平方差公式與完全平方公式的一場爭論

趙國瑞

在整式乘法的王國有兩兄弟：平方差公式和完全平方公式.一天，兩人閑來無事聚到一起，突然冒出了一起行走江湖的念頭.兩人談得很興奮，但到最后卻為誰來做“老大”發(fā)生了爭執(zhí).兩人互不相讓，各執(zhí)一詞，都認(rèn)為自己做“老大”是理所當(dāng)然的.他們爭得面紅耳赤，不可開交.最后沒辦法，只好去找乘法公式大伯來評判.大伯聽明白兩人的來意后皺了皺眉頭，大聲說道：“既然你們都認(rèn)為自己該做‘老大，那么你們分別說說自己有什么過人之處吧.”

平方差公式首先站起來說道：“我的形象好呀，你看，我的左邊是兩個二項(xiàng)式的積，在這兩個二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)，右邊是完全相同項(xiàng)的平方減去符號相反項(xiàng)的平方.”

完全平方公式毫不示弱：“我的形象不比你遜色，我的左邊是一個二項(xiàng)式的完全平方，右邊是一個二次三項(xiàng)式，其中（首末）兩項(xiàng)是公式左邊二項(xiàng)式中的每一項(xiàng)的平方，中間一項(xiàng)是二項(xiàng)式中兩項(xiàng)乘積的2倍.”

乘法公式大伯說：“別吵！別吵！光形象好還不夠，要有真本事才行！”

平方差公式說：“這個我可不含糊，只要符合‘兩數(shù)和與兩數(shù)差相乘的形式，就可用我平方差公式解決.如計(jì)算（xy+1）（xy-1）直接運(yùn)用平方差公式，得（xy+1）（xy-1）=（xy）2-12=x2y2-1.”

完全平方公式說：“只要符合‘兩數(shù)和（或差）的平方的形式，就可用我完全平方公式搞定，如計(jì)算（4x-3y）2，直接運(yùn)用完全平方公式，得（4x-3y）2=（4x）2-2·4x·3y+（3y）2=16x2-24xy+9y2.”

……

平方差公式與完全平方公式爭論不休.

乘法公式大伯：“別爭了，其實(shí)你們本是一家人，都可由公式（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq（*）得到.在公式（*）中，若令p=y，q=-y，就得到平方差公式（x+y）（x-y）=x2-y2；在公式（*）中，若令p=q=y，就得到兩數(shù)和的平方公式（x+y）2=2x+2xy+y2，若令p=q=-y，就得到兩數(shù)差的平方公式（x-y）2=x2-2xy+y2.

有些問題單獨(dú)用你們兩個公式都可以解決，如x+y=5，且x-y=1，則xy=_____.

解法1：由完全平方公式，得（x+y）2=x2+2xy+y2，（x-y）2=x2-2xy+y2.

∴（x+y）2-（x-y）2=4xy，即52-12=4xy.∴xy=6.

解法2：在平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2中，令a=x+y，b=x-y，得2x·2y=（x+y）2-（x-y）2，即4xy=52-12.∴xy=6.

有些問題需要你們兩個公式合作才能解決，如計(jì)算[（x+2）（x-2）]2，先由平方差公式，得 （x2-22）2=（x2-4）2.再由完全平方公式，得（x2）2-2·x2·4+42=x4-82+16.

再如計(jì)算：（2x+y+z）（2x-y-z），先由平方差公式，得[（2x+（y+z）][（2x）-（y+z）]=（2x）2-（y+z）2.再由完全平方公式，得4x2-（y2+2yz+z2）=4x2-y2-2yz-z2.

乘法公式大伯接著說道：“你們兩個都有各自的特點(diǎn)，是乘法公式的重要組成部分，你們應(yīng)該取長補(bǔ)短，齊心協(xié)力為數(shù)學(xué)王國作貢獻(xiàn)，我勸你們不要再爭什么‘老大了！”

平方差公式和完全平方公式深深地向乘法公式鞠了一躬，齊聲說道：“謝謝大伯的點(diǎn)撥！”兩兄弟握手言和，重歸于好，各自充滿信心地朝著自己的工作崗位走去……