姜波瀾，閆云聚，徐 斌

（西北工業(yè)大學(xué)力學(xué)與土木建筑學(xué)院，陜西 西安710072）

引 言

對(duì)于處于惡劣振動(dòng)環(huán)境中的工程結(jié)構(gòu)，為了控制結(jié)構(gòu)振動(dòng)水平，需要準(zhǔn)確分析和預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性并對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)。進(jìn)行環(huán)境振動(dòng)試驗(yàn)，需要試驗(yàn)夾具能夠反映或模擬實(shí)際結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)邊界條件，是一個(gè)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)邊界設(shè)計(jì)問(wèn)題。但是，對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)整體進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析或動(dòng)力學(xué)特性試驗(yàn)，工作量和試驗(yàn)費(fèi)用巨大。而控制結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性及響應(yīng)的一個(gè)主要手段是對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)，即根據(jù)結(jié)構(gòu)所處的動(dòng)力學(xué)環(huán)境按照功能、強(qiáng)度、動(dòng)態(tài)特性等要求進(jìn)行設(shè)計(jì)，使其不但滿足結(jié)構(gòu)的靜力學(xué)要求，而且具有良好的動(dòng)力學(xué)特性，達(dá)到控制結(jié)構(gòu)振動(dòng)水平的目的。結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)與傳統(tǒng)的基于靜力準(zhǔn)則的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法不同，通常需要用動(dòng)力學(xué)優(yōu)化的方法來(lái)設(shè)計(jì)，使結(jié)構(gòu)的特性達(dá)到“最優(yōu)”，減小結(jié)構(gòu)振動(dòng)問(wèn)題對(duì)產(chǎn)品的影響，提高其安全可靠性。Zarghamee和Tayor提出了頻率優(yōu)化的概念［1］。Hemez研究了固有頻率和振型約束條件下結(jié)構(gòu)重量最小化的問(wèn)題［2］。陳集豐對(duì)具有基頻、一階振型節(jié)點(diǎn)位置約束的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行了研究［3］，并對(duì)特征向量和振型節(jié)點(diǎn)位置的靈敏度進(jìn)行了分析，并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。顧松年等對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)邊界模擬時(shí)振型的優(yōu)化進(jìn)行了研究［4］，給出了一種振型修正的方法。徐斌等對(duì)在隨機(jī)載荷激勵(lì)下桁架結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化進(jìn)行了研究［5］?？偟目磥?lái)，結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性設(shè)計(jì)多集中于結(jié)構(gòu)的頻率優(yōu)化設(shè)計(jì)，同時(shí)以固有頻率和振型為目標(biāo)或約束條件的優(yōu)化設(shè)計(jì)，是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性優(yōu)化設(shè)計(jì)中較難的部分，有關(guān)的研究工作或成果較少。

通常結(jié)構(gòu)的邊界條件對(duì)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性影響明顯，且結(jié)構(gòu)邊界條件的參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的影響也比結(jié)構(gòu)內(nèi)部參數(shù)更為敏感，因此在一定程度上對(duì)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的要求可通過(guò)邊界條件的設(shè)計(jì)來(lái)達(dá)到。由于邊界條件的設(shè)計(jì)變量數(shù)一般要比結(jié)構(gòu)內(nèi)部的參數(shù)少，并且有的結(jié)構(gòu)因設(shè)計(jì)功能和特定的性能約束內(nèi)部結(jié)構(gòu)不易改變時(shí)，利用邊界條件的動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)來(lái)滿足結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性是一個(gè)有效的設(shè)計(jì)方法。結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性設(shè)計(jì)，是一個(gè)逆特征值問(wèn)題，由于其求解的復(fù)雜性，目前只能解決簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)模型的逆特征值解問(wèn)題，還難以應(yīng)用到復(fù)雜結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性設(shè)計(jì)的問(wèn)題。進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性設(shè)計(jì)的另一類可行的方法是采用“正問(wèn)題”的處理方法，即根據(jù)實(shí)際結(jié)構(gòu)在設(shè)計(jì)的約束條件范圍內(nèi)可能變更的方案，不斷修改設(shè)計(jì)參數(shù)，通過(guò)優(yōu)化設(shè)計(jì)的方法確定滿足結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性要求的方案。

本文采用“正問(wèn)題”的處理思想，提出了將結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型作為動(dòng)力學(xué)特性設(shè)計(jì)的約束準(zhǔn)則，并且將結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化的思想應(yīng)用于結(jié)構(gòu)邊界動(dòng)力學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)，應(yīng)用基于ICM的準(zhǔn)則法對(duì)剛架機(jī)翼骨架模型的邊界進(jìn)行了拓?fù)鋬?yōu)化。

1 基本理論

以結(jié)構(gòu)固有頻率為約束條件，用范數(shù)表示的振型差最小為優(yōu)化準(zhǔn)則，將優(yōu)化問(wèn)題表示為

對(duì)于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)問(wèn)題，其動(dòng)力學(xué)方程

式中K和M為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度矩陣，λj＝，fj和φoj是設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的第j階固有頻率和振型。

引入設(shè)計(jì)變量ti，可分別求得結(jié)構(gòu)的第j階固有頻率和振型對(duì)第i個(gè)設(shè)計(jì)變量ti的偏導(dǎo)數(shù)為

特征向量對(duì)設(shè)計(jì)變量ti的偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)式很復(fù)雜，通常將它用結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的各階特征向量展開(kāi)，可表示為

計(jì)算系數(shù)

2 基于ICM方法單元靈敏度分析

隋允康等人提出的ICM（independent，continuous，mapping）方法意為獨(dú)立連續(xù)映射?！蔼?dú)立”及“連續(xù)”是指拓?fù)渥兞开?dú)立于低層次變量且為區(qū)間［0，1］上的連續(xù)值，即在ICM方法中定義了獨(dú)立連續(xù)的拓?fù)渥兞?；“映射”是指通過(guò)映射及反演的過(guò)程，使獨(dú)立連續(xù)的拓?fù)渥兞勘平x散拓?fù)渥兞?，完成拓?fù)渥兞俊半x散－連續(xù)－離散”的轉(zhuǎn)化。ICM方法能將拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)變量從依附于截面、厚度等低層次變量中抽象出來(lái)，使之成為獨(dú)立的層次，能體現(xiàn)出拓?fù)鋬?yōu)化的特征，而且可以較好的求得頻率。

本文采用過(guò)濾出少數(shù)識(shí)別單元?jiǎng)偠群蛦卧|(zhì)量，單元性質(zhì)識(shí)別參數(shù)采用如下公式

式中

對(duì)結(jié)構(gòu)邊界動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)問(wèn)題有

式中MB和KB分別為設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)邊界的質(zhì)量和剛度矩陣；MA和KA為除邊界外的結(jié)構(gòu)內(nèi)部的質(zhì)量和剛度矩陣；λi＝4π2f2，φ為設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的固有頻率和

jj

振型矩陣。由式（3）和（4）可分別求出結(jié)構(gòu)固有頻率和振型對(duì)設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù)，并且有

3 基于ICM準(zhǔn)則法動(dòng)力學(xué)優(yōu)化

在式（1）中提出的優(yōu)化模型是一個(gè)有約束的單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，構(gòu)造其拉格朗日函數(shù)

對(duì)上式兩邊同時(shí)對(duì)設(shè)計(jì)變量t求導(dǎo)可得

由式（11）第1式可得

其中，目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為：

式中 ?f／?ti由式（3）可得到，而?φoj／?ti則可由式（4）與（5）得到，于是

在實(shí)際的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，一般是以前幾階頻率作為約束，在計(jì)算拉格朗日乘子時(shí)，最大的困難是對(duì)多約束條件的集合，在迭代過(guò)程中如果單獨(dú)考慮每階頻率的約束，迭代過(guò)程花費(fèi)時(shí)間較長(zhǎng)，因此，通過(guò)一個(gè)加權(quán)因子處理多階頻率約束即按每階頻率約束的貢獻(xiàn)將αij加權(quán)處理，即

式中ηi表示多約束條件下的綜合指數(shù)，λj為加權(quán)系數(shù)，它取決于單頻率約束的滿足程度，值越大，表示該階頻率約束對(duì)綜合指數(shù)ηi的貢獻(xiàn)越大，其表達(dá)式如下

在優(yōu)化過(guò)程中，每次迭代所需要改變的拓?fù)渥兞考蠟?/p>

拓?fù)渥兞棵看蔚淖兓郸i是一個(gè)很重要的參量，拓?fù)渥兞康淖兓颠^(guò)小，優(yōu)化結(jié)果越精確，但是計(jì)算成本會(huì)隨之加大；相反，變化值過(guò)大，收斂過(guò)程會(huì)出現(xiàn)震蕩和收斂困難問(wèn)題，本文中拓?fù)渥兞康母淖冎蛋匆韵鹿接?jì)算：

其中，要使目標(biāo)函數(shù)J（t）取得最小值，Δti的符號(hào)與?J（t）／?ti符號(hào)關(guān)系如式（21）所示；ξ一般取為0.2～0.5。為了進(jìn)一步有效地消除拓?fù)鋬?yōu)化過(guò)程中出現(xiàn)的棋盤格現(xiàn)象，在每次迭代之后采用再分配的方法對(duì)拓?fù)渥兞窟M(jìn)行過(guò)濾處理。

（1）計(jì)算與每個(gè)節(jié)點(diǎn)相連的單元設(shè)計(jì)變量的平均值，作為該節(jié)點(diǎn)的設(shè)計(jì)變量

式中tnode為節(jié)點(diǎn)的拓?fù)湓O(shè)計(jì)變量，只是作為中間過(guò)渡值，ti是與該節(jié)點(diǎn)相連單元i的的拓?fù)湓O(shè)計(jì)變量，Vi是單元i體積，M為與該節(jié)點(diǎn)相連的單元數(shù)。

（2）計(jì)算單元各節(jié)點(diǎn)的平均拓?fù)渥兞?，作為該單元新的拓?fù)湓O(shè)計(jì)變量

式中N表示單元的節(jié)點(diǎn)數(shù)。當(dāng)一次拓?fù)渥兞吭俜峙洳荒芎芎玫亟鉀Q棋盤格問(wèn)題時(shí)，可以使用多次拓?fù)渥兞吭俜峙洹?/p>

收斂終止條件采用兩次鄰近設(shè)計(jì)拓?fù)渥兞亢驮O(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)的絕對(duì)差值式作為評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)

式中tk和tk＋1為前輪與本輪迭代的設(shè)計(jì)變量，Jk和Jk＋1為前輪與本輪迭代的目標(biāo)函數(shù)，ε為收斂精度，取0.01。迭代流程如圖1所示。

圖1 ICM準(zhǔn)則法拓?fù)鋬?yōu)化流程Fig.1 Topology optimization procedure by ICM criterion method

4 數(shù)值算例

圖2為一簡(jiǎn)化的飛機(jī)機(jī)翼模型，用空間剛架單元模擬的該結(jié)構(gòu)有限元模型。該模型共有54個(gè)結(jié)點(diǎn)，70個(gè)梁?jiǎn)卧?個(gè)邊界支撐。其中，49～54為邊界上的固定結(jié)點(diǎn)，65～70為邊界單元。機(jī)翼內(nèi)部梁截面尺寸：寬度14 mm，沿z向厚度4 mm；邊界支撐梁的截面尺寸：寬度14.8 mm，沿z向厚度4 mm。梁材料的參數(shù)為：合金鋼材料，彈性模量E＝2.1×1011N／m2，泊松比v＝0.26，質(zhì)量密度ρ＝7.8×103kg／m3。用 MATLAB編程按圖示的模型進(jìn)行有限元計(jì)算，得到結(jié)構(gòu)的前4階固有頻率和振型，表1給出其固有頻率。

圖2 機(jī)翼剛架模型Fig.2 Frame model of plane wing

表1 機(jī)翼模型固有頻率Tab.1 Natural frequencies of plane wing model

將這個(gè)6個(gè)剛架桿支撐的結(jié)構(gòu)作為目標(biāo)結(jié)構(gòu)，計(jì)算出的固有頻率和振型即為目標(biāo)頻率和目標(biāo)振型。將邊界換成空間剛架的機(jī)翼骨架模型則得到設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)如圖3所示，對(duì)其進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，結(jié)構(gòu)共有106個(gè)剛架單元，截面尺寸均為14 mm×4 mm。采用空間剛架單元建立有限元模型。材料參數(shù)為：合金鋼材料，彈性模量為E＝2.1×1011N／m2，泊松比為ν＝0.26，質(zhì)量密度為ρ＝7.8×103kg／m3。

以前3階頻率接近原結(jié)構(gòu)頻率為約束條件，以相應(yīng)階振型差的范數(shù)為目標(biāo)函數(shù)，對(duì)每根邊界桿的拓?fù)淞縯進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，利用Matlab7.6編制程序計(jì)算。優(yōu)化得出收斂的結(jié)果，圖4為優(yōu)化出的結(jié)構(gòu)拓?fù)湫螤睿?給出優(yōu)化邊界后結(jié)構(gòu)的固有頻率及其與目標(biāo)的誤差，圖5為優(yōu)化結(jié)構(gòu)振型與目標(biāo)振型對(duì)比。圖6還給出了目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化迭代曲線。

在上述算例中，將六桿剛架支撐的飛機(jī)機(jī)翼骨架模型作為原結(jié)構(gòu)，建立有限元模型，計(jì)算其低階固有頻率和振型作為目標(biāo)頻率和振型。然后搭建剛架邊界的結(jié)構(gòu)模型，采用本文提出的ICM準(zhǔn)則法建立

圖3 剛架邊界機(jī)翼骨架有限元模型Fig.3 FEM model of plane wing with frame boundaries

圖4 邊界拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果Fig.4 Result of boundary topology optimization

圖5 前4階優(yōu)化振型結(jié)果與目標(biāo)對(duì)比Fig.5 Comparison of first four modal shapes between optimization result and object

表2 拓?fù)鋬?yōu)化頻率結(jié)果Tab.2 Frequency result of topology optimization

動(dòng)力學(xué)優(yōu)化模型，并根據(jù)優(yōu)化策略用Matlab7.6編程實(shí)現(xiàn)優(yōu)化的迭代計(jì)算。根據(jù)計(jì)算結(jié)果，目標(biāo)函數(shù)的初始值，即設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)與原結(jié)構(gòu)振型初始差為23.9104，經(jīng)過(guò)拓?fù)鋬?yōu)化，最終振型差減小至10.205，同時(shí)其低階固有頻率與目標(biāo)頻率相差較小，滿足約束條件。設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的頻率和振型與目標(biāo)符合較好，迭代結(jié)果收斂，且優(yōu)化出的拓?fù)湫螤罘蟼髁β窂健?/p>

因此，可用優(yōu)化的邊界作為原結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)邊界的工程實(shí)現(xiàn)，來(lái)模擬原結(jié)構(gòu)提供給機(jī)翼骨架試件的動(dòng)力學(xué)邊界，使之能在試驗(yàn)中得到盡可能相似的動(dòng)力學(xué)邊界條件，從而有利于實(shí)現(xiàn)實(shí)際結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)和振動(dòng)控制。

圖6 目標(biāo)函數(shù)迭代曲線Fig.6 Iterative curve of object

5 結(jié) 論

工程結(jié)構(gòu)的環(huán)境振動(dòng)試驗(yàn)中，需要試驗(yàn)夾具能夠反映實(shí)際結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)邊界條件，但工程動(dòng)力學(xué)邊界條件多種多樣，十分復(fù)雜，完全再現(xiàn)既不現(xiàn)實(shí)也不經(jīng)濟(jì)，按動(dòng)力學(xué)特性來(lái)設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)邊界，控制結(jié)構(gòu)各點(diǎn)的動(dòng)力響應(yīng)，研究模擬結(jié)構(gòu)振動(dòng)時(shí)實(shí)際結(jié)構(gòu)邊界條件是振動(dòng)工程應(yīng)用中需要解決的問(wèn)題。

本文依據(jù)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化準(zhǔn)則法的思想——設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)與要求動(dòng)力學(xué)特性的目標(biāo)結(jié)構(gòu)或設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)在有限元模型相近的條件下得到相同的位移幅值，要求兩者各階固有頻率及相應(yīng)振型相同，研究了準(zhǔn)則法在結(jié)構(gòu)邊界設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，提出了基于ICM準(zhǔn)則法用于結(jié)構(gòu)邊界的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，通過(guò)修改剛架機(jī)翼模型的邊界去實(shí)現(xiàn)固頻和振型與目標(biāo)頻率和振型接近。數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，本文所提出的方法的邊界優(yōu)化結(jié)果較好，具有一定的工程意義。

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