杜先存，吳叢博，趙金娥

（1.紅河學(xué)院a.教師教育學(xué)院，b.數(shù)學(xué)系，云南 蒙自 661199；2.北京理工大學(xué) 理學(xué)院，北京 100081）

方程x3±1＝Dy2（D 是無(wú)平方因子的正整數(shù)）是一類重要的Diophantine方程，其整數(shù)解已有不少人研究過(guò).柯召、孫琦［1］證明了當(dāng)D 不含6k＋1型的素因子時(shí)，方程x3±1＝3Dy2無(wú)整數(shù)解，但當(dāng)D 含6k＋1型的素因子時(shí)，方程的求解較為困難.韓云娜［2］得出了方程x3±1＝3py2無(wú)正整數(shù)解的一個(gè)充分條件.陳曉化、李志蘋(píng)［3］得出了方程x3＋1＝3py2無(wú)正整數(shù)解的一個(gè)充分條件.樂(lè)茂華［4］得出了方程x3＋1＝3py2無(wú)正整數(shù)解的一個(gè)充分條件.樂(lè)茂華［5］得出了方程x3-1＝3py2無(wú)正整數(shù)解的一個(gè)充分條件.杜先存等［6］給出了方程x3-1＝Dy2無(wú)正整數(shù)解的一些充分條件.杜先存等［7］給出了方程x3-1＝py2無(wú)正整數(shù)解的三個(gè)充分條件.

1 引 理

引理［8］設(shè)a＞1，（a，b）∈N2，ab 不是完全平方數(shù)，若ax2-by2＝1有解（x，y）∈N2，設(shè)是方程ax2-by2＝1（x，y∈Z）的基本解，則ax2-by2＝1的任一組解可以表示為

2 主要結(jié)論

2.1 定理1及證明

定理1 設(shè)D＝27t2＋1（t∈Z＋）為奇素?cái)?shù)，則Diophantine方程

無(wú)正整數(shù)解.

證明 設(shè)（x，y）是方程（1）的正整數(shù)解，由費(fèi)馬小定理可知x3≡x（mod3），故有x3＋1≡x＋1≡0（mod3），此時(shí)x2-x＋1≡0（mod3），故gcd（x＋1，x2-x＋1）＝3.又因?yàn)閤＋1≡0（mod3），則有x2-x＋1?0（mod9）.故方程（1）可分解為以下兩種情形.

情形Ⅰ x＋1＝9Du2，x2-x＋1＝3v2，y＝3uv，gcd（u，v）＝1；

情形Ⅱ x＋1＝9u2，x2-x＋1＝3Dv2，y＝3uv，gcd（u，v）＝1.

對(duì)于情形Ⅰ，將第一式代入第二式，得（18Du2-3）2＋3＝3（2v）2，即

因此，式（2）的全部整數(shù)解可表示為

式中，（2，1）是Pell方程x2-3y2＝1的基本解，因此有6Du2-1＝±yn（n∈Z），即6Du2＝±yn＋1.又因?yàn)閥-n＝-yn，所以只需考慮

由式（3）得，yn≡-1（mod6）.容易驗(yàn)證下列各式成立：

對(duì)遞歸數(shù)列（4）取模6，其剩余類周期為6，當(dāng)n ≡-1（mod6）時(shí)，有yn≡-1（mod6）.故只有當(dāng)n ≡-1（mod6）時(shí)式（4）才成立.

對(duì)遞歸數(shù)列（4）取模8，其剩余類周期為4，當(dāng)n ≡1（mod4）時(shí)，有yn≡1（mod8）.由式（3）得，6Du2＝y(tǒng)n＋1≡2（mod8），則 有3Du2≡1（mod4）.因?yàn)镈＝27t2＋1（t∈Z＋），所以D ≡3t2＋1≡0，1（mod4），又因?yàn)镈為奇素?cái)?shù)，所以D ≡1（mod4）.又因?yàn)閡2≡0，1（mod4），所以3Du2≡0，3（mod4），這與“3Du2≡1（mod4）”矛盾，故只有當(dāng)n ≡-1（mod4）時(shí)式（3）才成立.

綜上，當(dāng)n ≡-1（mod12）時(shí)式（3）才成立.

當(dāng)n ≡-1（mod12）時(shí)，若n≠-1，設(shè)n＝3r·t-1，式中，r≥1，t ≡±4（mod12），則由式（3）、式（4）、式（5），得，即6Du2≡-208≡2（mod15），則有3Du2≡1（mod15），從而有3Du2≡1（mod3），矛盾.

若n＝-1，由式（3）得6Du2＝y(tǒng)-1＋1＝0，則有u＝0，從而給出方程（1）的平凡解為（x，y）＝（-1，0）.

所以情形Ⅰ無(wú)方程（1）的正整數(shù)解.

對(duì)于情形Ⅱ，將第一式代入第二式，整理，得

則（2v，6u2-1）是方程（1）的一組解.因?yàn)镈＝27t2＋1（t∈Z＋），所以（1，3t）是方程Dx2-3y2＝1的最小解.

由引理，式（6）可表示為

由式（7）可得6u2-1≡0（mod3t），故6u2-1≡0（mod3），因此，6u2≡1（mod3），這不可能.由此可知，情形Ⅱ不成立.

綜上，當(dāng)D＝27t2＋1（t∈Z＋）為奇素?cái)?shù)時(shí)，方程（1）無(wú)正整數(shù)解.

2.2 定理2及證明

定理2 設(shè)D＝27t2＋1（t∈Z＋）為奇素?cái)?shù)，則Diophantine方程

無(wú)正整數(shù)解.

證明 設(shè)（x，y）是方程（8）的正整數(shù)解，由費(fèi)馬小定理可知x3≡x（mod3），故有x3-1≡x-1≡0（mod3），此時(shí)x2＋x＋1≡0（mod3），故gcd（x-1，x2＋x＋1）＝3.又因?yàn)閤-1≡0（mod3），則有x2＋x＋1?0（mod9），故式（8）可分解為以下兩種情形.

情形Ⅲ x-1＝9Du2，x2＋x＋1＝3v2，y＝3uv，gcd（u，v）＝1；

情形Ⅳ x-1＝9u2，x2＋x＋1＝3Dv2，y＝3uv，gcd（u，v）＝1.

對(duì)于情形Ⅲ，將第一式代入第二式，得（18Du2＋3）2＋3＝3（2v）2，即

因此，式（9）的全部整數(shù)解可表示為

式中，（2，1）是Pell方程x2-3y2＝1的基本解，因此有6Du2＋1＝±yn（n∈Z），即6Du2＝±yn-1.又因?yàn)閥-n＝-yn，所以只需考慮

由式（10）得，yn≡1（mod6）.

對(duì)遞歸數(shù)列（4）取模6，其剩余類周期為6，當(dāng)n ≡1（mod6）時(shí)，有yn≡1（mod6）.故只有當(dāng)n ≡1（mod6）時(shí)式（10）才成立.

當(dāng)n ≡1（mod6）時(shí)，若n≠1，設(shè)n＝3×2r·t＋1，式中，r≥1，t ?0（mod2），則由式（3）、式（4）、式（10），得6Du2＝y(tǒng)2×3（2r-1×t-1）＋7-1≡±y7-1（mody3）.則當(dāng)r＞1時(shí)，有6Du2≡-y7-1（mody3），即6Du2≡-2 912≡-2（mod15），則有3Du2≡-1（mod15），從而有3Du2≡-1（mod3），矛盾.從而r＝1，此時(shí)n ≡7（mod12）.故只有當(dāng)n ≡7（mod12）時(shí)式（10）才成立.

當(dāng)n ≡7（mod12）時(shí)，若n ≠7，設(shè)n＝3s·m＋7，式中，s ≥1，m ≡±4（mod12），則由式（3）、式（4）及式（10），得），即6Du2≡-2（mod15），則有3Du2≡-1（mod15），從 而 有3Du2≡-1（mod3），矛盾.

當(dāng)n＝1時(shí)，由式（10）得6Du2＝y(tǒng)1-1＝0，則有u＝0，從而給出式（9）的平凡解為（x，y）＝（1，0）.

當(dāng)n＝7 時(shí)，由 式（10）得6Du2＝y(tǒng)7-1＝2 910，即Du2＝485，顯然不成立.

所以情形Ⅲ無(wú)方程（9）的正整數(shù)解.

對(duì)于情形Ⅳ，將第一式代入第二式，整理，得

則（2v，6u2＋1）是方程（1）的一組解.因?yàn)镈＝27t2＋1（t∈Z＋），所以（1，3t）是方程Dx2-3y2＝1的最小解.

由引理，式（11）可表示為

由式（12）可得6u2＋1≡0（mod3t），故6u2＋1≡0（mod3），因此6u2≡2（mod3），這不可能.由此可知，情形Ⅳ不成立.

綜上，當(dāng)D＝27t2＋1（t∈Z＋）為奇素?cái)?shù)時(shí)，方程（8）無(wú)正整數(shù)解.

3 結(jié) 語(yǔ)

本文通過(guò)對(duì)D＝27t2＋1（t ∈Z＋）時(shí)Diophantine方程x3±1＝3Dy2的解的存在性的討論，得出了Diophantine方程x3±1＝3Dy2無(wú)正整數(shù)解的一個(gè)充分條件.

［1］柯召，孫琦.關(guān)于丟番圖方程x3±1＝3 Dy2［J］.四川大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1981，18（2）：1-5.（Ke Zhao，Sun Qi.On the Diophantine Equation x3±1＝3 Dy2［J］.Journal of Sichuan University：Natural Science，1981，18（2）：1-5.）

［2］韓云娜.關(guān)于Diophantine方程x3±1＝3py2［J］.高師理科學(xué)刊，2010，30（3）：41-42.（Han Yunna.On the Diophantine Equation x3±1＝3py2［J］.Journal of Science of Teachers' College and University，2010，30（3）：41-42.）

［3］陳曉化，李志蘋(píng).關(guān)于Diophantine方程x3＋1＝3py2［J］.重慶工學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，23（4）：44-45.（Chen Xiaohua，Li Zhiping.On the Diophantine Equation x3＋1＝3py2［J］.Journal of Chongqing Institute of Technology：Natural Science，2009，23（4）：44-45.）

［4］樂(lè)茂華.關(guān)于Diophantine方程x3＋1＝3py2［J］.保定師范專科學(xué)校學(xué)報(bào)，2004，17（2）：12-13.（Le Maohua.On the Diophantine Equation x3＋1＝3py2［J］.Journal of Baoding Teachers'College，2004，17（2）：12-13.）

［5］樂(lè)茂華.關(guān)于Diophantine方程x3-1＝3py2［J］.廣西師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，22（4）：22-23.（Le Maohua.On the Diophantine Equation x3-1＝3py2［J］.Journal of Guangxi Teachers Education University，2005，22（4）：22-23.）

［6］杜先存，李玉龍，趙金娥.關(guān)于不定方程x3-1＝Dy2［J］.四川理工學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，25（4）：79-80.（Du Xiancun，Li Yulong，Zhao Jin'e.Indefinite Equation x3-1＝Dy2［J］.Journal of Sichuan University of Science ＆Engineering：Natural Science，2012，25（4）：79-80.）

［7］杜先存，史家銀，趙金娥.關(guān)于不定方程x3-1＝py2［J］.西南民族大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，38（5）：748-751.（Du Xiancun，Shi Jiayin，Zhao Jin'e.On the Indefinite Equation x3-1＝py2［J］.Journal of Southwest University for Nationalities：Natural Science，2012，38（5）：748-751.）

［8］夏圣亭.不定方程淺說(shuō)［M］.天津：天津人民出版社，1980：97-98.（Xia Shengting.Elementary Introduction to Indeterminate Equation［M］.Tianjin：Tianjin People's Publishing House，1980：97-98.）