田仲業(yè)，樓夢(mèng)麟

（同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200092）

隨著經(jīng)濟(jì)與科技的發(fā)展，人們正在以前所未有的速度建設(shè)著大跨度的結(jié)構(gòu)，同時(shí)大跨結(jié)構(gòu)的跨度也在與日俱增，而這些大跨結(jié)構(gòu)，如大跨橋梁、水壩、大型體育場(chǎng)館等公共設(shè)施，一旦在地震作用下遭受破壞，其所造成的人員傷亡、經(jīng)濟(jì)損失以及對(duì)抗震救災(zāi)工作的影響將是極其嚴(yán)重的.然而，與平面展布尺寸小的結(jié)構(gòu)相比，地震動(dòng)的時(shí)空變化性對(duì)大跨結(jié)構(gòu)的 抗 震 性 能 的 影 響 是 不 容 忽 視 的［1］.1965 年，Bogdanoff等［2］通過(guò)數(shù)值計(jì)算得出結(jié)論，地震動(dòng)傳播的時(shí)滯效應(yīng)對(duì)大跨度結(jié)構(gòu)的影響是不可忽略的.多次實(shí)際地震的震害也表明了地震動(dòng)的空間變化性將對(duì)大跨結(jié)構(gòu)產(chǎn)生很大影響［3］.在地震動(dòng)的多點(diǎn)激勵(lì)下，結(jié)構(gòu)的受力情況十分復(fù)雜，不僅受到動(dòng)力地震作用的影響，結(jié)構(gòu)各支點(diǎn)還會(huì)因輸入的位移不一致而出現(xiàn)相對(duì)位移，所以其破壞可能更為嚴(yán)重.

目前研究大跨結(jié)構(gòu)多點(diǎn)激勵(lì)地震響應(yīng)的方法主要有三種，時(shí)程分析法、隨機(jī)振動(dòng)法和反應(yīng)譜法.時(shí)程分析法發(fā)展較為成熟、計(jì)算較為精確，然計(jì)算結(jié)果強(qiáng)烈依賴于所選取的地震動(dòng)數(shù)據(jù)，不同的地震動(dòng)輸入下所得計(jì)算結(jié)果可能差別很大，因此為得到結(jié)構(gòu)反應(yīng)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，必須對(duì)多條地震動(dòng)時(shí)程進(jìn)行計(jì)算，工作量巨大.隨機(jī)振動(dòng)分析方法充分地考慮地震發(fā)生的統(tǒng)計(jì)概率特性，在確定了地震動(dòng)場(chǎng)的功率譜后，計(jì)算得到的是結(jié)構(gòu)各反應(yīng)量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，其結(jié)果不依賴于某條地震動(dòng)時(shí)程，使得計(jì)算工作量大為減少，但隨機(jī)振動(dòng)法的數(shù)學(xué)處理復(fù)雜，難以被工程設(shè)計(jì)人員接受為工程實(shí)用計(jì)算方法，而且目前各國(guó)的抗震設(shè)計(jì)規(guī)范是以反應(yīng)譜，而非功率譜來(lái)描述地震動(dòng)輸入的，因此，相對(duì)于工程實(shí)用而言，反應(yīng)譜分析方法具有較大優(yōu)勢(shì)，利用反應(yīng)譜法計(jì)算結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)時(shí)，可以方便地將動(dòng)力問(wèn)題轉(zhuǎn)化為靜力問(wèn)題求解，使得復(fù)雜的地震反應(yīng)計(jì)算變得簡(jiǎn)單易行，而且反應(yīng)譜本身也包含了地面運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)特征，運(yùn)用得當(dāng)仍可得出足夠精度的計(jì)算結(jié)果.然而目前通用的反應(yīng)譜分析方法是建立在一致地震激勵(lì)基礎(chǔ)上的，直接將其應(yīng)用于大跨度結(jié)構(gòu)的抗震分析，會(huì)產(chǎn)生很大誤差［4］，因此，發(fā)展適用于多點(diǎn)激勵(lì)的反應(yīng)譜分析方法意義重大.

目前，發(fā)展多點(diǎn)激勵(lì)下的反應(yīng)譜分析方法主要有以下三種思路：一是對(duì)現(xiàn)行一致激勵(lì)反應(yīng)譜法進(jìn)行調(diào)整，使其適用于多點(diǎn)激勵(lì)的情況，可稱之為“直接反應(yīng)譜法”；二是根據(jù)多點(diǎn)激勵(lì)下結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程，將結(jié)構(gòu)反應(yīng)分為擬靜力反應(yīng)與動(dòng)力反應(yīng)兩部分，得出結(jié)構(gòu)反應(yīng)在時(shí)域內(nèi)的解的表達(dá)式，從而基于零均值平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的假定，利用隨機(jī)振動(dòng)法得出結(jié)構(gòu)反應(yīng)的自功率譜密度函數(shù)、均方差函數(shù)，最終得出結(jié)構(gòu)反應(yīng)平均最大值的反應(yīng)譜組合公式，可稱之為“功率譜轉(zhuǎn)反應(yīng)譜法”；三是基于虛擬激勵(lì)法，構(gòu)造相應(yīng)的多點(diǎn)虛擬激勵(lì)，得出多點(diǎn)激勵(lì)下的反應(yīng)譜組合公式.

1 多點(diǎn)激勵(lì)下結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程

考慮一線彈性體系，上部結(jié)構(gòu)自由度數(shù)共為n，支承點(diǎn)處約束自由度數(shù)共為m，在地面運(yùn)動(dòng)的多點(diǎn)激勵(lì)下，其運(yùn)動(dòng)微分方程可寫(xiě)成如下形式［5］：

式中：M、C、K 分別為對(duì)應(yīng)于上部結(jié)構(gòu)自由度的n階質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；Mg、Cg、Kg分別為對(duì)應(yīng)于支承約束自由度的m階質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；Mc、Cc、Kc分別為上部結(jié)構(gòu)自由度與支承約束自由度間的耦合質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；x··、x·、x分別為對(duì)應(yīng)于上部結(jié)構(gòu)自由度的絕對(duì)加速度、速度和位移的n維列向量；u··、u·、u分別為對(duì)應(yīng)于支承約束自由度的加速度、速度和位移的m維列向量；F 為m維支承反力列向量.

通常，可將上部結(jié)構(gòu)的總位移響應(yīng)x 分解為由各支承點(diǎn)的相對(duì)位移引起的擬靜力位移xs和由在地震作用下由慣性力引起的動(dòng)力位移xd之和［5－6］，即：

其中擬靜力位移xs可用靜力平衡條件求得，即將式（2）代入式（1）中，除去動(dòng)力影響，即令速度和加速度項(xiàng)為零計(jì)算得到：

式中，R＝－K－1Kc，稱為影響矩陣.

將式（2）—（3）代入式（1）中，并忽略與u·相乘的阻尼力項(xiàng)，得：

將動(dòng)力位移xd表示為各振型疊加的形式，再引入比例阻尼的假定，得：

式中：φj、Yj（t）、ξj、ωj分別表示結(jié)構(gòu)第j階振型的振型向量、正規(guī)坐標(biāo)、阻尼比和圓頻率表示第k個(gè)約束自由度處地面運(yùn)動(dòng)加速度；γkj表示在第k個(gè)地面運(yùn)動(dòng)加速度作用下結(jié)構(gòu)第j振型的振型參與系數(shù).于是可從第k個(gè)支承約束自由度處的地面運(yùn)動(dòng)的反應(yīng)譜中讀出δkj（t）的最大反應(yīng)Dk（ωj，ξj），再通過(guò)一定的振型組合方法，如平方和開(kāi)平法（SRSS）、完全二次組合（CQC）等，即可得出結(jié)構(gòu)任一自由度上的地震反應(yīng)Z（t）的平均最大值E（Zmax）.

根據(jù)彈性力學(xué)理論，Z（t）可表示為結(jié)構(gòu)各節(jié)點(diǎn)位移和支座位移的線性函數(shù)［7］，即：

式中：qu＝｛qu，1，…qu，m｝，qx＝｛qx，1，…qx，n｝為系數(shù)向量；ak＝qu，k＋qxTRk，bkj＝qTφjγkj分別為多點(diǎn)激勵(lì)時(shí)的有效影響系數(shù)和有效振型參與系數(shù).

2 直接反應(yīng)譜法

此種方法思路是直接對(duì)現(xiàn)行一致激勵(lì)反應(yīng)譜法組合公式進(jìn)行調(diào)整，使其適用于多點(diǎn)激勵(lì)的情況，文中稱之為“直接反應(yīng)譜法”.

2.1 Yamamura N 和Tanaka H 提出的分組法［8］

該方法將結(jié)構(gòu)各支承點(diǎn)根據(jù)其空間分布和場(chǎng)地情況分為若干組，相距較近且場(chǎng)地條件相同的支承分為一組，假定每組內(nèi)各支承點(diǎn)的地面運(yùn)動(dòng)完全相關(guān)且為一致激勵(lì)，而各組之間的地面運(yùn)動(dòng)為互不相關(guān)且為非一致激勵(lì)，先將各組支承單獨(dú)受到地震激勵(lì)時(shí)結(jié)構(gòu)各振型間的反應(yīng)采用CQC 法組合，再將不同組支承在地震激勵(lì)下的反應(yīng)采用SRSS 法組合，以得到結(jié)構(gòu)在多點(diǎn)激勵(lì)下的總反應(yīng).

該方法考慮了地面運(yùn)動(dòng)的局部場(chǎng)地效應(yīng)，沒(méi)有計(jì)及結(jié)構(gòu)反應(yīng)中的擬靜力項(xiàng)及其與動(dòng)力項(xiàng)的互相關(guān)性，沒(méi)有考慮行波效應(yīng)和部分相干效應(yīng)，當(dāng)行波效應(yīng)和部分想干效應(yīng)的影響不顯著時(shí)，如結(jié)構(gòu)不同支承處場(chǎng)地差異很大，或跨越了斷裂帶時(shí)，該方法則具有一定的實(shí)用價(jià)值.

2.2 Berrah M 和Kausel E提出的修正系數(shù)法［9－10］

該方法引入了兩個(gè)修正系數(shù)，一個(gè)用來(lái)修正結(jié)構(gòu)各振型反應(yīng)譜值，一個(gè)用來(lái)修正振型相關(guān)系數(shù)，如此，可將一致激勵(lì)時(shí)的CQC 法推廣到多點(diǎn)激勵(lì)中.為便于工程實(shí)踐應(yīng)用，該方法引入地面運(yùn)動(dòng)為白噪聲的假定，取Loh等［11］所給出的地運(yùn)動(dòng)相干函數(shù)模型，對(duì)頻響函數(shù)及式中系數(shù)進(jìn)行了簡(jiǎn)化處理.特別地，針對(duì)承受水平地震作用的剪切型框架結(jié)構(gòu)，當(dāng)各柱剛度相近時(shí)，在上述簡(jiǎn)化工作的基礎(chǔ)上，還得到了更進(jìn)一步的簡(jiǎn)化形式.

該方法可以利用一致激勵(lì)時(shí)的設(shè)計(jì)反應(yīng)譜及組合方法獲得結(jié)構(gòu)在多點(diǎn)激勵(lì)下的反應(yīng)，考慮了行波效應(yīng)和部分相干效應(yīng)，但沒(méi)有考慮局部場(chǎng)地效應(yīng)，沒(méi)有計(jì)及結(jié)構(gòu)反應(yīng)中的擬靜力項(xiàng)及其與動(dòng)力項(xiàng)的互相關(guān)性.

2.3 其他直接反應(yīng)譜法

蘇亮和董石麟等［12］針對(duì)兩邊支承，且具有對(duì)稱性的大跨度空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，根據(jù)結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，將結(jié)構(gòu)分為正對(duì)稱半結(jié)構(gòu)與反對(duì)稱半結(jié)構(gòu)，并將兩邊支座處的地震動(dòng)輸入分解為相應(yīng)的正對(duì)稱分量和反對(duì)稱分量，然后將兩個(gè)半結(jié)構(gòu)的計(jì)算結(jié)果疊加，即得到原結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)，并基于隨機(jī)振動(dòng)理論提出了兩點(diǎn)激勵(lì)下抗震設(shè)計(jì)的“平均反應(yīng)譜法”，如此將兩點(diǎn)激勵(lì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一致激勵(lì)問(wèn)題，并可同時(shí)考慮行波效應(yīng)和相干效應(yīng).

樓夢(mèng)麟和唐玉［13］利用拱橋?qū)ΨQ性，建立了進(jìn)行拱橋地震行波反應(yīng)計(jì)算的一致反應(yīng)譜方法，該方法基于目前工程抗震設(shè)計(jì)中常用的標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)譜，概念簡(jiǎn)單，易于工程設(shè)計(jì)人員應(yīng)用.但這一方法的適用面受到限制，還只是適用于單跨的對(duì)稱結(jié)構(gòu).

黃明開(kāi)［14］根據(jù)大質(zhì)量法近似方法的運(yùn)動(dòng)方程，推導(dǎo)出了基于大質(zhì)量法的直接反應(yīng)譜方法，該方法認(rèn)為，大質(zhì)量體系比原結(jié)構(gòu)體系增加的振型，包括剛體振型在內(nèi)，就是原結(jié)構(gòu)的擬靜力位移的組合，當(dāng)考慮了這些振型后，也就考慮了擬靜力位移的影響，因此，基于大質(zhì)量法的反應(yīng)譜法與一般的反應(yīng)譜法有著同樣完備的理論基礎(chǔ)，相似的計(jì)算公式，相同的計(jì)算精度.

3 功率譜轉(zhuǎn)反應(yīng)譜法

此種方法思路是根據(jù)多點(diǎn)激勵(lì)下結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程，將結(jié)構(gòu)反應(yīng)分為擬靜力反應(yīng)與動(dòng)力反應(yīng)兩部分，得出結(jié)構(gòu)反應(yīng)在時(shí)域內(nèi)的解的表達(dá)式，從而基于零均值平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的假定，利用隨機(jī)振動(dòng)法得出結(jié)構(gòu)反應(yīng)的自功率譜密度函數(shù)、均方差函數(shù)，最終得出結(jié)構(gòu)反應(yīng)平均最大值的反應(yīng)譜組合公式，文中稱之為“功率譜轉(zhuǎn)反應(yīng)譜法”.

3.1 Der Kiureghian A 和Neuenhofer A 提 出 的 方法［1］及相應(yīng)的簡(jiǎn)化方法

該方法常稱之為多點(diǎn)激勵(lì)反應(yīng)譜法，簡(jiǎn)稱MSRS法，其假定結(jié)構(gòu)各支承處的地面運(yùn)動(dòng)uk（t）為一系列零均值平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，則結(jié)構(gòu)反應(yīng)也為零均值平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，根據(jù)隨機(jī)振動(dòng)理論，可從式（6）推導(dǎo)出R（t）的自功率譜密度函數(shù)GR（ω）、均方差σ2R，最終得出振型組合方法如下：

當(dāng)?shù)卣鸺?lì)為一致激勵(lì)時(shí)，可發(fā)現(xiàn)該方法即退化為一致激勵(lì)時(shí)的CQC法，該方法也可視為多點(diǎn)激勵(lì)下的CQC法，因此，該方法也繼承了CQC 法的缺點(diǎn)，即當(dāng)結(jié)構(gòu)阻尼較小或結(jié)構(gòu)自振周期與地面運(yùn)動(dòng)持時(shí)相比很長(zhǎng)時(shí)，其精度會(huì)大大降低，且沒(méi)有計(jì)及截?cái)嗟母哳l振型的影響，對(duì)于窄帶地面運(yùn)動(dòng)輸入的情況，精度也較差，這些缺點(diǎn)在運(yùn)用該方法對(duì)金門大橋的多點(diǎn)激勵(lì)反應(yīng)譜分析中已經(jīng)有所表現(xiàn)［15］.盡管如此，該方法較全面地考慮了行波效應(yīng)、部分相干效應(yīng)及局部場(chǎng)地效應(yīng)的影響，而且較好地反映了各支承點(diǎn)地面運(yùn)動(dòng)的相關(guān)性和各振型間的相關(guān)性，理論嚴(yán)密，是很有發(fā)展前景的一種分析方法，但其計(jì)算過(guò)程復(fù)雜，工作量大，難以為工程設(shè)計(jì)人員接受，因此，如何提高該方法的計(jì)算效率并保證其計(jì)算精度，很多學(xué)者進(jìn)行了進(jìn)一步的研究.

3.1.1 Loh C H 和Ku B D 提出的簡(jiǎn)化方法［16］

該方法假定地震波剪切波速與視波速相等，以簡(jiǎn)化地面運(yùn)動(dòng)相干函數(shù)的計(jì)算.在計(jì)算各互相關(guān)系數(shù)時(shí)，將功率譜密度函數(shù)分為實(shí)部和虛部?jī)刹糠?，分別對(duì)其進(jìn)行積分運(yùn)算，同時(shí)引入文獻(xiàn)［9］中對(duì)傳遞函數(shù)的簡(jiǎn)化并建議對(duì)地面運(yùn)動(dòng)自功率譜密度函數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)化［17］，使互相關(guān)系數(shù)的無(wú)限積分簡(jiǎn)化為直接的數(shù)值積分計(jì)算，大大減少了計(jì)算工作量.該方法同時(shí)指出，在結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析中，可以忽略擬靜力反應(yīng)和動(dòng)力反應(yīng)的相關(guān)項(xiàng)，對(duì)計(jì)算精度影響不大.

3.1.2 Kahan M 等提出的簡(jiǎn)化方法［18］

該方法是針對(duì)地震動(dòng)空間變化性較小的情況所提出的一種計(jì)算大跨橋梁結(jié)構(gòu)多點(diǎn)激勵(lì)的簡(jiǎn)化方法，使用該方法時(shí)需滿足以下幾個(gè)條件：①地面運(yùn)動(dòng)各分量之間相互獨(dú)立，各個(gè)方向的地震激勵(lì)可以單獨(dú)進(jìn)行計(jì)算；②結(jié)構(gòu)的擬靜力反應(yīng)和動(dòng)力反應(yīng)是完全不相關(guān)的，此時(shí)通常需要結(jié)構(gòu)的基本自振頻率大于0.5 Hz；③結(jié)構(gòu)的各階自振頻率相差較大以至于可以忽略各振型之間的相關(guān)性；④相干損失率小于2×10－3s·m－1且視波速大于200m·s－1.該方法通過(guò)對(duì)相干函數(shù)進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，分別得到當(dāng)大跨橋梁承受沿結(jié)構(gòu)跨度方向的水平地震激勵(lì)、側(cè)向水平地震激勵(lì)以及豎向地震激勵(lì)時(shí)的振型組合方法.同時(shí)，文獻(xiàn)［18］中提出了如何適當(dāng)選取參與計(jì)算的模態(tài)數(shù)的方法.

該方法可應(yīng)用于大跨橋梁的初步設(shè)計(jì)階段，幫助分析大跨橋梁的地震反應(yīng)，但當(dāng)?shù)卣饎?dòng)空間變化性較大時(shí)，該簡(jiǎn)化公式將不再適用，對(duì)此，文獻(xiàn)［18］中給出了地震動(dòng)空間變化性較大時(shí)，估算橋梁結(jié)構(gòu)最大地震反應(yīng)的計(jì)算公式.

3.1.3 劉先明、孫建梅、葉繼紅等提出的簡(jiǎn)化方法［4，19］

該方法是針對(duì)大跨度空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)所提出的一種簡(jiǎn)化方法，其認(rèn)為，在實(shí)際工程中，絕大多數(shù)的網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的自振周期小于2s，此時(shí)可忽略結(jié)構(gòu)的擬靜力反應(yīng)與動(dòng)力反應(yīng)的耦合；且結(jié)構(gòu)跨度一般不會(huì)超過(guò)500m，各支承點(diǎn)可認(rèn)為處于同一性質(zhì)場(chǎng)地，可假定各支撐處的地面運(yùn)動(dòng)具有相同的功率譜密度函數(shù).

文獻(xiàn)［4］中通過(guò)計(jì)算對(duì)比指出，在計(jì)算相關(guān)系數(shù)時(shí)，可將地面運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化為白噪聲過(guò)程，并且通過(guò)對(duì)結(jié)構(gòu)傳遞函數(shù)的研究發(fā)現(xiàn)，結(jié)構(gòu)對(duì)于地震波的頻率分量具有較強(qiáng)的選擇性，可近似認(rèn)為地震波中僅有與結(jié)構(gòu)各個(gè)振型頻率相同的成分對(duì)結(jié)構(gòu)的相應(yīng)振型反應(yīng)有貢獻(xiàn)，而對(duì)其他振型的影響以及其他頻率的波對(duì)該振型的貢獻(xiàn)可略去不計(jì).

孫建梅等［19］在計(jì)算時(shí)，將頻響函數(shù)的乘積寫(xiě)成實(shí)部和虛部和的形式，根據(jù)頻響函數(shù)對(duì)地震波的頻率分量有很強(qiáng)的選擇性的性質(zhì)，進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，并假定地面運(yùn)動(dòng)為理想白噪聲過(guò)程，簡(jiǎn)化后省去許多積分運(yùn)算.

此外，Allam 和Datta［20－21］通過(guò)與文獻(xiàn)［1］中相同的理論推導(dǎo)過(guò)程，得出了地震動(dòng)多點(diǎn)多維輸入下計(jì)算斜拉橋地震反應(yīng)的反應(yīng)譜法公式，并在分析中適當(dāng)?shù)乜紤]了各支承點(diǎn)地震動(dòng)的相干性、反應(yīng)的擬靜力分量和不同模態(tài)間的相關(guān)性，但忽略了地震動(dòng)的行波效應(yīng)和局部場(chǎng)地效應(yīng).

3.2 Heredia－Zavoni E和Vanmarcke E H 提出的方法［22］及相應(yīng)的簡(jiǎn)化方法

該方法常稱之為“組合法”，其假定各支承自由度處的地面運(yùn)動(dòng)為零均值聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，并認(rèn)為地面運(yùn)動(dòng)持時(shí)足夠長(zhǎng)以使結(jié)構(gòu)的反應(yīng)達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)，由此基于隨機(jī)振動(dòng)理論，推導(dǎo)出了任意兩個(gè)結(jié)構(gòu)反應(yīng)R（t）和R′（t）間的協(xié)方差，并且在推導(dǎo)過(guò)程中指出，該方法適用于結(jié)構(gòu)相鄰兩階模態(tài)的自振頻率之比小于0.7或大于1.2的情況，最后根據(jù)協(xié)方差公式，導(dǎo)出R（t）的方差，并得到相應(yīng)的反應(yīng)譜法振型組合方法如下：

式中：αkli，θkli，φkli為僅與結(jié)構(gòu)自身特性有關(guān)的系數(shù)；Γ0，kli，Λ1，kli，Λ3，kli稱為譜參數(shù)，其取值與地面運(yùn)動(dòng)特性和結(jié)構(gòu)自身特性有關(guān).

將此方法與“MSRS 法”相比可以看出，在擬靜力反應(yīng)項(xiàng)、擬靜力反應(yīng)與動(dòng)力反應(yīng)的耦合項(xiàng)，兩種方法基本相同，只是在動(dòng)力反應(yīng)上有所區(qū)別.Der Kiureghian認(rèn)為，雖然此方法計(jì)算效率有所提高，但卻是以犧牲計(jì)算精度為代價(jià)的，為此，雙方曾就各自方法的計(jì)算精度和效率進(jìn)行過(guò)爭(zhēng)論［23－24］，而至今也未得出確切結(jié)論，尚有待于進(jìn)一步的理論研究和實(shí)際應(yīng)用加以驗(yàn)證.

3.2.1 劉洪兵、朱晞等提出的簡(jiǎn)化方法［25－27］

文獻(xiàn)［25］通過(guò)略去結(jié)構(gòu)擬靜力反應(yīng)與動(dòng)力反應(yīng)的耦聯(lián)項(xiàng)，并采用文獻(xiàn)［9］中的相干函數(shù)模型及其簡(jiǎn)化的頻響函數(shù)模型，以及地面運(yùn)動(dòng)過(guò)濾白噪聲模型，以簡(jiǎn)化式（8）的計(jì)算.

文獻(xiàn)［26－27］中提出了一種相關(guān)系數(shù)的“離線計(jì)算方法”，即在三維空間內(nèi)，在一定的阻尼比及場(chǎng)地條件下，相關(guān)系數(shù)隨結(jié)構(gòu)自振頻率、地震動(dòng)在結(jié)構(gòu)各支承間的傳播時(shí)間變化的三維曲線可以事先求得，并將其存儲(chǔ)起來(lái)，對(duì)不同結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析時(shí)可對(duì)其直接調(diào)用.

3.2.2 李杰等提出的簡(jiǎn)化方法［28］

該方法根據(jù)文獻(xiàn)［22］的思路和推導(dǎo)過(guò)程，不僅得出了結(jié)構(gòu)峰值反應(yīng)的均值的組合公式，還得出了結(jié)構(gòu)峰值反應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差的組合公式，在計(jì)算公式中的譜參數(shù)時(shí)，假定結(jié)構(gòu)各支撐自由度處的地面運(yùn)動(dòng)均為理想白噪聲過(guò)程，并采用文獻(xiàn)［9］中的相干函數(shù)以及文獻(xiàn)［1］中的反應(yīng)譜與功率譜的轉(zhuǎn)換關(guān)系，再進(jìn)行積分運(yùn)算，進(jìn)而通過(guò)觀察總結(jié)以及回歸分析，得出了相關(guān)系數(shù)的近似計(jì)算公式.

文獻(xiàn)［28］通過(guò)對(duì)一雙塔斜拉橋的抗震分析表明，該方法的計(jì)算結(jié)果與Monte Carlo模擬給出的結(jié)果比較接近，且具有MSRS法所無(wú)法比擬的計(jì)算效率，該方法解決了既有的多點(diǎn)激勵(lì)反應(yīng)譜法計(jì)算量大、不能給出結(jié)構(gòu)峰值反應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差這兩個(gè)缺點(diǎn)，并可以推廣應(yīng)用到結(jié)構(gòu)在多點(diǎn)激勵(lì)下的抗震可靠度分析中.

3.3 王君杰等提出的方法［29］

文獻(xiàn)［29］從平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)理論出發(fā)，基于對(duì)復(fù)模態(tài)物理意義的解釋，提出了計(jì)算一個(gè)適用于多點(diǎn)多維地震動(dòng)作用下的一般阻尼體系的反應(yīng)譜分析方法（GRSM）.一般阻尼系統(tǒng)的反應(yīng)不僅與模態(tài)位移反應(yīng)有關(guān)，而且與模態(tài)速度反應(yīng)有關(guān)，因此反應(yīng)譜分析方法中增加了與速度反應(yīng)譜有關(guān)的項(xiàng)，經(jīng)典阻尼體系的反應(yīng)譜分析方法即為GRSM 表達(dá)式中的一項(xiàng).文中進(jìn)一步研究表明，對(duì)于上部結(jié)構(gòu)分析以及系統(tǒng)內(nèi)無(wú)調(diào)諧作用的土－結(jié)構(gòu)相互作用分析，與模態(tài)速度反應(yīng)有關(guān)的項(xiàng)對(duì)結(jié)構(gòu)反應(yīng)的貢獻(xiàn)可以忽略，此時(shí)一般阻尼體系的反應(yīng)譜方法與經(jīng)典反應(yīng)譜方法在數(shù)學(xué)格式上完全相同，只是一般阻尼體系仍需求解復(fù)特征值問(wèn)題.

4 基于虛擬激勵(lì)法的多點(diǎn)激勵(lì)反應(yīng)譜法

此種方法思路是基于虛擬激勵(lì)法，構(gòu)造相應(yīng)的多點(diǎn)虛擬激勵(lì)，得出多點(diǎn)激勵(lì)下的反應(yīng)譜組合公式.林家浩等人根據(jù)隨機(jī)振動(dòng)原理提出了一種計(jì)算大型結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)的高效算法，即虛擬激勵(lì)法［30］，為計(jì)算多點(diǎn)激勵(lì)下大跨度結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)提供了快捷的計(jì)算方法，一些學(xué)者將此方法與反應(yīng)譜法相結(jié)合，建立了基于虛擬激勵(lì)法的多點(diǎn)激勵(lì)反應(yīng)譜法.

4.1 王淑波提出的振型組合法［31］

文獻(xiàn)［31］中認(rèn)為，前文所述的適用于多點(diǎn)激勵(lì)的反應(yīng)譜法，都是基于地面運(yùn)動(dòng)和結(jié)構(gòu)反應(yīng)為零均值平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的假定而導(dǎo)出的，然而對(duì)于自振周期長(zhǎng)、自振頻率密集、阻尼比較小的大跨結(jié)構(gòu)而言，起主要貢獻(xiàn)的振型響應(yīng)在地震持時(shí)內(nèi)多數(shù)處于非平穩(wěn)過(guò)渡態(tài)，而非平穩(wěn)狀態(tài)，因而在此種情況下，前述方法的精度會(huì)大大下降.但是，即使對(duì)于非常簡(jiǎn)單的體系，確定非平穩(wěn)過(guò)程的均方響應(yīng)也是非常復(fù)雜的，難以為工程實(shí)踐所接受.為此，文中從虛擬激勵(lì)法入手，通過(guò)釋放一些平穩(wěn)過(guò)程的假定，推導(dǎo)出了一種可以近似考慮結(jié)構(gòu)反應(yīng)非平穩(wěn)性的振型組合方法，即HOC法.該方法可近似考慮結(jié)構(gòu)反應(yīng)的非平穩(wěn)性，計(jì)算簡(jiǎn)便，但無(wú)法考慮地震動(dòng)的局部場(chǎng)地效應(yīng).

4.2 孫建梅、葉繼紅等提出的方法［32－33］

該方法假定結(jié)構(gòu)各支承處地面運(yùn)動(dòng)功率譜密度函數(shù)為常數(shù)，并忽略擬靜力反應(yīng)與動(dòng)力反應(yīng)的耦合項(xiàng)，將頻響函數(shù)的乘積成實(shí)部與虛部的和的形式，根據(jù)積分表達(dá)式的特性，對(duì)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算進(jìn)行了簡(jiǎn)化，簡(jiǎn)化后，雖然表達(dá)式比較復(fù)雜，但積分次數(shù)明顯減少，并通過(guò)對(duì)北京飛機(jī)維修工程有限公司（AMECO）維修機(jī)庫(kù)的數(shù)值計(jì)算表明，簡(jiǎn)化后計(jì)算精度沒(méi)有損失，計(jì)算結(jié)果仍為精確解，但計(jì)算時(shí)間大大縮短，并且隨著振型個(gè)數(shù)的增加效果越加明顯.

5 其他多點(diǎn)激勵(lì)反應(yīng)譜法

Zembaty和Krenk［34］考慮地面運(yùn)動(dòng)的空間相關(guān)性，基于隨機(jī)振動(dòng)理論提出了結(jié)構(gòu)抗震分析的剪力反應(yīng)譜法，該方法體現(xiàn)了修正反應(yīng)譜思想，通過(guò)適當(dāng)相干函數(shù)考慮地面運(yùn)動(dòng)的空間變化，粗略地反映了不同支承處的地面運(yùn)動(dòng)對(duì)擬靜力反應(yīng)和動(dòng)力反應(yīng)的影響.

Jeng和Kasai［35］基于隨機(jī)振動(dòng)理論提出了計(jì)算地震動(dòng)行波效應(yīng)下相鄰結(jié)構(gòu)最大相對(duì)位移的譜差法，該方法考慮了時(shí)滯效應(yīng)且應(yīng)用方便，但不適用與結(jié)構(gòu)自振周期較小、支承相距較遠(yuǎn)的情況.

Trifunac等［36－37］提出了一種用于計(jì)算大跨結(jié)構(gòu)在多點(diǎn)激勵(lì)下底層柱的地震反應(yīng)的相對(duì)位移反應(yīng)譜法（可稱之為SDC 法），該方法直接用物理特性、幾何特性來(lái)描述結(jié)構(gòu)各柱的運(yùn)動(dòng)及地面運(yùn)動(dòng)，將各柱的剛度作為權(quán)重來(lái)確定各柱運(yùn)動(dòng)的參考點(diǎn)，將多點(diǎn)激勵(lì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一致激勵(lì)問(wèn)題，可用傳統(tǒng)的一致激勵(lì)反應(yīng)譜法來(lái)考慮，保持了傳統(tǒng)反應(yīng)譜法的簡(jiǎn)便性.文獻(xiàn)［37］提出的6 參數(shù)SDC 法還可考慮地震動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)分量的影響.

夏友柏等［38］提出了一種多點(diǎn)激勵(lì)下基于改進(jìn)振型位移法的反應(yīng)譜法，可用較少的振型即可得到結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)，但精度不高.

6 需要進(jìn)一步研究的問(wèn)題

綜上所述，國(guó)內(nèi)外諸多學(xué)者已就多點(diǎn)激勵(lì)反應(yīng)譜分析方法進(jìn)行了許多研究工作，并取得了許多有意義的成果.反應(yīng)譜法因其簡(jiǎn)便性以及與各國(guó)規(guī)范的緊密連接，在結(jié)構(gòu)抗震分析中有著不可取代的作用，因而發(fā)展適用于多點(diǎn)激勵(lì)下的反應(yīng)譜法是有著廣泛的應(yīng)用前景的，在這方面，還有著以下問(wèn)題需進(jìn)一步加以研究：

（1）地震動(dòng)輸入的確定.作為結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析的最基礎(chǔ)的問(wèn)題，地震動(dòng)輸入的誤差和不確定性是制約多點(diǎn)激勵(lì)反應(yīng)譜法發(fā)展的一大問(wèn)題，關(guān)于地震波的傳播機(jī)理和相干機(jī)制，以及地震動(dòng)的空間變化效應(yīng)，還需要進(jìn)一步深入的研究.

（2）長(zhǎng)周期反應(yīng)譜的確定.隨著大跨結(jié)構(gòu)跨度的不斷增長(zhǎng)，結(jié)構(gòu)的自振周期也越來(lái)越長(zhǎng)，而目前規(guī)范反應(yīng)譜的長(zhǎng)周期分量已不能滿足需求.

（3）計(jì)算效率的提高.目前提出的多點(diǎn)激勵(lì)反應(yīng)譜法公式大多過(guò)于復(fù)雜，計(jì)算過(guò)于繁瑣，尚只能作為科研手段，難以在工程設(shè)計(jì)中推廣，如何在保證計(jì)算精度的前提下提高計(jì)算效率，將是多點(diǎn)激勵(lì)反應(yīng)譜分析方法的研究中的熱點(diǎn)之一.

（4）非線性反應(yīng)譜的研究.目前提出的多點(diǎn)激勵(lì)反應(yīng)譜法尚只能應(yīng)用于線性系統(tǒng)，如何計(jì)算結(jié)構(gòu)進(jìn)入非線性之后的地震反應(yīng)，還需要進(jìn)行大量的研究工作.

（5）輸入的非平穩(wěn)性和反應(yīng)的非平穩(wěn)性的影響.目前的多點(diǎn)激勵(lì)反應(yīng)譜法公式的推導(dǎo)多是基于結(jié)構(gòu)反應(yīng)已達(dá)到平穩(wěn)響應(yīng)的假定，但對(duì)于大跨度結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，在地震作用下結(jié)構(gòu)反應(yīng)很可能尚未達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)，如何考慮地震動(dòng)的非平穩(wěn)性以及結(jié)構(gòu)反應(yīng)的非平穩(wěn)性，尚有待于進(jìn)一步研究.

（6）統(tǒng)一格式的反應(yīng)譜組合公式的確定.盡管目前多點(diǎn)激勵(lì)反應(yīng)譜法的研究有很多思路，但若想將其廣泛應(yīng)用于工程設(shè)計(jì)，則需推出一個(gè)統(tǒng)一格式的反應(yīng)譜組合公式，既要保證計(jì)算精度，又要足夠簡(jiǎn)明、方便，這還需要科研工作者與工程設(shè)計(jì)人員的通力合作與不懈努力.

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