楊 勇，張為民，2，趙紅樸

（1.同濟(jì)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 上海，201804） （2.同濟(jì)大學(xué)中德學(xué)院 上海，200092）

引 言

機(jī)床滾珠絲杠進(jìn)給驅(qū)動系統(tǒng)中，伺服電機(jī)產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)運動通過電機(jī)軸、滾珠絲桿和絲桿螺母副，轉(zhuǎn)化為立柱（工作臺）的平移運動。一直以來，滾珠絲杠驅(qū)動系統(tǒng)的動態(tài)特性研究都是國內(nèi)外機(jī)床動態(tài)特性研究的重點。研究大致可分為：a.通過不同的建模方法（集中參數(shù)模型、有限元模型和混合模型等）構(gòu)建滾珠絲杠驅(qū)動系統(tǒng)的動力學(xué)模型，實現(xiàn)不同簡化假設(shè)與邊界條件下系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)與振動特征的影響性研究與優(yōu)化；b.通過不同的縮聚簡化描述方法，實現(xiàn)與伺服控制模型的集成，得到機(jī)床驅(qū)動系統(tǒng)的綜合動態(tài)特性［1－6］。從實驗角度出發(fā)，基于動態(tài)實驗與振動數(shù)據(jù)提取，運用不同的數(shù)據(jù)處理與分析手段，揭示系統(tǒng)動力學(xué)性能與內(nèi)在動態(tài)特征屬性［7－9］，為滾珠絲杠系統(tǒng)動態(tài)特性研究與優(yōu)化提供基礎(chǔ)，不足之處在于未理論驗證和說明該動態(tài)特征。文獻(xiàn)［7］通過建立絲杠－工作臺系統(tǒng)的軸向動力學(xué)模型，推導(dǎo)并實驗驗證了系統(tǒng)軸向振動混沌特征。文獻(xiàn)［10］在考慮非線性彈性力情況下對滾珠絲杠動態(tài)特征進(jìn)行研究，但文中基于滾珠絲杠為鐵木辛克梁的前提條件下，認(rèn)為絲杠變形前、后橫截面與軸線始終保持垂直，且截面彎曲轉(zhuǎn)角和橫向振動存在正切關(guān)系，直接構(gòu)建物理方程進(jìn)行分析，這與鐵木辛柯梁的基本假設(shè)不符。研究中通常將滾珠絲杠做歐拉－伯努利梁或鐵木辛柯梁假設(shè)。前者認(rèn)為梁截面內(nèi)的橫向剪切應(yīng)變?yōu)?，變形前、后截平面均保持平面且垂直于中性軸，模型簡單適用于一般的工程計算；后者仍然采用平截面假設(shè)，但由于同時考慮了梁的剪切效應(yīng)，使得其橫截面與中心軸不再垂直，針對不同梁引入剪切修正系數(shù)得到橫向剪切量。

針對滾珠絲杠的特點，其長寬比相對較小，筆者將其簡化成鐵木辛柯梁?？紤]其截面效應(yīng)和剪切效應(yīng)，從能量變分原理出發(fā)，構(gòu)建絲杠－工作臺系統(tǒng)的動力學(xué)模型進(jìn)行研究，避免了橫截面剪切與彎曲綜合影響下直接構(gòu)建物理方程的困難。

1 絲杠－工作臺系統(tǒng)動力學(xué)建模

滾珠絲杠示意圖如圖1所示。為計算簡單，將絲杠置于二維x－z平面內(nèi)，只研究絲杠在x－z平面內(nèi)的振動，沿x－y平面內(nèi)的橫向振動與彎曲可通過類推得到，取絲杠左端為坐標(biāo)原點，分別定義絲杠在沿x向軸向振動為u，z向橫向振動為w，繞x的扭轉(zhuǎn)振動為θ，x－z的彎曲振動為φ，假設(shè)滾珠絲杠轉(zhuǎn)動的過程中，定義工作臺運動為um，則絲杠軸的空間運動可用向量a＝［u，w，θ，φ］表示。

依據(jù)鐵木辛柯梁相關(guān)理論可知，由于剪切效應(yīng)的影響，與梁中心線相切的的線段同時發(fā)生角度偏轉(zhuǎn)β，因此彎曲變形與剪切變形作用下z向總變形量w為

其中：wφ為彎曲變形引起的z向變形量；wβ為剪切變形引起的z向變形量。

圖1 滾珠絲杠示意圖

對式（1）求導(dǎo)可得絲杠軸截面的總轉(zhuǎn)角γ為

由于絲杠沿z向的橫向振動使絲杠軸線變?yōu)閤－z平面內(nèi)的一條弧線，如圖1所示，因此絲杠軸的橫向振動引起的在x向的位移xz表示為該弧長投影與變形前長度之差

剪切效應(yīng)與彎曲效應(yīng)同時作用下的絲杠軸x向位移u為

絲杠軸x向應(yīng)變ξ為

根據(jù)式（5）得到絲杠橫截面受到的彎矩為

其中：E為材料的彈性模量；Iφ為絲杠軸橫截面繞y軸的慣性矩。

根據(jù)式（5），（7），（8）得到絲杠 －工作臺系統(tǒng)的軸向勢能為

其中：A為絲杠軸的橫截面積。

同理可得絲杠軸的剪切勢能Uw、扭轉(zhuǎn)勢能Uθ和彎曲勢能Uφ分別為

其中：κ為剪切修正系數(shù)；G為材料的切邊模量；Iθ為絲杠橫截面繞x軸的慣性矩。

滾珠絲杠應(yīng)變總勢能Ua

根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，將滾珠絲杠軸向運動過程中的慣性力轉(zhuǎn)化成體力，可得軸向載荷勢能Vu為

忽略橫向振動引起的軸向位移變化，式（12）可以簡化為

同理，得到橫向振動載荷勢能Vw、扭轉(zhuǎn)載荷勢能Vθ和彎曲載荷勢能Vφ分別為

假設(shè)工作臺位于x＝xm處，由工作臺運動引起的載荷勢能Vm為

其中：工作臺質(zhì)量為m。

滾珠絲杠系統(tǒng)載荷總勢能Va為

絲杠－工作臺系統(tǒng)的瞬時總勢能U為

根據(jù)最小勢能原理進(jìn)行瞬時變分，得到

通過式（18）可以得到關(guān)于絲杠－工作臺系統(tǒng)的動力學(xué)偏微分方程組。由于絲杠－工作臺系統(tǒng)邊界條件的復(fù)雜性，該偏微分方程組求解困難甚至不可能得到其解析解。假設(shè)絲杠變形為小變形，則絲杠內(nèi)部的非線性影響具有非相關(guān)性，其彈性變形可以通過結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法得到［11－12］。考慮到時空離散求解的復(fù)雜性及使用局限性，采用空間離散模態(tài)綜合法，在時刻t時絲杠的變形向量a可以表示為

分析式（20）～（24）可以看出：絲杠的橫向振動方程中具有高次非線性項，使得其振動呈現(xiàn)為非線性運動特征；絲杠各向振動之間存在著相互耦合因素，如絲杠的軸向振動受到橫向振動的影響，絲杠的橫向振動與彎曲振動的相互耦合影響。令

式（24）最終可以化簡為無阻尼受迫振動達(dá)芬方程的標(biāo)準(zhǔn)形式［7，13］

可以看出，絲杠的橫向振動表現(xiàn)為受迫達(dá)芬方程的混沌運動形式，其一次項系數(shù)中包含時變系數(shù)a（定常載荷作用下，忽略橫向運動對軸向運動的影響，可近似認(rèn)為是常數(shù)）。受迫激勵來自彎曲振動的耦合影響，產(chǎn)生的原因是由于鐵木辛柯梁假設(shè)下梁的剪切變形所引起的。根據(jù)混沌的相關(guān)理論［13］可知，由截面效應(yīng)與剪切效應(yīng)共同作用而引起的受迫激勵及達(dá)芬方程系數(shù)參量值的變化將會使絲杠混沌運動性質(zhì)不同于以往滾珠絲杠系統(tǒng)非線性振動方程［10］描述的運動特性。假設(shè)函數(shù)d（t）為時間的簡諧函數(shù)，則F（t）可記作F0cos（ωt），F(xiàn)0為振動幅值，取ω＝ω0＝1，ε＝0.05，F(xiàn)0＝7，得到d′－d相平面軌跡圖，如圖2所示。可以看出，其混沌運動的相軌跡曲線沒有發(fā)散，而是被局限在一個有限區(qū)域內(nèi)運動且曲線不封閉，即為非周期運動。

圖2 d′－d相平面上的軌跡

2 滾珠絲杠動態(tài)特性實驗的主分量分析

吳沁等［10］通過工作臺振動的加速度信號頻譜分析進(jìn)行動態(tài)特性混沌特征驗證，但譜分析只能確定振動是否隨機(jī)，無法確定該隨機(jī)振動來自于隨機(jī)擾動還是確定性系統(tǒng)的內(nèi)稟隨機(jī)性，因而無法區(qū)分混沌振動和隨機(jī)振動［7］。王林鴻等［7－9］通過功率譜、相平面軌跡、關(guān)聯(lián)維數(shù)和最大李雅普諾夫指數(shù)等特征量揭示了滾珠絲杠的混沌特征。筆者采用主分量分 析 方 法 （principal component analysis，簡 稱PCA）［14，15］對滾珠絲杠振動混沌特征進(jìn)行辨識，該方法是近年來提出的可以有效區(qū)分混沌與噪聲的方法，能夠達(dá)到系統(tǒng)動態(tài)特征性識別的目的。PCA分析的基礎(chǔ)為相空間重構(gòu)，該思想由 Packard［16，17］提出，主要包括導(dǎo)數(shù)重構(gòu)法與延遲重構(gòu)法，前者雖然物理意義明確，但易受噪聲干擾且坐標(biāo)尺度差異大，從而使用受到限制。目前常用延遲重構(gòu)法［13，14，18］。針對某一時間序列u（tj），j＝1，2，…，N，通過選擇合適的時間延遲τ與相空間維數(shù)m，構(gòu)造如式（27）所示的相空間

該相空間為M×m矩陣，且M＝N－（m－1）τ，將該相空間矩陣的協(xié)方差矩陣的特征值λi與特征向量φi稱之為主分量。將特征值按降序排列后，以序號i為橫坐標(biāo)為縱坐標(biāo)得到的圖為主分量譜圖。噪聲信號和混沌的主要區(qū)別在于，噪聲信號的主分量譜圖為橫坐標(biāo)近似平行的直線，混沌的主分量譜圖為斜率為負(fù)的過定點直線［14］。

針對沈陽機(jī)床廠生產(chǎn)的某型號數(shù)控機(jī)床進(jìn)行動態(tài)特性實驗，工作臺的往復(fù)運行速度為300cm／min，三向加速度傳感器的采樣頻率為2.56kHz。工作臺振動的加速度信號頻譜分析如圖3～5所示（傳感器安裝在工作臺底部靠近絲杠－螺母接觸副部分）。

圖3 x方向的加速度譜分析

圖4 y方向的加速度譜分析

圖5 z方向的加速度譜分析

周期運動或準(zhǔn)周期運動的譜分析圖一般具有一個或者多個突出的諧波成分［13］。圖3～5中，加速度譜成分較為復(fù)雜，在較寬的頻帶內(nèi)具有明顯的連續(xù)譜，這符合混沌運動的譜分析特征。取相空間維數(shù)為8，對工作臺位移振動信號進(jìn)行相空間重構(gòu)。取相空間矩陣的前3列作相空間軌跡圖，如圖6，8，10所示?？梢钥闯?，其相空間軌跡為非封閉曲線，且在有限區(qū)域內(nèi)作往復(fù)非周期運動，符合混沌運動的相空間軌跡特點。圖7，9，11為各向主分量譜圖?？梢钥闯觯渚鶠樾甭蕿樨?fù)的過定點直線，均符合混沌運動的主分量譜圖特點。通過動態(tài)特性實驗，對滾珠絲杠的動態(tài)特性的混沌特征進(jìn)行了驗證，說明了滾珠絲杠動力學(xué)模型及其特征描述的正確性。

圖6 x方向相空間軌跡

圖7 x方向主分量譜圖

圖8 y方向相空間軌跡

圖9 y方向主分量譜圖

圖10 z方向相空間軌跡

圖11 z方向主分量譜圖

3 結(jié) 論

1）基于鐵木辛柯梁假設(shè)，綜合考慮絲杠剪切與彎曲效應(yīng)，建立其絲杠－工作臺系統(tǒng)的動力學(xué)模型。分析得出：各向振動之間存在著非線性耦合因素；且橫向振動表現(xiàn)為受迫達(dá)芬方程的混沌運動形式，受迫激勵來自于彎曲振動的耦合影響，其產(chǎn)生的原因是由于鐵木辛柯梁假設(shè)下梁的剪切變形所引起。根據(jù)混沌理論可知，由截面效應(yīng)與剪切效應(yīng)共同作用而引起的受迫激勵及達(dá)芬方程系數(shù)參量值的變化將會使絲杠混沌運動性質(zhì)不同于以往滾珠絲杠系統(tǒng)非線性振動描述的運動特性。

2）通過動態(tài)特性實驗，運用主分量分析法，驗證了滾珠絲杠動力學(xué)模型及其特征描述的正確性。

3）通過建立的絲杠受迫振動達(dá)芬方程，借助于相關(guān)非線性理論實現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析，為機(jī)床振動控制與動態(tài)特性研究提供了重要基礎(chǔ)。

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