光子回波的求解及其應用*

陸龍釗，李 成，余向陽

(中山大學光電材料與技術國家重點實驗室，廣東廣州 510275）

在非均勻展寬介質(zhì)中，兩個相隔一定時間的強短激光脈沖與共振吸收介質(zhì)相互作用后，經(jīng)過一定的時間后會自發(fā)輻射出一個光脈沖，這個光脈沖就是所謂的光子回波。光子回波是強短激光脈沖與物質(zhì)近共振相互作用所產(chǎn)生的相干瞬態(tài)效應［1－2］。隨著超短激光脈沖技術和量子光學理論處理方法的發(fā)展，人們對光子回波進行了深入的研究，并將其應用到了許多方面［3－4］。激光脈沖與物質(zhì)的相互作用，在半經(jīng)典理論框架下，可用 Maxwell－Bloch(MB)耦合方程描述［5］，其中Bloch方程描述在光場作用下的體系性質(zhì)，Maxwell方程則描述了光場在體系中的特性。用Bloch矢量模型可對光子回波現(xiàn)象作出清晰的經(jīng)典的唯象解釋［2］，由此，可以較好地理解光子回波的物理機制。但要完全描述和理解光子回波物理圖像并定量地給出光子回波信號的強度，則需要求解非均勻展寬體系的MB方程。MB只在某些特定的條件下，才能求得解析解，通常情形需要采用數(shù)值求解的方法，均勻和非均勻展寬體系MB方程數(shù)值算法都已經(jīng)得到了很好的研究［6－11］。本文在非均勻展寬體系 MB方程數(shù)值解

1 基本理論

在薄樣品近似下，可只考慮光場對體系的作用，而忽略光場在介質(zhì)中的傳播效應，因此光場不再隨時間變化，這就可將坐標轉(zhuǎn)到入射光場前進的坐標系中，由式 (1－d)可得薄樣品后邊界的光場為

由上式可見，對已知線型函數(shù)g(Δ)的介質(zhì)，求出v后，便可求出光作用于介質(zhì)后的光場強度，顯然該光場強度與樣品的厚度L成正比。v可由方程 (1－a)～(1－c)，即Bloch方程求得，這是一組非線性常微分方程，這里采用文獻 ［7］所建立的校正四階龍格－庫塔 (RK4)法進行數(shù)值求解。這樣，由 (2)式就可計算薄樣品近似下光子回波信號的強度。而光子回波的唯象解析也是基于薄樣品近似在Bloch矢量模型上得出的。

通常，實現(xiàn)光子回波的實驗樣品都是有一定厚度的吸收介質(zhì)，光場在通過吸收介質(zhì)時，介質(zhì)厚度必然會強烈影響光場的傳播特性［11－12］。因而對實際實驗條件下的光子回波的特性而言，薄樣品近似雖然可以解析一些現(xiàn)象，但顯然不是一個很好的近似。當考慮樣品的厚度時，求解 MB耦合方程(1)，才能得到體系與光場的性質(zhì)，方程 (1)是一組非線性偏微分－積分方程，其求解是復雜的，這里我們在前期工作的基礎上，采用文獻 ［10］所建立的“預報 －校正四階龍格 －庫塔(PCRK4)”法建立了厚樣品光子回信號強度的求解方案。當初邊界條件已知時，就可計算厚樣品中光子回波信號的強度。

2 計算結(jié)果與討論

數(shù)值計算求解方程 (1)的初始條件為:

邊界條件為初始入射脈沖，假定脈沖為高斯型的，則有

介質(zhì)的非均勻展寬線型g(Δ)假定為高斯型，其歸一化的形式為

式中，Δd為半高寬。

2.1 二脈沖光子回波

兩個相隔時間為t1=t02－t01的強短激光脈沖與共振吸收介質(zhì)相互作用后，經(jīng)過t1的時間后會觀測到由介質(zhì)自發(fā)輻射出的一個光脈沖，這就是二脈沖的光子回波。薄樣品近似下雙脈光子回波信號，在特定條件下，經(jīng)過適當?shù)慕?，可得到回波信號的解析解?3］，雖然解析解可以很好解釋光子回波形成的物理機制，但只能給出半定量的結(jié)果。為了定量給出光子回波信號的強度，就需要采用數(shù)值方法進行求解，以便更深入而全面地描述光子回波的形成機制及影響信號強度的因素。

圖1顯示了共振 (Δ=0)且忽略了馳豫時間(Γ1=0、Γ2=0)時，薄樣品近似下二脈沖光子回波信號的強度。計算時各參數(shù)為:L=1，tp1=tp2=1，Δd=3，t01=5，t02=15，S01=π/2，S02=π。圖1中點線是輸入光脈沖 (z=0)的強度，實線是樣品后邊界處 (z=L)光場的強度。從圖中可以看出:在第二個脈沖作用后，經(jīng)過t1時間間隔，出現(xiàn)了光子回波。這個結(jié)果與解析解及矢量模型［5］分析是一致，也說明了所建立的數(shù)值算法是可靠性。

圖1 光學薄樣品中的二脈沖光子回波Fig.1 A two－pulse photon echo in optically thin media

雖然解析解的結(jié)果可以得到二脈沖光子回波強度以及退相時間對光子回波強度的影響，但MB方程中的其它參數(shù)，諸如失諧量、馳豫時間、非均勻展寬線寬以及激發(fā)脈沖的強度等，對光子回波信號強度的影響是解析解所不能完全給出的，而用數(shù)值求解的方法，可以計算各種參數(shù)對光子回波信號強度的影響。

圖2(a)顯示了退相時間T2對光子回波信號強度的影響。從圖中可以看出光子回波信號的強度隨著T2的增大而迅速增大，當T2大過一定值后光子回波強度增加變慢，最后趨向于平緩。這是由于T2越小，退相過程就越快，經(jīng)過第二個脈沖作用后偶極矩相位能夠反向趨于一致的數(shù)目越少，因此光子回波的強度就較小;反過來，T2越大，退相過程越慢，偶極矩相位能夠反向趨于一致的數(shù)目越多，因此光子回波強度就較大。當T2≥t1時，在t1時間內(nèi)T2對退相過程的影響可以忽略，光子回波強度趨于定值。光場載波頻率與共振頻率的失諧也會影響光子回波的強度。圖2b給出了失諧量對光子回波強度的影響。從圖中可以看出:失諧量絕對值越大，光子回波信號的強度越低，整個曲線以Δ=0為對稱分布，說明正、負失諧的影響是相同的。

圖2 退相時間 (a)失諧量 (b)對光子回波強度的影響Fig.2 Peaks of echo power for different transverse

圖3顯示了厚樣品的光子回波強度的三維圖，計算的參數(shù)與圖1相同。從圖中可以看出，兩個入射脈沖的強度隨介質(zhì)厚度的增加而減小，光子回波信號的強度則隨介質(zhì)厚度的增加先增大后減小，這意味著實現(xiàn)最強的光子回波與介質(zhì)的厚度的選取有關。在時間坐標上，光子回波出現(xiàn)的位置與薄樣品近似下是相同的。

圖3 光學厚樣品中的二脈沖光子回波Fig.3 A two－pulse photon echo in optically thick media

2.2 三脈沖光子回波

在三脈沖作用下，光子回波的特性變得復雜，已無二脈沖光子回波那樣清晰的物理圖像。三脈沖光子回波也被稱為受激光子回波。其中，第一個輸入脈沖稱為“寫”脈沖，它的作用是實現(xiàn)介質(zhì)中原子基態(tài)與激發(fā)態(tài)間的相干;隨后輸入的第二個脈沖稱為“數(shù)據(jù)”脈沖，它的作用是將相干性傳遞給基態(tài)與激發(fā)態(tài)間頻率依賴的“數(shù)據(jù)”脈沖，此時“數(shù)據(jù)”脈沖的信息也被存儲在介質(zhì)中;然后在某個時刻輸入第三個脈沖，稱之為“讀”脈沖，這個脈沖的作用是激發(fā)光子回波［14］。

圖4是在薄樣品近似下，三脈沖光子回波的計算結(jié)果。三個脈沖的入射脈沖面積分別為S01=π/2、S02=0.1π和S03=π/2，脈沖的時間間隔為t1=t02－t01=10和t2=t03－t02=20，其他計算參數(shù)與圖1相同。從圖中可以看出，在第三個入射脈沖作用后，經(jīng)過時間t1后會出現(xiàn)一個脈沖，這個脈沖稱為受激光子回波。

圖4 光學薄樣品中受激光子回波Fig.4 A stimulated photon echo in optically thin media

圖5給出了厚樣品中的受激光子回波強度的三維圖，除樣品空間參數(shù)外，所選其它參數(shù)與圖4同。從圖中可以看出，三個入射脈沖的強度隨介質(zhì)厚度的增加而逐漸變小，光子回波強度隨介質(zhì)厚度的增加先增大后減小，其它性質(zhì)與薄樣品近似下受激光子回波的特性是一致的。受激光子回波攜帶了第二個輸入脈沖，即數(shù)據(jù)脈沖的信息，這一點在多脈沖光子回波中會體現(xiàn)的更明顯。

圖5 光學厚樣品中受激光子回波Fig.5 A stimulated photon echo in optically thick media

2.3 多脈沖光子回波

圖6顯示了多脈沖入射時所產(chǎn)生的光子回波，寫脈沖的面積為0.5π，每個數(shù)據(jù)脈沖的面積為0.025π(組成編碼11101101)，讀脈沖的面積為0.5π，寫脈沖與第一個數(shù)據(jù)脈沖間的時間間隔為20，最后一個數(shù)據(jù)脈沖與讀脈沖間的時間間隔為70。從圖中可以看出，薄樣品近似下光子回波所攜帶的信號編碼與數(shù)據(jù)脈沖的編碼完全相同［15］，讀出時間間隔與寫入時間間隔一致。圖7給出了厚樣品中多脈沖入射的情況下的光子回波的計算結(jié)果。

圖6 光學薄樣品中多脈沖光子回波Fig.6 A multiple－pulse photon echoes in optically thin media

圖7 光學厚樣品中多脈沖光子回波Fig.7 A multiple－pulse photon echoes in optically thick media.

如果將二脈沖入射情況下的第一個脈沖改成多個數(shù)據(jù)脈沖 (每個“數(shù)據(jù)”脈沖的面積為0.025π， “讀”脈沖為 π)，組成編碼11101101，則得到的光子回波如圖8所示。此時最后一個“數(shù)據(jù)”脈沖與“讀”脈沖間距，與“讀”脈沖與第一個光子回波間距相同，這個性質(zhì)與二脈沖光子回波相同，并且光子回波所對應的編碼為10110111，與數(shù)據(jù)編碼順序正好相反。

編碼數(shù)據(jù)的存儲與讀取在時間軸上是滿足一定規(guī)律的:圖7顯示編碼數(shù)據(jù)的存儲與讀取與受激光子回波脈沖間隔一致，而圖8給出的編碼數(shù)據(jù)存儲與讀取與二光子回波脈沖間隔一致，都可用于實現(xiàn)光脈沖信號的存取。編碼數(shù)據(jù)脈沖光子回波的這種特性，是實現(xiàn)光脈沖數(shù)據(jù)存儲與讀取的有效方式之一。

圖8 光學厚樣品中多脈沖光子回波Fig.8 A multiple－pulse photon echoes in optically thick media

3 結(jié)論

光子回波信號的數(shù)值解法是在非均勻展寬二能級體系MB耦合方程數(shù)值算法的基礎上建立的。在光學薄樣品近似條件下，數(shù)值計算了二脈沖光子回波與三脈沖光子回波，與解析解的結(jié)論是一致的，表明所建立數(shù)值解法是可靠性的，并討論了弛豫時間對光子回波信號的影響。進一步計算了厚樣品情況光子回波信號，討論了介質(zhì)厚度對光子回波強度的影響，結(jié)果表明光子回波的強度隨介質(zhì)厚度的增加先增大后減小，這意味著有最佳的介質(zhì)厚度實現(xiàn)最強的光子回波信號。編碼數(shù)據(jù)脈沖的光子回波是實現(xiàn)光脈沖數(shù)據(jù)存儲與讀取的有效方式之一，并滿足一定的規(guī)律。本文就存取時間間隔、編碼順序等進行了初步研究，對編碼數(shù)據(jù)脈沖光子回波的更深入的研究，諸如實現(xiàn)多比特編碼數(shù)據(jù)脈沖的有效可靠存取等，將在后續(xù)工作的進行更深入的研究。

［1］KURNIT N A，ABELLA I D，HARTMANN S R.Observation of a photon echo［J］.Phys Rev Lett，1964，13:567.

［2］ABELLA I D，KURNIT，HARTMANN S R.Photon echoes［J］.Phys Rev，1966，141:391.

［3］BOYE D M，F(xiàn)EOFILOV S P，MELTZER R S.Two－pulse photon echo studies of optical dephasing in CaF2:Eu2+［J］.J Lumin，1998，76/77:60 －63.

［4］OLSON R W，LEE H W，PATTERSON F G，et al.Optical density effects in photon echo experiments［J］.J Chem Phys，1982，76(1):31 －39.

［5］ALLEN L，EBERLY J H.Optical resonance and two－level atoms［M］.New York:Dover，1987.

［6］余向陽，周建英.飛秒相干瞬態(tài)過程的Bloch方程描述［J］.中山大學學報:自然科學版，1999，38(2):24－27.

［7］郭瑩瑩，余向陽.光學Bloch方程的數(shù)值解法［J］.中山大學學報:自然科學版，2005，44(5):108－110.

［8］蔣月，余向陽.二能級體系Maxwell－Bloch方程的數(shù)值求解及其應用［J］.中山大學學報:自然科學版，2007，46(s2):176－179.

［9］張華榮，蔣月，李成，等.均勻展寬介質(zhì)中激光超短脈沖面積的演化規(guī)律［J］，光子學報，2009

［10］李成，張華榮，余向陽.非均勻展寬體系Maxwell－Bloch方程的求解［J］.中山大學學報:自然科學版，2009，48(4):36 －41.

［11］YU X Y，LIU W，LI C.Near－resonant propagation of short pulses in a two－level medium［J］.Phys Rev A，2011，84:033811.

［12］AZADEH M，CORNISH C S，BABBITT W R，et al.Efficient photon echoes in optically thick media［J］.Phys Rev A，1998，57:4662.

［13］TSANG L，CORNISH C S，BABBITT W R.Analytic solutions of the Maxwell– Bloch equations for high photon－echo efficiency of multiple pulse sequences［J］.J Opt Soc Am B，2003，20:379.

［14］STAUDT M U，HASTINGS－SIMON S R，NILSSON M，et al.Fidelity of an optical memory based on stimulated photon echoes［J］.Phys Rev Lett，2007，98:113601.

［15］LUO B，ELMAN U，KR?LL S，et al.Amplification of photon echo signals by use of a fiber amplifier［J］.Opt Lett，1998，23:442.