孫曉云，趙冬松，劉東輝，于健騏

(1.石家莊鐵道大學(xué)電氣學(xué)院，河北石家莊 050043；2.河北科技大學(xué)電氣工程學(xué)院，河北石家莊 050018；3.中國環(huán)境管理干部學(xué)院信息工程系，河北秦皇島 066004)

錨桿錨固技術(shù)廣泛應(yīng)用于各類地下硐室、邊坡治理等工程的加固補(bǔ)強(qiáng)效果中，是目前各類地下工程十分重要的一項(xiàng)技術(shù)之一，它的主要技術(shù)措施是噴錨支護(hù)，對巖土體的利用、整治和改造中，能有效控制巖土體的穩(wěn)定性，使之具有服務(wù)功能的加固技術(shù)的總稱。與此同時(shí)，錨桿錨固質(zhì)量的檢測技術(shù)成為目前工程中迫切需要解決的問題。拉拔實(shí)驗(yàn)作為錨桿傳統(tǒng)的檢測手段雖然直觀，但操作過程復(fù)雜，對錨固系統(tǒng)也是破壞性的，只限于抽檢。目前的無損檢測技術(shù)大都基于一維錨桿波動理論，通過收集接收到的彈性反射波的時(shí)域與頻域信息，對錨桿錨固質(zhì)量進(jìn)行檢測[1]。目前，中國應(yīng)用導(dǎo)波對錨桿錨固質(zhì)量的檢測的研究還處于起步階段。

1 導(dǎo)波的傳播速度

導(dǎo)波不同于一般的體波，在無限均勻介質(zhì)中傳播的波叫做體波，縱波(P波)和橫波(S波)是體波傳播的2種基本形式，由于其遠(yuǎn)離邊界，不會發(fā)生波形轉(zhuǎn)換，它們都以各自的特征速度向前傳播，而無波形耦合。導(dǎo)波是波在波導(dǎo)介質(zhì)中的傳播，它受介質(zhì)邊界條件的影響，當(dāng)波傳播到邊界處，會以反射和折射的形式發(fā)生相互作用，且會發(fā)生縱、橫波之間的相互轉(zhuǎn)換，各種類型的反射、折射波會以各自恒定的速度繼續(xù)向前傳播，其傳播的波速只與材料的彈性模量和密度相關(guān)[2]。當(dāng)固體彈性介質(zhì)具有多個(gè)邊界時(shí)，波在介質(zhì)中會發(fā)生復(fù)雜的干涉，并按一定規(guī)律依次向前推進(jìn)，波的這種傳播方式叫做導(dǎo)波。錨桿及其錨固結(jié)構(gòu)是一個(gè)圓形柱體結(jié)構(gòu)，其直徑為15～35 mm，對錨桿檢測時(shí)激振波頻率一般為10～100 kHz[3]，所以在錨桿中傳播的波必然為一個(gè)導(dǎo)波，在柱體中傳播的導(dǎo)波叫做柱面導(dǎo)波,它具有3種模態(tài)縱向L(0,m)、扭轉(zhuǎn)模態(tài)T(0,m)、彎曲模態(tài)F(n,m)。其中n表示導(dǎo)波繞軸向的傳播形態(tài)，m表示導(dǎo)波沿桿徑方向的振動形態(tài)[4-6]。導(dǎo)波在波導(dǎo)中的一個(gè)重要特性是多模態(tài)和頻散特性[7-10]，即不同頻率導(dǎo)波傳播的速度和衰減性不同，描述導(dǎo)波傳播速度的2個(gè)基本概念是導(dǎo)波的群速度和相速度。群速度是指波包絡(luò)的傳播速度，相速度是指波上相位相同的一點(diǎn)傳播的速度，它們的定義分別為[11]

cg=dω/dk，

(1)

cp=ω/k，

(2)

式中：k為圓波數(shù)；ω為圓頻率。

它們兩者之間的關(guān)系為

(3)

式中：f為導(dǎo)波的頻率；d為圓柱的半徑；fd稱為頻厚積。

工程上一般采用低頻的縱向模態(tài)導(dǎo)波對錨桿進(jìn)行質(zhì)量檢測，本文將錨桿作為波導(dǎo)，用數(shù)值模擬方法研究縱向模態(tài)導(dǎo)波在錨桿中的傳播特性。

2 波在實(shí)心自由圓桿中縱向傳播模態(tài)

對于無限長自由狀態(tài)的圓桿，外邊界處的應(yīng)力為零，邊界條件為

σrr=σrz=0，(r=R)。

(4)

縱向?qū)Рㄔ跓o限長圓桿中傳播的頻散方程為[12]

(5)

首先對方程(5)進(jìn)行變換，兩端同時(shí)乘以R4，可以得到：

2Rα(R2β2+R2k2)J1(Rα)J1(Rβ)-(R2β2-R2k2)2J0(Rα)J1(Rβ)-4R2k2RαRβJ1(Rα)J0(Rβ)=0。

(6)

將固體材料的縱、橫波波速(其表達(dá)式如式(7)所示)帶入式(6)，令ω=2πf，便可得到關(guān)于fR和kR之間關(guān)系的頻散方程：

(7)

式中：υ為泊松比；ρ為材料密度。

方程中的2個(gè)未知數(shù)隱含在頻散方程中，利用Matlab通過數(shù)值方法對其進(jìn)行求解。其求解過程如下。

1)首先令kR=0，在0～5 MHz·mm范圍內(nèi)搜索滿足方程的fR的值，頻散關(guān)系中這些頻率值為各個(gè)縱波模態(tài)的截止頻率。

2)以橫軸上各個(gè)截止頻率處作為起點(diǎn)，增加1個(gè)fR步長值，并向上搜索kR直到滿足頻散方程，將其保存到數(shù)組中，然后令fR再次增加1個(gè)步長，縱向用上次搜索到的kR值作為起點(diǎn)繼續(xù)向上搜索，依此類推，直到搜索完所要求解的范圍。

錨桿材料參數(shù)如表1所示[14]，基于以上方法求解了頻厚積在0～5 000 kHz·mm內(nèi)縱波的頻散曲線，圖1為波數(shù)半徑積與頻厚積之間的關(guān)系，圖中各曲線從左至右依次為桿中縱波的L(0,1)～L(0,4)模態(tài)，除了第二階模態(tài)的變化趨勢有些異常外，其余

表1 錨桿材料參數(shù)Tab.1 Material parameters

導(dǎo)波都有相同的變化趨勢，其中除了L(0,1)之外，其余模態(tài)都有截止頻率。

圖1 波數(shù)半徑積與頻厚積之間的關(guān)系Fig.1 Relationship between the wave number and frequency

相速度和群速度的求解分別按照式(2)和式(3)對各階模態(tài)進(jìn)行求解，結(jié)果如圖2和圖3所示，從相速度頻散曲線上可以看出當(dāng)fR→0時(shí)，L(0,1)模態(tài)的相速度趨近于縱波波速，并且在0～1 800 kHz·mm的范圍內(nèi)只存在一種縱向模態(tài)導(dǎo)波，對于桿直經(jīng)約為20 mm的錨桿，在0～180 kHz之間存在一種縱向模態(tài)導(dǎo)波。所有的縱向模態(tài)導(dǎo)波中，當(dāng)頻厚積fR→∞，一階縱向模態(tài)導(dǎo)波的相速度趨近于Rayleigh波速度也即縱波在桿中傳播的波速，而較高階模態(tài)的相速度趨近于cT。對比各相速度和群速度曲線可以看出一般情況下各相速度都要大于群速度。

圖2 相速度與頻厚積之間的關(guān)系Fig.2 Relationship between the phase velocity and frequency

圖3 群速度與頻厚積之間的關(guān)系Fig.3 Relationship between the group velocity and frequency thick plot

對于每條kR曲線，某一頻率的縱向?qū)Рㄔ谥孀鴺?biāo)系中隨時(shí)間變化的位移場的分布如式(8)所示[12]：

(8)

式中Dn為未知常數(shù)。

對于半徑約為10 mm的錨桿，圖4所示為50 kHz時(shí)錨桿中傳播的一階縱向?qū)Рㄎ灰颇Ｊ窖匕霃降姆植记闆r。

3 錨桿中縱向?qū)Р〝?shù)值模擬

3.1 不同頻率導(dǎo)波在錨桿中的傳播特性

圖4 一階縱向模態(tài)軸向位移分布Fig.4 Displacement distribution of the first-order longitudinal modes

利用Dyna進(jìn)行有限元數(shù)值模擬，本實(shí)驗(yàn)利用Dyna的顯式分析單元Soild164，材料模型為各向同性線彈性材料模擬了長為2 m、直徑為0.02 m的錨桿中不同頻率導(dǎo)波傳播特性。有限元模型共劃分了27 000個(gè)單元，30 371個(gè)節(jié)點(diǎn)，其中對模型底端節(jié)點(diǎn)施加全約束，材料模型并不考慮材料本身阻尼對導(dǎo)波的影響，本文在此只做幾何頻散研究，圖5為在頂端施加激振頻率為30～90 kHz時(shí)，錨桿頂端的時(shí)域響應(yīng)曲線。為了保證波包的激振寬度，不同頻率施加的激勵(lì)波周數(shù)不同。

從頻散曲線中可以看到低頻狀態(tài)下錨桿中只存在一階縱向模態(tài)導(dǎo)波，從圖5中可以看到導(dǎo)波在60 kHz時(shí)開始有明顯的衰減現(xiàn)象，90 kHz時(shí)幾乎看不到第2個(gè)反射波包，波包能量衰減嚴(yán)重。表2為第一反射波包和第二反射波包峰值點(diǎn)的大小。

圖5 一階低頻縱向?qū)Рㄔ阱^桿中傳播特性Fig.5 Propagation characteristics of the low-frequency first-order longitudinal guided wave in the bolt

表2 第一反射波包峰值A(chǔ)1和第二反射波包峰值A(chǔ)2Tab.2 Amplitude of the first wave packet A1 and the second wave packet A2

表3 第一波包和第二波包峰值點(diǎn)反射時(shí)間Tab.3 Reflection time of the first wave packet and the second wave packet

定義第一反射波包和第二反射波包幅值之比為[15]

(9)

各頻率導(dǎo)波波包峰值衰減如圖6所示。

表3為第一反射波包峰值點(diǎn)和第二反射波包峰值點(diǎn)到達(dá)桿頂?shù)臅r(shí)間t1和t2。

群速度為

(10)

與頻散曲線理論值對比如圖7所示。

圖6 波包峰值衰減比Fig.6 Wave packet amplitude attenuation ratio

圖7 理論速度與模擬速度對比Fig.7 Contrast of theoretical velocity and analog velocity

3.2 桿頂三維效應(yīng)對錨桿檢測的影響

利用LS-Dyna模擬了30 kHz超聲導(dǎo)波在無錨固直徑為38 mm，長為1 m的錨桿中傳播時(shí)頂端的三維效應(yīng)。分別對桿頂截面中心和邊緣部位施加集中激振力載荷如圖8所示，在集中激振力載荷作用下，桿頂截面已不再符合平截面假設(shè)，桿頂各處質(zhì)點(diǎn)在激振時(shí)各處加速度不一致。

圖8 2種激振方式頂端應(yīng)力分布Fig.8 Stress distribution at the top in two exciting way

圖9為錨桿頂端從上到下各點(diǎn)處接收到的曲線三維效果圖，從桿側(cè)激振時(shí)各處接收到的時(shí)域波形中可以看出在桿頂靠近邊緣處的波形成分較多，桿頂中心處，接收到的波形幾乎不受影響，在應(yīng)用導(dǎo)波檢測時(shí)，應(yīng)盡量將傳感器安設(shè)在桿頂中心位置處，以免截面上各點(diǎn)的振動情況不一致，對檢測結(jié)果造成影響。

圖9 桿側(cè)激振時(shí)頂端時(shí)域響應(yīng)曲線Fig.9 Time domain response curve of exciting way in the side of the bolt’s top

圖10 中心激振時(shí)頂端時(shí)域響應(yīng)曲線Fig.10 Time domain response curve of exciting way at the middle of the bolt’s top

圖10為在桿頂中心處施加激勵(lì)載荷，桿頂各點(diǎn)隨時(shí)間變化的響應(yīng)波形曲線，在激振最初，由于桿頂各處應(yīng)力分布不均，在中心處質(zhì)點(diǎn)加速度最大，并且邊緣處質(zhì)點(diǎn)的加速度曲線相位滯后于中心質(zhì)點(diǎn)，但在反射回波中，各處質(zhì)點(diǎn)振動回復(fù)一致，當(dāng)波在傳播一段距離后，可以認(rèn)為平截面假設(shè)成立，所以激振設(shè)備在桿頂激振時(shí)應(yīng)盡量施加對稱分布的載荷。

4 結(jié) 語

1) 通過理論分析和數(shù)值模擬表明錨桿中的聲波是以導(dǎo)波形式傳播的，并且在達(dá)到一定頻率后，錨桿中的縱向?qū)Р〞嬖诙喾N模態(tài)，對于直徑約為0.02 m的錨桿，在0～180 kHz之間，只存在一種導(dǎo)波模態(tài)，但在90 kHz附近波包能量衰減嚴(yán)重，在利用導(dǎo)波測長時(shí)，應(yīng)結(jié)合各頻率波速，才能得到可靠的結(jié)果。

2) 利用導(dǎo)波檢測大直徑錨桿時(shí)，應(yīng)將換能器安裝在桿頂中心處，以免桿頂三維效應(yīng)對檢測結(jié)果造成影響。

參考文獻(xiàn)/References：

[1] 孫曉云, 楊 陽. 基于ARM & Windows CE的錨桿無損檢測系統(tǒng)軟件設(shè)計(jì)[J]. 河北科技大學(xué)學(xué)報(bào), 2012,33(3):244-247.

SUN Xiaoyun, YANG Yang. Software design of non-destructive detecting of rock bolts based on ARM & Windows CE[J]. Journal of Hebei University of Science and Technology, 2012,33(3):244-247.

[2] 吳 斌, 李隆濤, 王秀彥, 等. 基于超聲導(dǎo)波技術(shù)對鋼桿表面缺陷的無損檢測研究[J]. 工程力學(xué),2006,20(5): 149-154.

WU Bin, LI Longtao, WANG Xiuyan, et al.Non-destructive test of a surface defect on a steel bar based on ultrasonic guided wave techniques[J]. Engineering Mechanics, 2006, 20(5):149-154.

[3] 李 平, 高德政, 陳興長. 自由錨桿中超聲導(dǎo)波的最優(yōu)激發(fā)波研究[J]. 西南科技大學(xué)學(xué)報(bào), 2009,24(3):50-54.

LI Ping, GAO Dezheng, CHEN Xingchang. Study on optimum excitation wave of ultrasonic guided wave in free rock bolt [J]. Journal of Southwest University o f Science and Technology, 2009,24(3):50-54.

[4] 何存富, 孫雅欣. 超聲導(dǎo)波技術(shù)在埋地錨桿檢測中的應(yīng)用研究[J]. 巖土工程學(xué)報(bào), 2006, 28(9):1 144-1 147.

HE Cunfu, SUN Yaxin. Application of ultrasonic guided waves technology to inspection of bolt embedded in soils[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineerin, 2006,28(9):1 144-1 147.

[5] 崔寒茵. 沿均勻無限介質(zhì)中固體桿傳波的導(dǎo)波特性研究[J]. 聲學(xué)學(xué)報(bào), 2010,35(4):446-454.

CUI Hanyin. Guided waves in a rod surrounded by an infinite soild medium[J]. Acta Acustica, 2010,35(4):446-454.

[6] BEARD M D, LOWE M J S. Nondestructive testing of rock bolts using guided ultrasonic waves [J]. International Journal of Rock Mechanics & Mining Sciences, 2003, 40(10):527-536.

[7] 王 成. 金屬桿錨固系統(tǒng)中導(dǎo)波傳播特性的試驗(yàn)研究[J]. 無損檢測,2006,28(4):172-176.

WANG Cheng. Experimental study on the propagation characteristices of guided wave through anchored system of metal bar[J]. Nondestructive Testing,2006,28(4):172-176.

[8] 孫廣開, 焦 陽. 超聲導(dǎo)波管道缺陷檢測數(shù)值模擬[J]. 河北工業(yè)科技, 2010,27(1):18-21.

SUN Guangkai, JIAO Yang. Numerical simulation of detection in pipes using ultrasonic guided waves[J]. Hebei Journal of Industrial Science and Technology, 2010,27(1):18-21.

[9] 梁玉國. 無機(jī)錨固材料植筋群錨效應(yīng)試驗(yàn)研究[J]. 河北工業(yè)科技, 2013,30(1):31-34.

LIANG Yuguo. Experimental research of anchor group effect in post-embedding technology by inorganic anchoring material[J]. Hebei Journal of Industrial Science and Technology, 2013,30(1):31-34.

[10] 陳興長. 自由錨桿中超聲導(dǎo)波的衰減特征[J]. 西南科技大學(xué)學(xué)報(bào), 2009,24(4):56-61.

CHEN Xingchang. Attenuation characteristics of ultrasonic guided wave in free rock bolts[J]. Journal of Southwest University of Science and Technology, 2009,24(4):56-61

[11] 岳向紅. 基于三維波導(dǎo)理論的基樁和錨桿無損檢測技術(shù)研究[D]. 武漢:中國科學(xué)院武漢巖土力學(xué)研究所, 2008.

YUE Xianghong. Research of Pile and Bolt’s Non-destructive Test Technology Based on 3D Guided-wave Theory[D]. Wuhan:Institute of Rock & Soil Mechanics, The Chinese Academy of Seiences, 2008.

[12] 羅斯J L. 固體中的超聲波[M].何存富, 吳 斌,譯. 北京:科學(xué)出版社, 2004.

ROSE J L. Ultrasonic Waves in Solid Media[M].Translated by HE Cunfu, WU Bin. Beijing: Science Press, 2004.

[13] 劉增華, 趙繼辰, 吳 斌,等.高階縱向超聲導(dǎo)波在鋼絞線缺陷檢測中的應(yīng)用[J]. 工程力學(xué), 2011,28(4):214-220.

LIU Zenghua, ZHAO Jichen, WU Bin, et al. Application study on defect detection in steel strands by using high-order ultras-onic longitudinal guided waves[J].Engineering Mechanics, 2011,28(4):214-220.

[14] 張昌鎖, 李 義, STEVE Z. 錨桿錨固結(jié)構(gòu)中導(dǎo)播傳播的數(shù)值模擬[J]. 太原理工大學(xué)學(xué)報(bào),2009,40(3):274-278.

ZHANG Changsuo, LI Yi, STEVE Z. Numerical simulation of guided wave propagation in grouted rockbolt[J]. Journal of Taiyuan University of Science and Technology, 2009,40(3):274-278.

[15] ZHANG C S, ZOU D H, ADENGA V M. Numerical simulation of wave propagation in grouted rock bolts and the effects of mesh density and wave frequency [J]. International Journal of Rock Mechanics & Mining Sciences, 2006(43):634-639.