王 洋, 左 平

(1. 吉林大學(xué) 公共計(jì)算機(jī)教學(xué)與研究中心, 長春 130012; 2. 吉林大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 長春 130012; 3. 空軍航空大學(xué) 基礎(chǔ)部, 長春 130022)

磁共振成像(magnetic resonance imaging, MRI)是根據(jù)生物體磁性核(氫核)在靜磁場中所表現(xiàn)的共振特性進(jìn)行成像的技術(shù). 與其他醫(yī)學(xué)成像方法相比, MRI具有無放射線損傷、 可采用多種參數(shù)成像并能反映器官或組織的生化特征等優(yōu)點(diǎn). 但由于成像機(jī)制的限制, 磁共振圖像通常呈現(xiàn)較大的噪聲偽影, 導(dǎo)致圖像細(xì)節(jié)信息模糊, 對比度較差, 為圖像的正確識別與分析帶來困難. 因此, 圖像去噪成為磁共振圖像達(dá)到理想效果的重要方法.

基于統(tǒng)計(jì)的磁共振圖像去噪算法[1]通過極大似然估計(jì)達(dá)到去噪目的; 基于各向異性擴(kuò)散方程的去噪方法[2]在濾除磁共振圖像噪聲的同時可較好地保護(hù)圖像邊緣; Bao等[3]提出的利用多尺度積進(jìn)行小波閾值去噪方法[3]較好地保護(hù)了圖像的細(xì)節(jié)信息; 基于非局部均值的方法[4]應(yīng)用于磁共振圖像去噪, 主要通過計(jì)算像素塊內(nèi)像素點(diǎn)的權(quán)值, 得到當(dāng)前像素點(diǎn)的估計(jì)值, 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明, 該算法取得了很好的去噪效果.

本文通過分析全變分去噪模型與Bayes框架下圖像去噪模型的等價(jià)性, 根據(jù)磁共振圖像的噪聲統(tǒng)計(jì)特性, 提出一種基于最大后驗(yàn)估計(jì)的全變分去噪模型. 為了解決磁共振圖像灰度均勻性差, 且存在Parial Volume (PV)效應(yīng)的問題, 將瞬時變化系數(shù)引入到變分模型中, 同時給出了模型的數(shù)值解法. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了算法的有效性.

1 ROF模型與Bayes框架下圖像去噪模型的等價(jià)性

基于全變差的ROF模型[5]如下:

(1)

其中:Ω表示圖像區(qū)域; 函數(shù)f(x):Ω→R表示給定的圖像, 且假設(shè)圖像被方差為σ的高斯噪聲污染;λ≥0為Lagrange乘子. 模型(1)由兩項(xiàng)構(gòu)成: 第一項(xiàng)是對圖像能量的估計(jì), 具有平滑圖像、 濾除噪聲和保護(hù)邊緣的作用, 一般稱為正則項(xiàng); 第二項(xiàng)反映了被恢復(fù)圖像u與含噪圖像f之間的相似程度, 具有約束去噪后圖像與原始圖像差別不大的作用, 也稱為保真項(xiàng).λ具有平衡第一項(xiàng)與第二項(xiàng)的作用, 隨著λ的增大, 由問題求出的u逐漸接近f.

假設(shè)未知圖像u的先驗(yàn)概率為P(u), 給定觀測圖像f時u的條件概率為P(u|f), 則在給定f時,u的最大后驗(yàn)估計(jì)(maximum a posteriori, MAP)為

根據(jù)Bayes定理, 有

(2)

若假設(shè)f=u+n, 其中n為方差為σ的高斯噪聲, 且u的先驗(yàn)分布為

則

(3)

2 基于最大后驗(yàn)概率與圖像局部統(tǒng)計(jì)量的MRI圖像去噪算法

2.1 圖像的局部統(tǒng)計(jì)量

(4)

2u2=2+2u2u.

(5)

在離散的情況下, 式(5)可以表示為

(6)

其中:

1ui,j,k=(ui,j,k-ui-1,j,k,ui,j,k-ui,j-1,k,ui,j,k-ui,j,k-1);

(7)

(8)

取

將其代入方程(4), 得

(9)

從而得到瞬時變化系數(shù)

(10)

2.2 基于最大后驗(yàn)概率與圖像局部統(tǒng)計(jì)量的去噪模型

MRI圖像中的噪聲為Rician噪聲, 記u為原始圖像,f為受Rician噪聲污染的MRI圖像, 則

(11)

其中I0為第一類修正Bessel函數(shù). 則

(12)

由上面的分析可知, 基于最大后驗(yàn)概率與圖像局部統(tǒng)計(jì)量的MRI圖像去噪模型為

(13)

其中C為圖像瞬時變化系數(shù). 為了避免當(dāng)|u|=0時引起的奇異性, 考慮F(u)的逼近泛函:

(14)

根據(jù)Euler-Lagrange方程可得

(15)

定義

(16)

(17)

則可得方程(15)的離散形式:

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

下面從視覺效果與定量分析結(jié)果兩方面, 對所提出的基于變分模型的Rician噪聲濾除算法(Rician noise filter based on variational model, RNFVM)進(jìn)行對比研究, 模型參數(shù)λ=1.6×10-5. 實(shí)驗(yàn)所用的MRI圖像來源于文獻(xiàn)[6], 分別模擬了T1-weighted, T2-weighted兩種成像形態(tài), 并分別向數(shù)據(jù)的實(shí)部和虛部中加入強(qiáng)度為1%,3%,5%,7%和9%的零均值高斯噪聲. 實(shí)驗(yàn)選用當(dāng)前3種比較有效的基于變分模型的MRI圖像去噪算法進(jìn)行比較, 模型參數(shù)均根據(jù)各算法選取, 比較算法如下:

1) ROF模型[5], 簡稱ROF, 參數(shù)λ=2.5×10-5;

2) 帶有Rician相似項(xiàng)的變分模型[7], 簡稱VMRLT算法, 參數(shù)λ=3.2×10-5;

3) 針對Rician噪聲去除的基于二階泛化全變分模型的去噪算法[8], 簡稱SOTGV算法, 參數(shù)λ=1.9×10-5.

MRI圖像去噪效果的客觀評價(jià)采用均方誤差(MSE)、 結(jié)構(gòu)相似性指數(shù)(SSIM)[9]和算法運(yùn)行時間t作為衡量指標(biāo). 表1列出了不同算法對T1-weighted MRI圖像在不同噪聲水平下的去噪結(jié)果. 由表1可見, 本文算法具有較低的MSE值、 較高的SSIM值和適中的算法運(yùn)行時間, 表明本文算法的去噪性能好于其他算法.

表1 不同算法對T1-weighted MRI圖像的去噪結(jié)果

圖1為算法在含有5%噪聲水平下T1-weighted MRI圖像上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果. 由圖1可見: ROF算法去噪圖像中的腦白質(zhì)邊緣部分細(xì)節(jié)被過平滑了; VMRLT算法與SOTGV算法的去噪結(jié)果中仍存在噪聲; RNFVM算法在濾除噪聲的同時并未破壞磁共振圖像中的細(xì)節(jié)部分.

圖1 T1-weighted MRI圖像上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.1 Denoising results of T1-weighted MRI

圖2為算法在含有7%噪聲水平下T2-weighted MRI圖像上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果. 由圖2可見: ROF算法的去噪結(jié)果中仍包含噪聲; VMRLT算法的去噪效果雖然很好, 但去噪后圖像的對比度降低了; SOTGV算法的去噪結(jié)果與RNFVM算法的去噪結(jié)果相比, 損失了部分細(xì)節(jié)信息.

圖2 T2-weighted MRI圖像上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.2 Denoising results of T2-weighted MRI

綜上, 本文根據(jù)MRI圖像Rician噪聲的特點(diǎn), 提出了一種基于最大后驗(yàn)概率的變分去噪模型. 針對磁共振圖像灰度值分布不均勻的問題, 將刻畫圖像局部統(tǒng)計(jì)量的瞬時變化系數(shù)引入到變分模型中, 并給出了模型的數(shù)值解法. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明, 該算法克服了原有方法的不足, 在有效抑制圖像噪聲的同時較好地保留了磁共振圖像的邊緣和紋理等細(xì)節(jié)信息.

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