王 坤，崔 棟

(燕山大學(xué)理學(xué)院，河北秦皇島 066004)

近年來(lái)，不確定系統(tǒng)的保性能控制的問(wèn)題引起了人們的關(guān)注。研究的目的是對(duì)不確定系統(tǒng)設(shè)計(jì)一個(gè)控制器，使得其閉環(huán)系統(tǒng)不僅對(duì)所容許的不確定性漸近穩(wěn)定，而且相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)的性能指標(biāo)不大于指標(biāo)上界。正常系統(tǒng)的保性能控制器的研究已有許多成果[1-6]。對(duì)于奇異系統(tǒng)可以更好的描述實(shí)際物理過(guò)程，所以對(duì)奇異系統(tǒng)的保性能控制的研究更有意義。文獻(xiàn)[7]—文獻(xiàn)[9]對(duì)于線性奇異系統(tǒng)的保性能控制問(wèn)題有了一定的發(fā)展，文獻(xiàn)[10]研究了廣義系統(tǒng)的時(shí)滯相關(guān)非脆弱H∞保成本控制，文獻(xiàn)[11]—文獻(xiàn)[12]利用Lipschitz條件設(shè)計(jì)了魯棒H∞保性能控制器,文獻(xiàn)[13]研究了一類不確定非線性奇異系統(tǒng)的保性能控制，未對(duì)輸入時(shí)滯進(jìn)行研究。但目前對(duì)于均具有狀態(tài)時(shí)滯與輸入時(shí)滯的不確定奇異系統(tǒng)的非線性擾動(dòng)的問(wèn)題的研究還不多見(jiàn)，本文針對(duì)這一類非線性不確定奇異時(shí)滯系統(tǒng)，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，線性矩陣不等式以及基本不等式方法設(shè)計(jì)了閉環(huán)系統(tǒng)的保性能控制器，使得閉環(huán)系統(tǒng)二次穩(wěn)定且具有H∞抑制水平γ，保性能的性能指標(biāo)不大于指標(biāo)上界。

1 問(wèn)題描述與預(yù)備知識(shí)

(1)

其中：x(t)∈Rn,u(t)∈Rm分別為系統(tǒng)的狀態(tài)向量和控制向量；ω(t)∈Rp為外界干擾輸入向量；z(t)∈Rq為受控輸出向量；通常矩陣E∈Rn×n為奇異矩陣，A,Ad,B1,B2,C為適當(dāng)維數(shù)的已知常數(shù)矩陣，h為不確定的、非時(shí)變的狀態(tài)時(shí)滯，滿足0≤h≤h*,h*為時(shí)滯h的已知上界；ΔA,ΔAd,ΔB1為時(shí)變參數(shù)不確定性。

假設(shè)參數(shù)不確定性是可測(cè)的，并具有如下形式：

[ΔAΔAdΔB1]=DF(t)[E1E2E3],

(2)

其中：D,E1,E2,E3是適當(dāng)維數(shù)的已知常數(shù)矩陣，F(xiàn)(t)∈Ri×j為時(shí)變未知實(shí)矩陣，Lebesgue可測(cè)且滿足FT(t)F(t)≤I。

非線性擾動(dòng)f(t,x(t),x(t-h))為時(shí)變、含有狀態(tài)和時(shí)滯狀態(tài)的耦合函數(shù)具有如下結(jié)構(gòu)：

fT(t,x(t),x(t-h))f(t,x(t),x(t-h))≤

(3)

其中H1,H2,H3是已知的定常結(jié)構(gòu)矩陣。

定義1系統(tǒng)(1)所對(duì)應(yīng)的性能指標(biāo)是：

(4)

其中：R1,R2為給定的對(duì)稱正定加權(quán)矩陣。

定義2對(duì)于系統(tǒng)(1)和性能指標(biāo)函數(shù)，若存在狀態(tài)反饋控制器：

u(t)=Kx(t),K∈Rm×n，

(5)

將狀態(tài)反饋控制器代入系統(tǒng)(1)，導(dǎo)出的閉環(huán)系統(tǒng)為

(6)

對(duì)于系統(tǒng)(1)和性能指標(biāo)(4)，若存在反饋控制律u(t)和一個(gè)正數(shù)J*，使得對(duì)所有允許的非線性擾動(dòng)f(t,x(t),x(t-h))和所有允許的不確定性，相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)(6)是魯棒漸近穩(wěn)定的且閉環(huán)系統(tǒng)的性能指標(biāo)(4)滿足J≤J*，這里J*為系統(tǒng)(1)的一個(gè)性能指標(biāo)上界，則稱控制器(5)為奇異系統(tǒng)的保性能控制器。

引理1[14]對(duì)任意x,y∈Rn及任意的實(shí)數(shù)ε>0，式(7)成立：

2xTy≤εxTx+ε-1yTy。

(7)

引理2[15]對(duì)于?a,b∈Rn,R=RT>0，有如下不等式(8)成立：

-2aTb≤aTRa+bTR-1b。

(8)

引理3[16]給定適當(dāng)維數(shù)的矩陣Y,D,E，其中Y為對(duì)稱矩陣，則Y+DFE+ETFTDT<0，對(duì)于所有滿足FTF≤I的矩陣F都成立，當(dāng)且僅當(dāng)在常數(shù)ε>0，使得：

Y+εDDT+ε-1ETE<0。

(9)

2 魯棒控制器的設(shè)計(jì)

(10)

則系統(tǒng)(1)的標(biāo)稱系統(tǒng)在反饋控制器(5)的作用下不僅漸近穩(wěn)定，而且在初始條件下具有給定H∞的擾動(dòng)抑制水平γ，并且相應(yīng)的成本函數(shù)上界為

證明取如下的Lyapunov-krasovskii泛函：

V(t,xt)=V1(t,xt)+V2(t,xt)+V3(t,xt),

V1(t,xt)=xT(t)ETPx(t),

對(duì)V(t,xt)沿閉環(huán)系統(tǒng)(6)的軌線求導(dǎo)數(shù):

其中:

2xT(t)Pf≤fTf+xT(t)PPTx(t)≤

V3(t,xt)=xT(t)Qx(t)-xT(t-h)Qx(t-h)。

當(dāng)ω(t)=0時(shí)，

閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

由于式(10)中含有不確定項(xiàng)，所以對(duì)式(10)中的不確定性結(jié)構(gòu)分解，于是得到下式：

其中：

最后得到:

得到：

3 數(shù)值算例

利用定理求解線性矩陣不等式，可得

則系統(tǒng)保性能狀態(tài)反饋控制器為

4 結(jié) 語(yǔ)

本文討論了一類非線性不確定奇異時(shí)滯系統(tǒng)的保性能控制問(wèn)題。首先，給出了非線性不確定奇異時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒H∞的保性能控制定義；然后應(yīng)用線性矩陣不等式方法、Lyapunov穩(wěn)定性理論以及基本不等式方法，給出了閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒H∞的保性能控制器存在的充分條件和設(shè)計(jì)方法。用數(shù)值算例說(shuō)明了方法的有效性。

參考文獻(xiàn)/References:

[1] YU Li,CHU Jian.An LMI approach to guaranteed cost control of linear uncertain time-delay systems[J].Automatic，1999,35(6):1 155-1 159.

[2] YU Li,GAO Furong.Optimal guaranteed cost control of dicrete uncertain time-delay systems with both state and input delays[J].Journal of the Franklin Institute,2001,338(1):101-110.

[3] WO Songlin,WU Jiancheng.Robust control and guaranteed cost control for singular systems[J]. Systems Engineering and Electronics,2007,29(6):955-961.

[4] KOSMIDOU O I, BOUTALIS Y S.A linear matrix approach for guaranteed cost control of systems with state and input delays[J].IEEE,Trans Syst Man Cybern，2006,36(2):936-942.

[5] XU S,LAM J, ZOU Y. Delay-dependent guaranteed cost control for uncertain systems with state and input delay[J].IEE Proceedings-Control Theory Application，2006，153：307-313.

[6] MUKAIDANI H.An LMI aooroach to guaranteed cost control for uncertain delay systems[J].IEEE Transaction on Circuits and Systems,2003,50(6):795-800.

[7] 高在瑞,王天成.一類不確定廣義時(shí)滯系統(tǒng)的保性能控制[J].計(jì)算技術(shù)與自動(dòng)化,2008,27(4):11-14.

GAO Zairui,WANG Tiancheng.Guaranteed cost control for a class of uncertain descriptor systems[J].Computing Technology and Automation,2008,27(4):11-14.

[8] 馬躍超,黃麗芳,張慶靈.時(shí)變不確定時(shí)滯連續(xù)系統(tǒng)的魯棒保性能控制[J].物理學(xué)報(bào),2007,56(7):3 744-3 752.

MA Yuechao,HUANG Lifang,ZHANG Qingling.Robust ruaranteed cost control for uncertain time-varying delay systems[J].Acta physica Sinica,2007,56(7):3 744-3 752.

[9] 楊 坤,紀(jì)志成.一類不確定奇異多時(shí)滯系統(tǒng)的保性能控制[J].信息與控制,2012,41(6):695-700.

YANG Kun,JI Zhicheng. Guaranteed cost control for uncertain singular systems with multiple delay[J].Information and Control,2012,41(6):695-700.

[10] 馬躍超,李超峰.廣義系統(tǒng)的時(shí)滯相關(guān)非脆弱保成本控制[J].控制工程,2012,19(1):176-180.

MA Yuechao,LI Chaofeng.Non-fragile delay-dependent guaranteed cost control for singular systems[J].Control Engineering of China,2012,19(1):176-180.

[11] 沃松林,史國(guó)棟,鄒 云.具有非線性擾動(dòng)的廣義系統(tǒng)的魯棒控制[J].控制與決策,2009,24(3):356-359.

WO Songlin,SHI Guodong,ZOU Yun.Robust control for singular systems with nonlinear perturbation[J].Control and Decision,2009,24(3):356-359.

[12] 朱曉丹,蘇連青,趙彥春,等.時(shí)滯相關(guān)的非線性廣義系統(tǒng)的保性能控制[J].河北科技大學(xué)學(xué)報(bào),2010,31(3):187-191.

ZHU Xiaodan,SU Lianqing,ZHAO Yanchun,et al.Guaranteed cost control for delay-dependent nonlinear singular systems[J].Journal of Hebei University of Science and Technology, 2010,31(3):187-191.

[13] 阮萬(wàn)清.一類不確定非線性奇異系統(tǒng)的保性能控制[J].科學(xué)技術(shù)與工程,2012,12(14): 3 373-3 376.

RUAN Wanqing.Garanteed cost control for nonlinear uncertain singular systems[J].Science Technology and Engineering, 2012,12(14):3 373-3 376.

[14] BOYD S,GHAOUI L E,FERON E,et al.Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory[M].Philadelphia:SLAM,1987.

[15] XIE Lihua, SOUZA D,CARLOS E.Robust control for linear time-invariant systems with norm-bounded uncertainty in the input matrix[J].Systems and Control Letters,1990,14(5):389-396.

[16] KOSMIDOU O I.Generalized riccati equations associated with guaranteed cost control: An overview of solutions and features[J].Applied Mathematics and Computation,2007(2):511-520.