萬保成, 李 健, 李士軍

(吉林農(nóng)業(yè)大學(xué) 信息技術(shù)學(xué)院, 長春 130118)

考慮如下Kirchhoff型方程:

(1)

目前, 關(guān)于Kirchhoff型方程(1)的研究已有許多結(jié)果[1-4]. 事實(shí)上, 方程(1)是Kirchhoff型方程[5]

(2)

所對應(yīng)的穩(wěn)態(tài)情形. 文獻(xiàn)[2]研究了一類帶凹凸非線性項(xiàng)的Kirchhoff型方程解的多重性. 當(dāng)非線性項(xiàng)f在無窮遠(yuǎn)處滿足超線性次臨界增長時(shí), 即在如下假設(shè)條件下, 文獻(xiàn)[2]得到了問題(1)的兩個正解和兩個負(fù)解:

(H1) 存在正常數(shù)C1,C2和p∈(2,2*)(如果N=3, 則2*=2N/(N-2); 如果N=1,2, 則2*=+∞), 使得

對于帶組合非線性項(xiàng)時(shí)解的多重性研究, 可參見文獻(xiàn)[6-7]中b=0的情形. 本文考慮f滿足漸近線性增長時(shí)問題(1)解的多重性. 主要結(jié)果如下.

1) 0≤α∈L∞(Ω),α(x)≠0;

注1當(dāng)α(x)=0, 非線性項(xiàng)在無窮遠(yuǎn)處滿足漸近線性增長時(shí), 文獻(xiàn)[4]得到了問題(1)非平凡解的存在性; 文獻(xiàn)[3]得到了問題(1)正解、 負(fù)解及變號解的存在性; 文獻(xiàn)[1]研究了問題(1)正解的存在性與非存在性. 當(dāng)非線性項(xiàng)在無窮遠(yuǎn)處滿足超線性增長時(shí), 文獻(xiàn)[3,8]得到了問題(1)非平凡解的存在性.

定義泛函J:H→R,

顯然,J∈C1(H,R). 若u為J的臨界點(diǎn), 則u是問題(1)的弱解. 定義

其中u±=max{±u,0}. 顯然,J+∈C1(H,R). 應(yīng)用最大值原理,u(x)>0, ?x∈Ω. 下面只考慮得到兩個正解的存在性, 類似地, 可得兩個負(fù)解的存在性.

引理1在定理1的條件下, 泛函J+滿足(PS)條件.

(3)

關(guān)于a.e.x∈Ω一致成立.

取{un}為(PS)序列, 即

J+(un)→c, ‖(J+)′(un)‖→0.

(4)

0≤f+(x,s)≤εs+Cεsp-1, ?s∈R, a.e.x∈Ω.

因此,

下面證明泛函J+(·)具有山路幾何.

引理2假設(shè)定理1中1)～3)成立, 則存在α0>0, 使得對所有滿足|α|∞<α0的α, 有:

(i) 存在r,ρ>0, 使得J+(u)≥ρ>0, 其中u∈H, ‖u‖=r;

(ii) 存在u0∈H, 使得J+(u0)<0, 其中‖u0‖>r.

證明: 由假設(shè)2),3), 對任意的ε∈(0,λ1-η1), 存在常數(shù)C1(ε)>0,C2(ε)和p∈(4,2*), 使得

0≤F+(x,s)≤a(η1+ε)s2/2+C1(ε)sp, ?s∈R, a.e.x∈Ω.

(5)

利用假設(shè)1), 式(5)和Sobolev不等式, 得

(7)

從而存在α0>0, 使得若α<α0, 則有ψ(t0)

(ii) 由假設(shè)3)與式(5)可得, 對任意的ε∈(0,η2-μ1), 存在Mε>0, 使得

?s∈R, a.e.x∈Ω.

令ψ1為μ1所對應(yīng)的特征值, 則ψ∈C(Ω), 且ψ(x)>0, ?x∈Ω[1]. 因此, 利用00, 可得

對充分大的t0>0, 取u0=t0ψ, 可得(ii). 證畢.

因此c0<0. 應(yīng)用Ekeland變分原理, 泛函J+存在局部極小臨界點(diǎn)u1∈H, 使得J+(u1)<0. 顯然,u1≥(≠)0. 應(yīng)用最大值原理u1(x)>0. 再根據(jù)引理2中(ii)、f(x,0)=0及山路引理, 可得泛函J+的一個山路型臨界點(diǎn)u2∈H, 使得J+(u2)>0. 顯然u1≠u2. 此外, 應(yīng)用最大值原理易得u2>0. 因此問題(1)存在至少兩個正解u1,u2. 類似地, 可以得到兩個負(fù)解u3,u4. 證畢.

[1] CHENG Bi-tao, WU Xian. Existence Results of Positive Solutions of Kirchhoff Type Problems [J]. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applicatios, 2009, 71(10): 4883-4892.

[2] CHENG Bi-tao, WU Xian, LIU Jun. Multiple Solutions for a Class of Kirchhoff Type Problems with Concave Nonlinearity [J]. Nonlinear Differ Equ and Appl, 2012, 19(5): 521-537.

[3] ZHANG Zhi-tao, Perera K. Sign Changing Solutions of Kirchhoff Type Problems via Invariant Sets of Descent Flow [J]. J of Math Anal and Appl, 2006, 317(2): 456-463.

[4] Perera K, ZHANG Zhi-tao. Nontrivial Solutions of Kirchhoff-Type Problems via the Yang Index [J]. J of Differential Equations, 2006, 221(1): 246-255.

[5] Kirchhoff G. Mechanik [M]. Leipzig: Teubner, 1877.

[6] Ambrosetti A, Brezis H, Cerami G. Combined Effects of Concave and Convex Nonlinearities in Some Elliptic Problems [J]. J of Funct Anal, 1994, 122(2): 519-543.

[7] LI Shu-jie, WU Shao-ping, ZHOU Huan-song. Solutions to Semilinear Elliptic Problems with Combined Nonlinearities [J]. J of Differential Equantions, 2002, 185(1): 200-224.

[8] MAO An-min, ZHANG Zhi-tao. Sign-Changing and Multiple Solutions of Kirchhoff Type Problems without the P.S. Condition [J]. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applicatios, 2009, 70(3): 1275-1287.