基于快速傅里葉變換的二維位移測(cè)量的改進(jìn)

袁 丹，劉 藝，胡宇明

（電子科技大學(xué) 物理電子學(xué)院，四川 成都610054）

1 引 言

近年來(lái)，關(guān)于數(shù)字技術(shù)的散斑干涉系統(tǒng)研究有了大量的改進(jìn)，在空間域相關(guān)搜索進(jìn)行全場(chǎng)計(jì)算時(shí)，需要取位移前的整個(gè)散斑圖上的所有點(diǎn)，這樣就使得搜索重復(fù)，計(jì)算量大，運(yùn)算時(shí)間相當(dāng)長(zhǎng)，對(duì)于精確定位也存在一定困難，系統(tǒng)構(gòu)成和軟件處理較為復(fù)雜［1-3］.本文對(duì)基于快速傅里葉變換的二維位移測(cè)量進(jìn)行了改進(jìn)，快速獲取物像各點(diǎn)的位移大小，最后通過(guò)消除次峰的干擾和考慮剛體轉(zhuǎn)角來(lái)進(jìn)一步提高精度.通過(guò)系列實(shí)驗(yàn)，證明該改進(jìn)不僅提高測(cè)量精度，而且有簡(jiǎn)明高效的算法和簡(jiǎn)單的系統(tǒng)光路，能夠有效實(shí)現(xiàn)較好的實(shí)時(shí)物體位移變化測(cè)量.

2 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

2.1 系統(tǒng)組成

圖1 位移測(cè)量實(shí)驗(yàn)光路

實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)見(jiàn)圖1所示.由波長(zhǎng)為632.8nm的氦氖激光器出射的細(xì)激光束通過(guò)擴(kuò)束、準(zhǔn)直形成平行光，投射在待測(cè)物體上，從X方向和Y方向?qū)Υ郎y(cè)物通過(guò)電動(dòng)平移臺(tái)做面內(nèi)位移，在成像面處由帶顯微鏡筒CCD拍攝測(cè)量物體位移前后散斑圖像（CCD光軸必須與測(cè)量面垂直）.待測(cè)剛體為三維物體，在不改變算法的前提下，本實(shí)驗(yàn)采用2個(gè)CCD測(cè)量，取平均值，有助于精確度的提高.

2.2 測(cè)量方法驗(yàn)證原理

通過(guò)快速傅里葉變換直接得到楊氏干涉條紋圖樣如圖2所示，對(duì)應(yīng)于逐點(diǎn)分析法中對(duì)原散斑疊合圖中的1個(gè)小點(diǎn)所做的再現(xiàn)，可將其強(qiáng)度圖當(dāng)成正弦型振幅光柵.將楊氏條紋圖作為初始圖像再次進(jìn)行夫瑯禾費(fèi)衍射時(shí)，因條紋圖像不可能無(wú)限大，楊氏條紋圖像再次經(jīng)過(guò)夫瑯禾費(fèi)衍射后的復(fù)振幅分布U0′（x0，y0）就為［4］：

f0為正弦光柵未經(jīng)夫瑯和費(fèi)衍射的空間頻率.

由式（1）可以發(fā)現(xiàn)，所得圖像包含1個(gè)中央零級(jí)亮點(diǎn)和在零級(jí)亮點(diǎn)兩旁對(duì)稱(chēng)分布的±1級(jí)2個(gè)衍射亮點(diǎn)（即｛ ｝中的sinc項(xiàng)），如圖3所示；±1級(jí)衍射亮點(diǎn)所在位置分別向X0的正、負(fù)方向平移λzf0，中央零級(jí)亮點(diǎn)中心到＋1級(jí)或-1級(jí)衍射亮點(diǎn)中心的距離S就為λzf0.

圖2 經(jīng)傅里葉變換所得楊氏干涉條紋圖樣

又因?yàn)閒0是正弦光柵未經(jīng)夫瑯和費(fèi)衍射空間頻率，則其和楊氏干涉條紋圖像中條紋間距Δt之間的關(guān)系為f0＝1／Δt，故得，中央零級(jí)亮點(diǎn)中心到＋1級(jí)或-1級(jí)衍射亮點(diǎn)中心的距離為S＝λZ／Δt.把該式與l＝λZ0／Δt（l為楊氏雙孔的間距）相比較，只要保證Z0＝Z，即保證2次夫瑯和費(fèi)衍射所用衍射距離相等，即可得l＝S.

2.3 亞像素處理及減模式

目前已有多種亞像素提取算法［5-7］，雖都能達(dá)到亞像素級(jí)別，但有局限［8］：重心法受噪聲影響大，不能達(dá)到較高精度；獲得較高精度的算法曲面擬合算法采用灰度插值方法，運(yùn)算量卻很大.合成的散斑圖像進(jìn)行放大擴(kuò)展后再進(jìn)行亞像素級(jí)別的提取是有效的.經(jīng)過(guò)亞像素處理所得的測(cè)量結(jié)果精度好于未經(jīng)亞像素處理所得的結(jié)果，但是并不是放大倍數(shù)越高越好，由于原始圖像經(jīng)過(guò)一定的放大后頻譜亮斑中心的位置已經(jīng)相對(duì)明晰，繼續(xù)放大時(shí)會(huì)放大本底噪聲起伏.

由于減模式下成功地抑制背景噪聲的干擾，背景非常純凈理想，對(duì)于亮斑中心的讀取將非常有利，因此減模式是理想的散斑圖合成模式［9］.一般選用減模式作為散斑圖的合成方式.將變形前后的2幅數(shù)字散斑圖相減，得到的新的圖像同樣設(shè)為l（x，y），則有：

對(duì)l（x，y）做快速傅里葉變換，設(shè)傅里葉變換域的坐標(biāo)為（fx，fy），即為

其中，U1＝（fx，fy）＝F｛g（x，y）｝.這樣可以認(rèn)為在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中疊加的噪聲被基本消除，測(cè)量精度得到了提高.

3 測(cè)量結(jié)果及誤差分析

3.1 平動(dòng)位移測(cè)量結(jié)果及誤差分析

測(cè)量面內(nèi)二維位移的情況，運(yùn)用二維電動(dòng)平移臺(tái)分別在X 和Y 方向先后移動(dòng)（10μm，10μm），（20μm，20μm），（40μm，40μm），（50μm，60μm），（90μm，90μm），（120μm，120μm）分別作了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.其中，在X和Y方向分別移動(dòng)10μm距離，則物體在平面內(nèi)的總位移為l＝＝14.14μm；在X和Y 方向分別移動(dòng)20μm，總位移為28.28μm；在X和Y方向分別移動(dòng)40μm距離，總位移為56.57μm；在X和Y方向分別移動(dòng)50μm，60μm距離，總位移為78.10μm；在X和Y方向分別移動(dòng)90μm距離，總位移為127.28μm；在X和Y方向分別移動(dòng)120μm距離，總位移為169.71μm.

觀察物體楊氏干涉條紋圖樣中可以發(fā)現(xiàn)條紋不為直線，這是由于所用剛體模型為三維物體（取位移前后所得圖像的1個(gè)小區(qū)域，小區(qū)域內(nèi)的各物體點(diǎn)不一定在1個(gè)面內(nèi)位移，造成每點(diǎn)的位移量不一定完全相同，所以楊氏條紋是彎曲的曲線狀）.楊氏干涉條紋圖變換得到的空間頻譜強(qiáng)度圖樣，清晰地看到±1級(jí)衍射亮斑和中央零級(jí)亮斑，此頻譜圖樣經(jīng)過(guò)亞像素處理，放大10倍后得到的結(jié)果.＋1和-1級(jí)衍射亮點(diǎn)連線方向即為物體相對(duì)位移的方向.面內(nèi)二維位移測(cè)量結(jié)果如表1所示.

表1 面內(nèi)二維位移測(cè)量結(jié)果

圖4和圖5中可以看出位移為14.14μm時(shí)，誤差和其他位移相比而言比較大，測(cè)得的位移精度較差，這可能是由于X方向和Y方向上分別移動(dòng)（10μm，10μm）的位移已接近了電動(dòng)平移臺(tái)精確位移的極限，則位移臺(tái)原始位移的準(zhǔn)確度有可能對(duì)測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確性產(chǎn)生比較大的影響，此外次峰的干擾也是一個(gè)因素，所以得到的測(cè)量結(jié)果不甚理想.當(dāng)位移為28.28μm，10倍亞像素放大中，絕對(duì)誤差為0.06μm，相對(duì)誤差為0.212%，誤差最小，其他測(cè)試結(jié)果也都達(dá)到了μm級(jí).

圖4 絕對(duì)誤差曲線

圖5 相對(duì)誤差曲線

3.2 剛體在平面上的轉(zhuǎn)動(dòng)及誤差分析

本實(shí)驗(yàn)中，剛體在平面上的轉(zhuǎn)動(dòng)位移測(cè)量，只考慮轉(zhuǎn)角，使用旋轉(zhuǎn)平移臺(tái).設(shè)轉(zhuǎn)角為θ，則圖像中任意一點(diǎn)（x，y）的位移為

分別讓?duì)龋?°，2°，3°，4°，5°，6°，7°，8°，為標(biāo)準(zhǔn)值，再利用這些位移前后的散斑圖，然后進(jìn)行運(yùn)算，不同轉(zhuǎn)角θ的誤差情況、位移和轉(zhuǎn)角的計(jì)算誤差隨剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的變化曲線.

圖6和圖7中位移與轉(zhuǎn)角θ的誤差都隨轉(zhuǎn)角（rad）的增大而增大，但仍然具有很高的精度.但是當(dāng)誤差大于8°以上各應(yīng)變項(xiàng)將會(huì)被誤差淹沒(méi)，計(jì)算值將不可信.因此，用旋轉(zhuǎn)平移臺(tái)測(cè)量平面位移（μm）時(shí)，考慮轉(zhuǎn)角時(shí)比不考慮轉(zhuǎn)角時(shí)的位移測(cè)量值要更加精確，這對(duì)于進(jìn)行空間位移研究有很大幫助.

圖6 角度隨剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的誤差曲線

圖7 位移隨剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的誤差曲線

4 方案討論

在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，這種快速傅里葉變換方法在測(cè)量范圍上有限制，一旦超過(guò)了某個(gè)范圍，測(cè)量結(jié)果就會(huì)有較大誤差.為了進(jìn)一步改善測(cè)量的精度，我們對(duì)減法模式進(jìn)行了一些改進(jìn).

在第二次傅里葉變換域中，主峰（主亮點(diǎn)）的中心范圍一般為7×7個(gè)像素.即當(dāng)物體的位移較?。ú怀^(guò)中心點(diǎn)像素覆蓋的范圍），次峰（次亮點(diǎn)）與主峰（主亮點(diǎn)）會(huì)有重疊部分，由于次峰的干擾，直接導(dǎo)致較大的誤差.解決重疊的方法有多種，如選擇合適的透鏡，合適的散斑顆粒大小，或合適成像系統(tǒng)的放大倍數(shù).然而以上的方法會(huì)給實(shí)驗(yàn)帶來(lái)一些限制條件.因而，當(dāng)只有1個(gè)波峰出現(xiàn)在第二次傅里葉變換域中時(shí)，就能讓位移量識(shí)別更加便利，即只要對(duì)這個(gè)峰值坐標(biāo)進(jìn)行坐標(biāo)識(shí)別.由傅里葉變換的性質(zhì)以及數(shù)學(xué)模型，為了進(jìn)行位移測(cè)量我們構(gòu)造了一個(gè)新的函數(shù).將位移前后CCD采集到的數(shù)字散斑圖分別表示為g1（x，y）＝g（x，y），g2（x，y）＝g（x＋u，y＋v），其中（u，v）分別是CCD采集到的散斑場(chǎng)在x方向和y方向位移矢量，且都視為常量.我們對(duì)位移前后的2幅數(shù)字散斑圖像分別做傅里葉變換，得到2個(gè)含有指數(shù)的函數(shù)，然后構(gòu)造2個(gè)新的函數(shù)［其中一個(gè)是含有位移量（u，v）的指數(shù)函數(shù)］，為了得到更多的關(guān)于位移矢量的信息，對(duì)2個(gè)新函數(shù)再次快速傅里葉變換.最后，得到H（ωx，ωy）＝Hα（ωx，ωy）δ（ωx-u，ωy-v），Hα（ωx，ωy）兩種形式的結(jié)果.識(shí)別脈沖峰值的坐標(biāo)，將得到2副圖像之間的位移矢量（u，v）.它們的二維分布1個(gè)亮點(diǎn)，三維分布1個(gè)主峰.在對(duì)三維分布進(jìn)行顯示時(shí)，對(duì)所得頻譜作歸一化然后取絕對(duì)值，對(duì)其中的1個(gè)區(qū)間進(jìn)行顯示.對(duì) H（ωx，ωy）和 Hα（ωx，ωy）的峰值坐標(biāo)進(jìn)行坐標(biāo)識(shí)別，即可以確定位移量（u，v）.該方法對(duì)位移測(cè)量的下限沒(méi)有要求，而且峰也比較尖銳，這樣就能夠進(jìn)行準(zhǔn)確和實(shí)時(shí)測(cè)量.頻譜面上相關(guān)峰由改進(jìn)前的3個(gè)峰（1個(gè)主峰和2個(gè)對(duì)稱(chēng)次峰）變?yōu)轭l譜面上的1個(gè)主峰，這樣就既保留了原來(lái)方法的優(yōu)點(diǎn)，又對(duì)原方法的測(cè)量范圍進(jìn)行了改進(jìn)，擴(kuò)大了測(cè)量范圍，不用考慮主峰（主亮點(diǎn)）的像素覆蓋范圍對(duì)次峰的影響，沒(méi)有可測(cè)的最小位移量的限制.

5 結(jié)束語(yǔ)

目前已有大量關(guān)于二維位移測(cè)量的研究方法，本文的方法，經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)比較和誤差分析，效果比較好，保證了系統(tǒng)的測(cè)量精度，與一般方法相比，該方法檢測(cè)系統(tǒng)簡(jiǎn)單，光路裝調(diào)也比較方便.最后的改進(jìn)方法較大地減小快速傅里葉變換方法在測(cè)量范圍上的限制，既能提高了測(cè)量精度，又?jǐn)U大了測(cè)量范圍.

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