與潛在特質(zhì)的關(guān)系，項目反應理論模型通常分為二值記分的模型和多值記分的模型，其中最常用的是二值記分（0-1）的模型，二值記分的模型又分為單參數(shù)、雙參數(shù)和三參數(shù)模型，二值記分的三參數(shù)的 logistic 模型為：pi（θ）=ci+（1-ci）/（1+exp[-Dai（θ-bi）]），這里D=1.702，θ為被試的能力值，ai表示項目 i的區(qū)分度、bi表示項目 i的難度、ci表示項目i的猜測參數(shù)，pi（θ）表示能力為θ的被試答對區(qū)分度為a、難度為b、猜測參數(shù)為c的項目i的概率，當被試答對該題時，得分為1，否則為0。在該模型中，當ci=0時為雙參數(shù)模型，當ci=0、ai=1時為單參數(shù)模型。假設有N個考生參加由m個項目組成的測驗，所有考生對各個項目的反應就組成一個Nm的得分矩陣U，參數(shù)估計就是尋找一組項目參數(shù)和被試的能力參數(shù)，代入IRT模型后，能夠與項目反應得分矩陣U擬合得很好，在該矩陣中有N+3m個參數(shù)需要估計，這顯然是一件非常困難的事情。伯恩鮑姆（1968）建議先計算能力參數(shù)、項目參數(shù)的初值，然后分兩步進行迭代計算[7]：第一步，先假定能力參數(shù)為已知，求出項目參數(shù)的估計值；第二步，將項目參數(shù)的估計值看做項目參數(shù)的“真值”，求能力參數(shù)的估計值，這樣前后兩步稱為一輪。如果滿足收斂準則，則得到的項目參數(shù)和能力參數(shù)為所求的結(jié)果；否則，將這些值看做新一輪的初值，再進行下一輪的兩步迭代，直到結(jié)果滿足收斂準則為止。目前的參數(shù)估計方法例如MLE、EM、MCMC等都是根據(jù)伯恩鮑姆的這一思想進行的。

3 基于神經(jīng)網(wǎng)絡的IRT參數(shù)估計方法

文中設a、b、θ服從如下分布：能力參數(shù)θ～N（0，1），即生成被試的能力參數(shù)θ服從均值為0，方差為1的正態(tài)分布；ln a～N（0，1），b～N（0，1）。使用MATLABR2007b軟件模擬生成N個被試作答m個項目的數(shù)據(jù)，a、b、θ滿足上述條件。研究中采用四層的神經(jīng)網(wǎng)絡，節(jié)點數(shù)依次為10、7、3、1，前三層采用S型函數(shù)（tansig），最后一層采用線性函數(shù)（purelin）[2]。為了便于描述，以下只分兩種方法進行介紹，方法一為分別以經(jīng)典測量理論的通過率、點二列相關(guān)系數(shù)和平均得分作為網(wǎng)絡輸入估計a、b、θ，方法二為分別以IRT模型參數(shù)估計的初值作為網(wǎng)絡輸入估計a、b、θ。

3.1 能力參數(shù)θ的估計

方法一：利用平均得分率作為網(wǎng)絡輸入，IRT的θ為輸出值，訓練并測試網(wǎng)絡。

（1）模擬。根據(jù)模擬生成的N個被試能力參數(shù)和m個項目參數(shù)計算 pi（θ），使用蒙特卡羅方法生成被試得分矩陣U，當rij≤pij時，uij=1，否則uij=0。隨機生成30個得分矩陣。

（2）降維。根據(jù)得分矩陣U，計算每名被試對m個項目的平均得分（x/m）作為神經(jīng)網(wǎng)絡的輸入向量，以模擬被試的能力θ為神經(jīng)網(wǎng)絡的輸出值訓練神經(jīng)網(wǎng)絡。將30個平均得分向量作為網(wǎng)絡輸入訓練30個網(wǎng)絡。

（3）測試。模擬生成N1個被試能力參數(shù)和m1個項目參數(shù)計算，生成得分矩陣，計算每名被試對m1個項目反應的平均得分（x1/m1）作為神經(jīng)網(wǎng)絡的輸入向量，測試訓練好的神經(jīng)網(wǎng)絡進行被試能力輸出。分別測試訓練好的30個神經(jīng)網(wǎng)絡。計算每次測試網(wǎng)絡輸出值與模擬數(shù)據(jù)的能力值的誤差，即error=yy-θT，yy為神經(jīng)網(wǎng)絡的輸出值，θT為模擬生成的N1個被試的能力值。

方法二：利用N-R迭代求能力參數(shù)的極大似然估計的初值θ0作為網(wǎng)絡輸入，IRT的θ為輸出值，訓練并測試網(wǎng)絡。

（1）模擬。與3.1.1方法一模擬相同。

（2）降維。與3.1.1方法一的區(qū)別是輸入向量不同，輸入向量為每名被試對m個項目的得分（x）與失分（m-x）之比的自然對數(shù)ln[ ]x/（m-x）作為神經(jīng)網(wǎng)絡的輸入向量（對總分為滿分和零分的被試進行預處理，依據(jù)Conquest軟件的處理方法，滿分則減去0.3，0分則加上0.3）。

（3）測試。與3.1.1方法一的區(qū)別是輸入向量不同，ln[x1/（m1-x1）]作為神經(jīng)網(wǎng)絡的輸入向量進行測試。

項目參數(shù)a、b的兩種估計方法與能力的兩種估計方法類似。

3.2 項目參數(shù)a的估計

方法一：利用每個項目與總分的點二列相關(guān)系數(shù)作為網(wǎng)絡輸入，IRT的a為輸出值，訓練并測試網(wǎng)絡。

（1）模擬。與3.1.1方法一模擬相同。

（2）降維。計算項目得分矩陣U中每個項目與總分的點二列相關(guān)系數(shù)

（3）測試。與3.1.1方法一的區(qū)別是輸入向量不同，點二列相關(guān)作為神經(jīng)網(wǎng)絡的輸入向量進行測試。

方法二：利用IRT參數(shù)估計的初值aj作為網(wǎng)絡輸入，IRT的a為輸出值，訓練并測試網(wǎng)絡。

（1）模擬。與3.1.1方法一模擬相同。

（2）降維。與3.2.1方法一的區(qū)別是網(wǎng)絡輸入的初值為aj，aj通過點二列相關(guān)轉(zhuǎn)化得到，具體為：根據(jù)得分矩陣U計算每個項目的通過率pj，并根據(jù)通過率pj轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分數(shù)zj，即根據(jù)計算出zj。再把點二列相關(guān)rpb轉(zhuǎn)化為二列相關(guān)rb，其公式為最后，求得輸入向量aj，即利用aj作為網(wǎng)絡輸入向量訓練網(wǎng)絡。

（3）測試。與3.2.1方法一的區(qū)別是輸入向量不同，aj作為神經(jīng)網(wǎng)絡的輸入向量進行測試。

3.3 項目參數(shù)b的估計

方法一：利用每個項目的通過率作為網(wǎng)絡輸入，IRT的b為輸出值，訓練并測試網(wǎng)絡。

方法二：區(qū)別在于計算網(wǎng)絡輸入向量bj時，公式為bj=zj/rbj，利用bj作為網(wǎng)絡輸入，IRT的b為輸出值，訓練并測試網(wǎng)絡。

4 實驗結(jié)果

評價參數(shù)估計精確性的指標通常采用均方根誤差（Root Mean Squared Error，RMSE）（有些文獻稱為RMSD）和平均絕對偏差（Mean Absolute Bias，MAB）（有些文獻稱為ABS）這兩個指標，表示估計值的個數(shù)，r表示網(wǎng)絡數(shù)。MAB指標反映了估計值與真值的絕對偏差的平均。MAB值越小，估計的準確性越高；RMSE指標反映的是估計值與真值偏差的離散程度。RMSE值也是越小越好。

實驗中訓練網(wǎng)絡時，訓練項目數(shù)分別取10、20、30、…、590、600（共60種實驗條件），訓練人數(shù)為100人；測試網(wǎng)絡時，測試時項目數(shù)為20題，人數(shù)為100人。每種實驗條件是循環(huán)30次后結(jié)果的平均值。

以MAB和RMSE作為不同方法估計精確度的指標，分別比較兩種方法在估計IRT兩參數(shù)模型中能力參數(shù)和項目參數(shù)的差異。

4.1 MAB指標分析結(jié)果

神經(jīng)網(wǎng)絡不同輸入向量對能力參數(shù)和項目參數(shù)估計的MAB指標分析結(jié)果見表1。

表1 能力參數(shù)和項目參數(shù)估計的MAB指標描述統(tǒng)計分析結(jié)果

從表1可以看出，對于難度的估計以通過率作為神經(jīng)網(wǎng)絡的輸入值比經(jīng)過轉(zhuǎn)換后的輸入值能得到更好的結(jié)果，而區(qū)分度和能力值的估計則是經(jīng)過轉(zhuǎn)換后的輸入值的結(jié)果更精確。

4.2 RMSE指標分析結(jié)果

神經(jīng)網(wǎng)絡不同輸入向量對能力參數(shù)和項目參數(shù)估計的RMSE指標分析結(jié)果見表2。

表2 能力參數(shù)和項目參數(shù)估計的RMSE指標描述統(tǒng)計分析結(jié)果

從表2可以看出，對于難度的估計以通過率作為神經(jīng)網(wǎng)絡的輸入值比經(jīng)過轉(zhuǎn)換后的輸入值能得到更好的結(jié)果，而區(qū)分度和能力值的估計則是經(jīng)過轉(zhuǎn)換后的輸入值的結(jié)果更精確。

綜合表1、表2的結(jié)果，表明MAB和RMSE的結(jié)論具有一致性。

5 結(jié)束語

實驗表明，基于經(jīng)典測量理論基礎上轉(zhuǎn)換后的輸入值的區(qū)分度和能力參數(shù)的估計，神經(jīng)網(wǎng)絡參數(shù)估計的方法具有較高的精確度與穩(wěn)定性；而難度參數(shù)的估計則是通過率占優(yōu)。但對于神經(jīng)網(wǎng)絡模型來說，估計的精確性不僅與網(wǎng)絡的輸入值有關(guān)同時還與神經(jīng)網(wǎng)絡的類型也有關(guān)系，例如采用徑向基網(wǎng)絡進行模擬訓練可能會得到不同的實驗結(jié)論，這些需要進一步的研究證據(jù)支持。由于研究中主要探討兩參數(shù)的項目反應模型，這個結(jié)論是否適用于三參數(shù)的項目反應模型仍需相關(guān)證據(jù)。同時，研究采用的是簡單的0-1評分的模型，對于多值評分的模型如何使用神經(jīng)網(wǎng)絡進行估計也值得探討。

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